精品解析：湖南省娄底市冷水江市2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年湖南省娄底市冷水江市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在实数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 在下列手机手势解锁的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（ ） A. B. C. D. 125° 5. 将关于的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象经过点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，为体验传统民俗，甲、乙两名同学进行投壶比赛，共投5轮，每轮有8支箭，如图是甲、乙两名同学投中个数折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 甲同学第二轮和第四轮投壶命中数相同 B. 乙同学第三轮投壶命中率最高 C. 甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学多 D. 甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定 8. 如图，在正六边形中，作正五边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，将直线沿轴竖直向上平移2个单位长度得到直线，直线与该双曲线交于点．与轴交于点，若，则值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 10. 如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________． 12. 2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示______． 13. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了一幅幽美邈远的春江月夜图．将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为_____． 14. 用圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为1，则圆锥的侧面积为______． 15. 如图，在等边中，于点D，延长至点E，使得，连接，若，则的长为________ ． 16. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______． 17. 如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱，垂直于地面，、是两根等长且紧绷的绳子．所在的直线为地面，已知，，，．当秋千处于静止状态时，木板到地面的距离约为_____m．（结果精确到，参考数据：，，） 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为_____． 三、解答题（本大题有8个小题，第19～20题每题6分，第21～22题每题8分，第23～24题每题9分，第25～26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，尺规作图步骤如下：①作的平分线，交于点；②作的垂直平分线，分别交，于点，． （1）步骤①中作角平分线作图依据是_____； A． B． C． D． （2）请将步骤②中的图形补充完整（保留作图痕迹）； （3）连接，，求证：四边形为菱形． 22. 湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进，两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表： 类别 价格 款湘绣 款湘绣 进价（元/件） 800 1400 售价（元/件） 980 1680 （1）该商场第一次用24400元购进了，两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件； （2）该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进款湘绣的数量不少于款湘绣的，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果．校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下： 【收集数据】 七年级抽取学生成绩在这一组数据为：85，86，87，87，88，89，89； 八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100； 【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下： 七年级 4 7 2 7 八年级 3 4 7 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 97 八年级 91 91 请结合以上信息回答下列问题： （1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_____（填写“全面调查”或“抽样调查”）； （2）填空：_____，_____，_____； （3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数． 24. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 25. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中．． ，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到． 操作发现： （1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由； （2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转．当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点，与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长． 26. 已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年湖南省娄底市冷水江市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在实数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较．利用正数大于零，负数小于零，结合无理数的估算比较实数的大小，即可找出最大的数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴最大的数是， 故选：D． 2. 在下列手机手势解锁的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．即（，m，n是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的除法对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行判断；根据积的乘方对C进行判断；根据合并同类项对D进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项的计算正确； B．，所以B选项的计算错误； C．，所以C选项的计算错误； D．不是同类项，不能合并，所以D选项的计算错误． 故选：A． 4. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（ ） A. B. C. D. 125° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质求得，即可求解． 【详解】解，如图， 由题意知：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 5. 将关于的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘，即可求出结果． 【详解】解：， 方程两边同乘， 得． 故选：B． 6. 若二次函数的图象经过点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数离对称轴越远，函数值越大即可求解． 【详解】解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，，， ∴， 故选：A． 7. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，为体验传统民俗，甲、乙两名同学进行投壶比赛，共投5轮，每轮有8支箭，如图是甲、乙两名同学投中个数折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 甲同学第二轮和第四轮投壶命中数相同 B. 