3.1.1 椭圆-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆 知识点一 椭圆的定义 【例1-1】（2024·广西南宁）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【例1-2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【例1-3】（2024湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式】 1．（2024·河北保定 ）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（ ） A．8 B．6 C．20 D．10 3．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 4．（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D．或 5．（22-23高二·江苏·假期作业）椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，若，则的大小为 ． 知识点二 焦点三角形的周长与面积 【解题思路】　椭圆定义的解题思路 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． 3.椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ， (1)△PF1F2周长为2a＋2c； (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c； (3)S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S△F1PF2取最大值，最大值为bc. (4)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 【例2-1】（23-24高二下·陕西汉中·期末）椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为 . 【例2-2】（2024·黑龙江哈尔滨 ）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【例2-4】（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【例2-5】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【变式】 1．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，为左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 5．（2024·重庆·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 知识点三 椭圆上的点到定点距离之和或差的最值 【解题思路】　椭圆上的点到定点距离之和或差的最值 利用椭圆的定义或者对称性进行转化，再利用三点共线求最值 【例3-1】（23-24高二上·湖北·期中）点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【例3-2】（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【变式】 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 2．（22-23高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 3．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南·二模）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．64 B．16 C．8 D．4 知识点四 椭圆的标准方程 【解题思路】确定椭圆标准方程的方法 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 【例4】（23-24高二上·天津·期中）写出适合下列条件的椭圆的标准方程， (1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； (3)经过点，焦点坐标分别为； (4)焦点在轴上，经过点，焦距为． 【变式】 （23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． (4)焦距为4，且经过点； (5)求经过点和点的椭圆方程. 知识点五 与椭圆有关的轨迹问题 【解题思路】　求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 【例5-1】（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【例5-2】（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 3．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 【题组一 椭圆的定义】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·广东·阶段练习）设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 3 ．（2023高二下·北京·期末）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9（23-24高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 10（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 11（2024高二下·上海·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则 ． 12（23-24高二上·北京·期中）椭圆的焦点的坐标为 ，若为椭圆上任意一点，则 . 【题组二 焦点三角形的周长与面积】 1．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 2 ．（23-24高二下·河北·开学考试）已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（    ） A．4 B．16 C．12 D．8 3（23-24高二上·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（   ） A．6 B． C． D．8 4 ．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 6．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 7（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 8（21-22高二上·新疆昌吉·期末）若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 9（2022·全国·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，在上，是坐标原点，，则的面积为 . 10（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 【题组三 椭圆上的点到定点距离之和或差的最值】 1 ．（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 2 ．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 3（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 4（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 7．（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 8．（23-24 山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 9．（2024高二上·全国·专题练习）已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 . 【题组四 椭圆的标准方程】 1.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·全国·假期作业）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程 ． 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【题组五 与椭圆有关的轨迹】 1（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 2（22-23高二上·北京·期中）平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是 . 3（2024·广东江门 ）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 4（2024湖南）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 5（2014广西）如图，是平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹的形状是 ．      6．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    7．（2024高三下·全国·专题练习）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 椭圆 知识点一 椭圆的定义 【例1-1】（2024·广西南宁）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由椭圆，可得，所以， 因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点， 所以，又，所以. 故选：C. 【例1-2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则①，且②， 由①②得到，即，所以， 故选：B. 