第14讲：椭圆（10大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第14讲：椭圆 【考点梳理】 · 考点一：利用椭圆的定义求方程 · 考点二：椭圆的焦点三角形问题 · 考点三：根据方程表示椭圆求参数问题 · 考点四：椭圆的标准方程的求法 · 考点五：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 · 考点六：椭圆的范围问题 · 考点七：椭圆的离心率问题 · 考点八：椭圆的中点弦问题 · 考点九：直线与椭圆的弦长问题 · 考点十：椭圆的定点、定值、最值问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识三：求轨迹方程的方法 直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标； （2）写出适合条件的点M的集合；        （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 知识点四：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点五：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 重难点技巧：弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【题型归纳】 题型一：利用椭圆的定义求方程 1．（23-24高二上·贵州黔南·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 题型二：椭圆的焦点三角形问题 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 题型三：根据方程表示椭圆求参数问题 7．（23-24高二下·广西）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 题型四：椭圆的标准方程的求法 10．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·全国·专题练习）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点；(2)求经过点和点的椭圆方程. 12．（2023高二·全国·专题练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为. (3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点. (4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程. 题型五：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 13．（23-24高二上·广东广州·期末）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 14．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．3 C． D． 15．（23-24高二上·四川绵阳·期中）关于椭圆，以下说法正确的是（    ） A．长轴长为2 B．焦距为 C．离心率为 D．左顶点的坐标为 题型六：椭圆的范围问题 16．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 18．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：椭圆的离心率问题 19．（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 21．（2024·海南海口·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型八：椭圆的中点弦问题 22．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·辽宁大连·期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型九：直线与椭圆的弦长问题 25．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 27．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 题型十：椭圆的定点、定值、最值问题 28．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 29．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 30．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点. 【双基达标】 一、单选题 31．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 32．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 34．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 38．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 39．（23-24高二下·江西·期中）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·辽宁沈阳·三模）设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值等于12 D．以线段为直径的圆与圆相切 41．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 三、填空题 42．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 43．（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 44．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的离心率为，、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为 ． 45．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 . （2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 . 四、解答题 46．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 47．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 48．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为C上的动点，求的取值范围． 49．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的准线过椭圆E：的左焦点，且椭圆E的上顶点与两个焦点构成一个正三角形. (1)求椭圆E的方程； (2)直线交椭圆E于A，B两点，点P在线段上移动，连接交椭圆于M，N两点，过P作的垂线交x轴于Q，求面积的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲：椭圆 【考点梳理】 · 考点一：利用椭圆的定义求方程 · 考点二：椭圆的焦点三角形问题 · 考点三：根据方程表示椭圆求参数问题 · 考点四：椭圆的标准方程的求法 · 考点五：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 · 考点六：椭圆的范围问题 · 考点七：椭圆的离心率问题 · 考点八：椭圆的中点弦问题 · 考点九：直线与椭圆的弦长问题 · 考点十：椭圆的定点、定值、最值问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识三：求轨迹方程的方法 直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标； （2）写出适合条件的点M的集合；        （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 知识点四：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点五：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 重难点技巧：弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【题型归纳】 题型一：利用椭圆的定义求方程 1．（23-24高二上·贵州黔南·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程，得到答案. 【详解】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，可得，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：A. 2．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线方程有准线为，由题意可得、，进而写出椭圆方程. 【详解】由抛物线的准线为，故椭圆的一个焦点为，则， 由椭圆定义知，故， 所以椭圆方程为. 故选：C 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【详解】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 题型二：椭圆的焦点三角形问题 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长. 