乙同学第三轮投壶命中率最高 C. 甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学多 D. 甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图，方差的意义，熟练掌握折线统计图是解题的关键．根据图中信息进行判断即可． 【详解】解：甲同学第二轮和第四轮投壶都投中了4支，命中数相同，A正确，不符合题意； 乙同学第三轮投壶投中7支，投中次数最多，命中率最高，B正确，不符合题意； 甲同学五轮投壶命中总数为． 乙同学五轮投壶命中总数为， 甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学少，C错误，符合题意； 观察折线统计图可知，甲同学五轮投壶命中的次数波动比乙同学五轮投壶命中的次数波动小，则甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定，D正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在正六边形中，作正五边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角与外角，分别求出正六边形，正五边形的内角结合等腰三角形的性质可得结论．解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型． 【详解】解：正六边形内角和为， 正六边形每个内角为， 正五边形内角和为， 正五边形每个内角为， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，将直线沿轴竖直向上平移2个单位长度得到直线，直线与该双曲线交于点．与轴交于点，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象平移，一次函数图象性质，反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键．根据一次函数图象平移规律得出直线的表达式为，从而求得点，根据直线与直线的表达式得出两条直线和轴所夹锐角均为，从而求得，设，则，则，解之求得t值，继而求得k值即可． 【详解】解：直线的表达式为，由平移的性质知，直线的表达式为， 当时，， ， 由直线与直线的表达式知，两条直线和轴所夹锐角均为，如图，过两点作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得或（舍去）， ． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．如图，记与的交点为，延长交于，结合，则，可得，结合，设，则，，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，，， 由对折可得：，，， ∴， ∴， 如图，记与的交点为，延长交于， ∴， 由对折可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 同理：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________． 【答案】x≥ 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵2x﹣3≥0， ∴x≥． 故答案为：x≥． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：将1179万用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了一幅幽美邈远的春江月夜图．将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率；用“海”字卡片的张数除以卡片的总数即可． 【详解】解：共有14张卡片，其中抽中“海”字卡片的有2张卡片， 所以抽中“海”字卡片的概率为； 故答案为：． 14. 用圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为1，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得弧长为，根据弧长公式求出扇形的半径是，再根据圆锥的侧面积为扇形的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵底面圆半径为1， ∴底面圆的周长为，即扇形的弧长为， 设扇形的半径是r，则， ， ∴扇形的面积为， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 15. 如图，在等边中，于点D，延长至点E，使得，连接，若，则的长为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形性质，得，根据， ，，得，根据，可得，即得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形性质，含30度的直角三角形性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，是解题的关键． 16. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据题意可得，再由一元二次方程根的判别式，可得，再把代入，解出即可． 【详解】解：∵是“凤凰”方程， ∴，即， ∵有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 17. 如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱，垂直于地面，、是两根等长且紧绷的绳子．所在的直线为地面，已知，，，．当秋千处于静止状态时，木板到地面的距离约为_____m．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，过作交于，延长交于，由矩形的判定方法得四边形是矩形，由矩形的性质得，由正弦函数得，即可求解；能熟练利用矩形的判定及性质，正弦函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交于，延长交于， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， （）， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的规律探索、相似三角形的性质与判定，通过证明，得到，得出，同理可得：，，得出，代入求出的长，再根据坐标系得出点落在y轴的正半轴，即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得：，，⋯， ∴依此类推，， ∴当时，， 由坐标系可得，点落在轴的正半轴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，第19～20题每题6分，第21～22题每题8分，第23～24题每题9分，第25～26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算： ． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算．先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，二次根式乘法，代入特殊角的三角函数值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式可进行化简，然后再代值求解即可 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 21. 如图，在中，尺规作图步骤如下：①作的平分线，交于点；②作的垂直平分线，分别交，于点，． （1）步骤①中作角平分线的作图依据是_____； A． B． C． D． （2）请将步骤②中的图形补充完整（保留作图痕迹）； （3）连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）D （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法求解； （2）根据尺规基本作图-作线段的垂直平分线作出图形即可； （3）根据垂直平分线段，得，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图， 由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴， 即是的平分线． ∴在所作图的步骤中①得到角平分线的依据是； 故答案为：D； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求， 【小问3详解】 证明：如图， 平分， ， 垂直平分线段， ，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作角平分线、作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质．