【例1-3】（2024湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C 【变式】 1．（2024·河北保定 ）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【解析】由椭圆的定义可知，.故选：A. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（ ） A．8 B．6 C．20 D．10 【答案】A 【解析】因为椭圆方程为，所以，又因为，所以， 故选：A. 3．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【解析】方程表示椭圆，，得，得且．故选：D． 4．（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】方程可化为：， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.故选：C 5．（22-23高二·江苏·假期作业）椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，若，则的大小为 ． 【答案】 【解析】由椭圆，可得，则， 因为，可得，， 在中，由余弦定理得， 因为，所以.故答案为： 知识点二 焦点三角形的周长与面积 【解题思路】　椭圆定义的解题思路 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． 3.椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ， (1)△PF1F2周长为2a＋2c； (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c； (3)S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S△F1PF2取最大值，最大值为bc. (4)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 【例2-1】（23-24高二下·陕西汉中·期末）椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为 . 【答案】14 【解析】因为，，所以， 故的周长为. 故答案为：14 【例2-2】（2024·黑龙江哈尔滨 ）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，故经过椭圆的右焦点，故的周长.故选：D. 【例2-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】D 【解析】椭圆的长半轴轴，半焦距， 依题意，分别是的中点，即， 所以的周长为.故选：D 【例2-4】（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】由可得：，则椭圆得长轴长为， ，可设，， 由题意可知，，，，，△是直角三角形， 其面积．故选：B． 【例2-5】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【解析】由椭圆定义可得，故，又， 则由余弦定理得，故， 故.故选：C 【变式】 1．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解析】根据题意，椭圆中，根据椭圆定义，的周长为 .故选：C 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，为左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于椭圆，， 由题意可知，的周长为.故选：A. 3（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 4．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【解析】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 5．（2024·重庆·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【解析】】设的中点为M，则， 于是，又， 则为等腰三角形， ． 故选：C． 知识点三 椭圆上的点到定点距离之和或差的最值 【解题思路】　椭圆上的点到定点距离之和或差的最值 利用椭圆的定义或者对称性进行转化，再利用三点共线求最值 【例3-1】（23-24高二上·湖北·期中）点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】依题意，设为椭圆的左焦点， 因为椭圆，则，， 所以， 故选：D． 【例3-2】（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 【例3-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【解析】易知， 设，则，可得， 所以 ； 由二次函数性质可得当时，取得最大值为9. 故选：B 【变式】 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解析】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故，C正确，故选：C 2．（22-23高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程可知：， 设右焦点为，则，，且，即， 如图所示，    可得：，当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3.故选：C. 3．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又因为N为圆E：上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，，则， 所以的最小值为. 故选：B．    4．（2023·湖南·二模）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【解析】， 因为椭圆上的点满足， 当点为的延长线与的交点时，取得最大值，最大值为． 所以的最大值为16． 故选：B． 知识点四 椭圆的标准方程 【解题思路】确定椭圆标准方程的方法 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 【例4】（23-24高二上·天津·期中）写出适合下列条件的椭圆的标准方程， (1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； (3)经过点，焦点坐标分别为； (4)焦点在轴上，经过点，焦距为． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【解析】（1）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 由题意可知； （2）不妨设椭圆方程为， 将两点代入得，即椭圆方程为； （3）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 由题意可设，则有，故椭圆方程； （4）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为，则， 由题意可设，则有，故椭圆方程. 【变式】 （23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． (4)焦距为4，且经过点； (5)求经过点和点的椭圆方程. 【答案】(1)1(2)(3)．(4)或(5) 【解析】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为，则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． （4）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. （5）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为. ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得 因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为. 方法二：设所求椭圆的方程为（，，）. 依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为. 知识点五 与椭圆有关的轨迹问题 【解题思路】　求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 【例5-1】（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【解析】设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为. 故选：A 【例5-2】（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设、，，则有，，即，， 由题意可得，即，即. 故选：D. 【变式】 1．（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，，， 由，得．即．动点的轨迹方程为． 故选：B． 2．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【解析】设动圆的圆心的坐标为，半径为， 因为动圆与圆：内切，且与圆：外切， 可得，所以, 根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则，所以动点的轨迹方程为. 所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆.故选：C. 3．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意，圆的圆心为，点， 线段的垂直平分线交于点， 所以是的垂直平分线上的一点，所以， 又由，所以点满足， 根据椭圆的定义，可得点表示为焦点的椭圆，其中， 可得，所以， 所以椭圆的方程为. 圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又当时，取得最大值， 的最大值为：， 故答案为：，. 【题组一 椭圆的定义】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C 2．