【详解】根据题意，椭圆中， 根据椭圆定义，的周长为 . 故选：C 5．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得. 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 6．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B.    题型三：根据方程表示椭圆求参数问题 7．（23-24高二下·广西）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可. 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得. 故选：B. 8．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先求方程表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项. 【详解】若方程表示椭圆，则 ，解得：，且， 所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 9．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆的标准方程的形式，建立不等式，即可求解. 【详解】方程，即表示焦点在轴上的椭圆， ，解得． 故选：A． 题型四：椭圆的标准方程的求法 10．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 11．（2024高二上·全国·专题练习）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论焦点位置，求出，可得结果； （2）方法一： 讨论焦点位置，结合题中所给条件经过点和点，求出，可得结果； 方法二：设所求椭圆的方程为（，，），结合题中所给条件经过点和点，代入求解即可. 【详解】（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. （2）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为. ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得 因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为. 方法二：设所求椭圆的方程为（，，）. 依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为. 12．（2023高二·全国·专题练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为. (3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点. (4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)(2)(3)(4)或. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，依题可得， 将代入到方程中得，故， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，依题可得，即， 所以，所以椭圆的标准方程为 （3）易知，焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为：， 将代入标准方程解得，则椭圆的标准方程为：. （4）因为，，解得：， 又因为，所以，椭圆的标准方程为或. 题型五：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 13．（23-24高二上·广东广州·期末）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】由椭圆方程即可求得，进而即可求解. 【详解】因为第一个椭圆的，则焦距为， 所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为， 第二个椭圆的， 则焦距为， 所以长轴长为，短轴长为，离心率为， 所以A，B，C错误，D正确， 故选：D. 14．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的性质，根据，，可得，，求解，然后推出椭圆的长轴长． 【详解】 椭圆的焦点分别为，点在椭圆上， 于，，， 可得，，， 解得， 所以所求椭圆的长轴长为， 故选：A． 15．（23-24高二上·四川绵阳·期中）关于椭圆，以下说法正确的是（    ） A．长轴长为2 B．焦距为 C．离心率为 D．左顶点的坐标为 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质判断. 【详解】椭圆中，， 故长轴长为，焦距，离心率为，左顶点的坐标为，故只有B正确. 故选：B 题型六：椭圆的范围问题 16．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用两点间的距离表示，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 故选：B 17．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设，确定，根据二次函数性质得到最值. 【详解】由题意可知：，设， 由可得，， 则， 因为，可知当时，最大为. 故选：B 18．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案. 【详解】解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点， 则，当点位于短轴端点时，取最大值， 要使上存在点满足，则的最大值大于或等于， 即点位于短轴端点时，大于或等于， 则，解得． 故选：A. 题型七：椭圆的离心率问题 19．（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得四边形为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将分别用和表示，即可得离心率. 【详解】取右焦点，连接、，由在以线段为直径的圆上， 故，结合对称性可知四边形为矩形，有， 有，又， 由，则，， 由椭圆定义可得， 故， 则. 故选：C. 20．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形相似即可结合椭圆性质得由齐次式即可求解. 【详解】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形，又, 与相似（为坐标原点），， ，解得或（舍）， 故选：A． 21．（2024·海南海口·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的弦长公式可得，进而根据平行关系可得，利用椭圆定义以及勾股定理即可求解. 【详解】过作， 由于圆O截直线的弦长为，所以， 由于，所以,结合是的中点， 所以， 故，， 化简得， 所以， 故选：A 题型八：椭圆的中点弦问题 22．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 【详解】设，，，则，，， 所以，所以，将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：，所以，则，故选：D 23．（23-24高二上·辽宁大连·期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点为，可得，进而借助点差法求解的值，从而得解. 【详解】如图，取线段的中点为，连接，    因为，所以为中点，又为中点， 所以， 直线的斜率与的斜率乘积为，所以． 设，则， 两式相减可得， 整理得，即， 所以，所以，则． 故选：B． 24．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：C 题型九：直线与椭圆的弦长问题 25．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得. 【详解】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 26．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率的值可求，进而可得，从而求得椭圆的方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再由韦达定理可得的坐标，从而由直线OM斜率为解得，代入弦长公式计算可得线段的长. 【详解】（1）椭圆C的一个焦点坐标为，，又， 解得，则，所以椭圆C的方程是． （2）设， 由，消去y并整理得， 则，，， 则， 所以线段AB的中点， 直线OM斜率为，即，解得， ， 所以， 所以线段AB的长为． 27．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得，进而得到椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果. 【详解】（1）由题意得：，，，，， ，即，； 当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令， 由得：，， 由得：，椭圆的方程为：. （2）    由题意知：直线斜率不为，可设， 由得：，则， 设，则，， ， 又，， ，解得：， 直线的斜率. 题型十：椭圆的定点、定值、最值问题 28．