熟练掌握尺规基本作图和菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进，两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表： 类别 价格 款湘绣 款湘绣 进价（元/件） 800 1400 售价（元/件） 980 1680 （1）该商场第一次用24400元购进了，两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件； （2）该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进款湘绣的数量不少于款湘绣的，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）款湘绣购进件，款湘绣购进件 （2）购进款湘绣件，款湘绣件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）等量关系式：购进款湘绣的费用购进款湘绣的费用元，列方程，即可求解； （2）由不等关系求出，补货售完后获得利润补货售完后款湘绣所获得的利润补货售完后款湘绣所获得的利润，由一次函数的性质，即可求解； 找出等量关系式，能利用一次函数的性质进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，由题意得 ， 解得：， (件)， 答∶款湘绣购进件，款湘绣购进件； 【小问2详解】 解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，补货售完后获得利润为元， ， 解得：， ， ， 随的增大而增大， 当时，取最大值， 最大值为 (元)， (件)， 答∶购进款湘绣件，款湘绣件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是元． 23. 湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果．校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下： 【收集数据】 七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89； 八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100； 【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下： 七年级 4 7 2 7 八年级 3 4 7 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 97 八年级 91 91 请结合以上信息回答下列问题： （1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_____（填写“全面调查”或“抽样调查”）； （2）填空：_____，_____，_____； （3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数． 【答案】（1）抽样调查 （2）6，89，95； （3）七年级学生甲在本年级排名更靠前 （4）200 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，中位数，众数，频数分布直方图； （1）根据抽样调查和全面调查的定义进行解答即可； （2）根据八年级抽取学生的成绩数据得到，根据中位数的求法得到b，根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多得到c即可； （3）根据八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分，进行分析即可； （4）用气年级抽取学生观后感成绩不低于90分的人数占比乘以该校七、八年级总人数加上八年级抽取学生观后感成绩不低于90分的人数占比乘以该校七、八年级总人数计算即可． 【小问1详解】 解：∵校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析， ∴在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查． 【小问2详解】 解：根据题意得到， 七年级中位数：， ∴， 根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多， ∴， 故答案为：6，89，95； 【小问3详解】 解：七年级学生甲在本年级的排名更靠前．理由如下∶ ∵八年级抽取学生成绩中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分， ∴90 分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数， ∴七年级学生甲在本年级的排名更靠前； 【小问4详解】 解：， 答：这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数约为200 名． 24. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，根据角平分线的定义，结合圆周角定理，推出，平行得到，即可得证； （2）过点作于点，圆周角定理，角平分线得到，，求出的长，证明是等腰直角三角形，求出的长，在中，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：如解图，连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如解图，过点作于点， ， ， 是的直径， ， ， ， 由（1）得， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中， ， ． 25. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中．． ，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到． 操作发现： （1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由； （2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转．当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点，与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长． 【答案】（1），见解析；（2）四边形为平行四边形，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可； （2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． （3）证明是的中位线，，后利用正切函数，勾股定理解答即可． 详解】解：（1）理由如下：如解图， 是的中点，根据勾股定理，得， ， 由平移的性质，得， ， 为的中点， 又为直角三角形， ． （2）证明：四边形为平行四边形， 证明如下： 由旋转的性质，得， 在中， 是的中点， ， ． 由题图①得， ， 根据旋转的性质，可得， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：， ， ． ， ． ， ， ， 为的中点， 是中位线， ， ， ， ． ， ． 由（1）知，， 则， ， ， ， 在中，由勾股定理得，． 【点睛】本题考查了平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握性质和三角函数，和勾股定理是解题的关键． 26. 已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B、C坐标，进而求出直线的表达式为，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再由，，列出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入中，得 ，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的表达式为， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 点的坐标为， 如图，过点作轴交于点． 设点的坐标为，则点的坐标为， ，， ， ， 当时，取最大值， 当时，， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线的表达式为， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为3， 设， 由（2）得，， 分以下三种情况讨论： ①当为的对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ②当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ③当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得 ， ． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$