（22-23高二下·广东·阶段练习）设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 【答案】C 【解析】若，则，曲线,即， ，表示焦点在轴上的椭圆．故选： 3 ．（2023高二下·北京·期末）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆化为标准形式得：， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为． 故选：D． 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆 则应满足即．故选：D． 5．（2024安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题等价于，解得.故选：C. 6（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足，解得. 故选：B. 7（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知表示椭圆，则，解得. 故选：A. 8（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】方程表示椭圆，则 ，解得：，且， 所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 9（23-24高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 【答案】AB 【解析】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 10（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 【答案】14 【解析】因为所以又则 故答案为：14. 11（2024高二下·上海·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则 ． 【答案】18 【解析】如图：    由题意，椭圆，可得，，则， 根据椭圆的定义，可得. 又由，可得，所以. 因为， 即，解得． 故答案为：18 12（23-24高二上·北京·期中）椭圆的焦点的坐标为 ，若为椭圆上任意一点，则 . 【答案】 【解析】该椭圆的方程是，即，，故，所以焦点坐标为. 根据椭圆的定义，有. 故答案为：，. 【题组二 焦点三角形的周长与面积】 1．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 【答案】A 【解析】因为， 所以的周长为24． 故选：A. 2 ．（23-24高二下·河北·开学考试）已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（    ） A．4 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【解析】由，可得，根据椭圆的定义得， 所以． 故选：B． 3（23-24高二上·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】D 【解析】设直线与相交于，    由题意，此时为等边三角形， 所以为线段的中点，进而可得为线段的垂直平分线， 所以. 因此，的周长等于 .故的周长为. 故选：D 4 ．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 5（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【解析】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B.    6．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆 故. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点 有： ……①，……② 由题知……③ 在中使用余弦定理有： ……④ 将①②③代入④式得到：……⑤ 现在我们可以计算三角形的面积： 因此， 的面积是 . 故选：B. 7（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】由题设，，可得， ， 由，，则，即， 所以的面积. 故选：B 8（21-22高二上·新疆昌吉·期末）若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，，即， 由椭圆的定义可知，， 在中，由余弦定理得， 可得，解得. 所以的面积为. 故选：C. 9（2022·全国·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，在上，是坐标原点，，则的面积为 . 【答案】 【解析】由题意知椭圆方程为，故， 即，设，则， 故，故的面积为， 故答案为：. 10（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 【答案】/ 【解析】由椭圆，知，∴， ∴点关于直线的对称点， 由题意得：，∴， ∵，， ，∴， ∴在中， ， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 【题组三 椭圆上的点到定点距离之和或差的最值】 1 ．（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】由椭圆的定义知 ∴的周长为， ∴当最小时，最大． 当轴，即AB为通径时，最小，此时， ∴的最大值为． 故选：B． 2 ．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 故选：B. 3（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【解析】由椭圆得， 因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点， 则， 当且仅当在线段上时取等号， 所以的最大值为2. 故选：B. 4（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【解析】由题意知，，设椭圆的左焦点为， 如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1， ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以， 又， 所以. 故选：B. 6．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【答案】5 【解析】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 7．（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（23-24 山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 【答案】11 【解析】由条件可知，，，则， 设椭圆的右焦点为，且， 所以，当点（点在第四象限）三点共线时，等号成立， 且, 所以的最大值为. 故答案为：11 9．（2024高二上·全国·专题练习）已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由椭圆，可得左焦点为，则， 于是，当且仅当三点共线，且P在线段上时，取得最小值， 又由的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 【题组四 椭圆的标准方程】 1.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 2（24-25高二上·全国·假期作业）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 3（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程 ． 【答案】或 【解析】若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 故答案为：或. 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【答案】 【解析】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 【题组五 与椭圆有关的轨迹】 1（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【解析】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 2（22-23高二上·北京·期中）平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】对于①：，则点的轨迹为线段； 对于②： 设，因为， 即，所以点的轨迹方程为； 对于③：设，则， ，整理得， 即点的轨迹为椭圆. 故答案为：①②③ 3（2024·广东江门 ）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 4（2024湖南）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，，则，， 由题意，， 又，则， 即，所以， 整理得. 故答案为： 5（2014广西）如图，是平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹的形状是 ．      【答案】椭圆 【解析】依题意知点到直线的距离为定值， 若忽略平面的限制，则点的轨迹为一个以为轴的圆柱面， 即点的轨迹为一个以为轴的圆柱面与平面的交线， 且平面与圆柱的轴斜交， 由平面与圆柱面的截面性质的判断可得，平面截圆柱面所得的曲线即点的轨迹形状为椭圆． 故答案为：椭圆. 6．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    【答案】 【解析】由题意，线段的中垂线交于点， 所以, 即， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以动点的轨迹方程为．    7．（2024高三下·全国·专题练习）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程 ． 【答案】 【解析】由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切， 设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 点的轨迹方程为．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$