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，焦距，长轴，短轴间关系可得答案； （2）设，，，将A，B两点代入椭圆方程可得及表达式，即可得答案. 【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知 ，    解得. 故椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，，则，． 把，代入椭圆方程得：. 两式相减可得，即．又， 则，故为定值． 29．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率公式求出，即可得解； （2）设直线MN方程：，，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再求出直线EN方程，进而可得出结论. 【详解】（1）的周长为8，，故， ，，故，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）， 设直线MN方程：，，，， 联立方程，得， 所以，， 所以， 又，所以直线EN方程为：， 令，则， 所以直线EN过定点． 30．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出，再根据焦点和之间的关系即可求出椭圆方程. （2）设出直线的方程及点的坐标，将直线的方程用所设点的坐标表示，根据对称性可知所过定点在轴上，联立直线的方程和椭圆的方程，结合根于系数之间的关系即可求出定点坐标. 【详解】（1）， ∴，又，∴， 故椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立， ∴，∴ 则，直线的斜率， 直线的方程为， 令，有 即 ， ∴直线过定点 【双基达标】 一、单选题 31．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可． 【详解】方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 32．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知焦点为，结合离心率列式可得，即可得方程. 【详解】由双曲线可知，且焦点在x轴上，则焦点为， 设椭圆的方程是， 则，解得， 所以椭圆的方程是. 故选：C. 33．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案. 【详解】由，得， 因为是焦点在轴上的椭圆， 所以， 直线过定点， 因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内部， 所以，解得， 综上所述，. 故选：D. 34．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的内心和重心重合，判断为等边三角形，得即可. 【详解】如图所示，为椭圆的顶点， 且的内心和重心重合， 所以为等边三角形， 又因为， 所以， 即. 故选：C. 35．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，又，由可得点的坐标，又由三点共线分类讨论斜率不存在和两种情况，建立关系即得. 【详解】 由题意得， 设，又， 所以，解得， 即， 又由三点共线可知 当斜率不存在时，由对称性可知垂直于x轴， 所以，所以， 即，整理得，即； 当时， 所以，整理得， 所以. 故选：B. 36．（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出各点坐标，利用点差法得到斜率的表达式，化简即可得到离心率的值. 【详解】直线经过原点，设，，. . 又，，两式相减，得. ，.离心率为. 故选：B. 37．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围. 【详解】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 二、多选题 38．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】由题，利用离心率公式、椭圆的定义和基本不等式即可一一判断． 【详解】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 39．（23-24高二下·江西·期中）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意，，故， 椭圆的标准方程可能为或． 故选：AC． 40．（2024·辽宁沈阳·三模）设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值等于12 D．以线段为直径的圆与圆相切 【答案】ACD 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距， 对于A，的最大值为，A正确； 对于B，椭圆的离心率，B错误； 对于C，设点，则，而， 因此面积的最大值等于，C正确； 对于D，以线段为直径的圆为的圆心，半径， 圆的圆心，半径，，则圆与圆外切，D正确. 故选：ACD 41．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆没有交点， 所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 42．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知模长及向量垂直化简得出椭圆方程. 【详解】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 43．（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题可得直线的方程，再计算到直线的距离，从而可表示出面积，又利用焦点三角形及内切圆的性质，也可表示出面积，则两面积相等即可求椭圆的离心率. 【详解】由题知直线的方程为，即， 所以到直线的距离， 又因为的内切圆面积为，则半径， 所以由等面积可得， 解得. 故答案为：. 44．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的离心率为，、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故答案为：. 45．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 . （2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 . 【答案】 20 【分析】（1）焦点三角形中运用余弦定理可得，由三角形面积公式得解； （2）根据椭圆的定义及两边之和不下于第三边求解即可. 【详解】（1）由椭圆可知，， 所以，即，， 由余弦定理得， 解得， 所以. （2）设椭圆的左焦点为， 由椭圆C：可得，， 则的周长为， 由，可得， 当且仅当三点共线时等号成立，即的周长的最大值为20. 故答案为：； 四、解答题 46．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标得到c，由椭圆的定义求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算得出m的范围. 【详解】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. 47．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）运用待定系数法求出，，，即可得出方程. （2）将直线方程求出来，直线曲线联立求出，运用点到直线距离公式求出到直线l的距离，即可求出面积 【详解】（1）因为，长轴的长为4， 所以，，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点. 所以l：，则点到直线l的距离为， 由得， 所以，，则， 所以． 48．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为C上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆离心率可得，再将点代入椭圆方程得，可出a,b，从而得到椭圆方程； （2）设M点的坐标为，利用向量的坐标运算可知，再由椭圆性质可知，即可求得结果． 【详解】（1）离心率，①， 将点代入椭圆方程得②， 联立①②解得，， 所以椭圆C的方程为． （2）设M点的坐标为，则，即 由（1）可知，， ， 又，. 49．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的准线过椭圆E：的左焦点，且椭圆E的上顶点与两个焦点构成一个正三角形. (1)求椭圆E的方程； (2)直线交椭圆E于A，B两点，点P在线段上移动，连接交椭圆于M，N两点，过P作的垂线交x轴于Q，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得，即可得椭圆方程. (2)根据题意可判断直线斜率存在且不为0，设直线方程与椭圆联立求得，根据设出点坐标，用斜率公式求得坐标，再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出，分离常数,变为积为定值的形式，再用的单调性计算即可. 【详解】（1）由题知抛物线的准线为，, 因为椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形， , 故椭圆的标准方程为:； （2）由（1）得椭圆的方程为， 的垂线交轴于，的斜率存在， 连接交椭圆于两点，的斜率不为0, 不妨设, 因为与椭圆的交点为，所以， 则， 联立，即， , , 设，,， 解得:， 到直线的距离为:， ，因为，所以， 因为函数在上是增函数，所以的最小值为，因此，当时，面积的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$