暑假预习专题09 一元二次方程的解集及根与系数的关系（3知识+1题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题09 一元二次方程的解集及根与系数的关系 懂得恒等式的概念，并会求解恒等式中的未知系数.(基础点) 理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理论证能力、(重点) 会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的一元二次方程,发展数学运算素养.(重、难点) 数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值, (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得和，再进行化简整理即可. 【详解】由题意：、为一元二次方程的两根， 所以，. 所以. 故答案为： . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 考点一．一元二次方程的解集及其根与系数的关系 例（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【答案】D 【分析】根据判别式判断A、B；整理方程求解可得判断C；求一元二次方程的解判断D. 【详解】A：由中，即方程无实根，错； B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错； C：由，显然，错； D：由题设中，对. 故选：D 1-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的方程，若方程的两实根x1，x2满足，则k的值为 1-2（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 1-3（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 1-4（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 1-5（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 1．（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 2．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 4．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 5．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 6．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 7．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 2．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 3．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 4．（21-22高一上·上海嘉定·期中）设是方程的两个实数根，则 5．（21-22高一上·上海奉贤·期中）已知一元二次方程的两个实根为，； (1)若，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； (3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 6．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题09 一元二次方程的解集及根与系数的关系 懂得恒等式的概念，并会求解恒等式中的未知系数.(基础点) 理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理论证能力、(重点) 会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的一元二次方程,发展数学运算素养.(重、难点) 数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值, (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得和，再进行化简整理即可. 【详解】由题意：、为一元二次方程的两根， 所以，. 所以. 故答案为： . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 考点一．一元二次方程的解集及其根与系数的关系 例（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【答案】D 【分析】根据判别式判断A、B；整理方程求解可得判断C；求一元二次方程的解判断D. 【详解】A：由中，即方程无实根，错； B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错； C：由，显然，错； D：由题设中，对. 故选：D 1-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的方程，若方程的两实根x1，x2满足，则k的值为 【答案】 【分析】分两种情况讨论，①当时，②当时，分别求出的值． 【详解】由得： ①当时，， 此时方程有两相等的实数根， 则，解得 ②当时，，即，则，解得， 此时,,方程无实数根，故不合题意，舍去， 综上，k的值为. 故答案为：. 1-2（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 1-3（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 1-4（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【答案】(1) (2)2， 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以， 1-5（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】根据已知条件及判别式即可求解. 【详解】由，得，且， 所以 ， 所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等. 故选：C. 1．（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 【答案】1 【分析】由韦达定理可得，结合的关系建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】由韦达定理，得， 有，得， 又，所以，即， 所以，解得. 故答案为：1 2．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 【答案】或. 【分析】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根，由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值. 【详解】解：当时，为方程的两个不等实根， 可得， 所以 ， 当时，则. 故答案为：或. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 【答案】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由题意，， 且，即， 因为， 则，解得，即， 所以. 故答案为：30. 4．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解 【详解】因为方程的两个根为，， 所以， 则． 故答案为：3 5．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 【答案】3 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，解出验证即可. 【详解】因为是关于的方程的两实根， 所以由根与系数的关系得， 因为是关于的方程的两实根， 所以， 即，， 所以，解得， 经验证可得，所以， 所以. 故答案为：3. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】/ 【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果. 【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可. 【详解】由根与系数的关系知，， 所以， 解得， 故答案为： 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】结合韦达定理列出式子，即可求； 【详解】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 2．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)或或 【分析】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可； （2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解. 【详解】（1）因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以且，解得， 且，， 若，则，即，解得（舍去）， 即不存在实数，使成立. （2）由题意， 又当，即时，且，， 故， 由于为整数且为整数，故只能取、、，又， 则或或，解得或或， 故整数的值为或或. 3．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及可求解； （2）由（1）得，结合均为负整数可求解； （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，， 所以． 由得，即， 所以，即． （2）由（1）得，因为均为负整数， 所以或或， 显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 故所求函数解析式为． （3）由题意得， 又由，得，故， 所以． 4．（21-22高一上·上海嘉定·期中）设是方程的两个实数根，则 【答案】 【分析】根据韦达定理得到，然后代入计算即可求解. 【详解】因为是方程的两个实数根，由韦达定理得， 所以，故， 故答案为：. 5．（21-22高一上·上海奉贤·期中）已知一元二次方程的两个实根为，； (1)若，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； (3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)结合已知条件，利用韦达定理首先判断与的符号，进而即可求出的值；(2)首先假设，都小于2，结合已知条件和韦达定理可得和同号，且，再结合和的范围推出矛盾即可证明；(3)首先利用判别式求出的范围，然后结合已知条件并利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）当，时，的两个实根为，， 由韦达定理可得，，， 即，， 故. （2）证明：假设，都小于2， 由，可知，，且与异号， 由韦达定理可知，，，则与同正， 此时，则， 又因为，都小于2，所以，这与矛盾， 故假设不成立，从而，中至少有一个大于等于2. （3）由可知，， 从而方程等价于， 由题意可知，且，即， 故，解得或， 又因为，所以的取值范围为， 又因为，是方程的实根， 所以，即， 从而或，解得或， 故实数m的取值范围为. 6．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 【答案】(1). (2)不存在，详见解析. (3)或或. 【分析】（1）首先可根据判别式得出，然后根据韦达定理得出、，最后根据得出，通过计算即可得出结果； （2）根据得出，然后通过计算以及即可得出结果； （3）可将转化为，然后根据为整数以及即可得出结果. 【详解】（1）因为、是关于的一元二次方程的两个实根， 所以，解得， ，， 因为，所以， 即，，，. （2）由（1）易知，，， 若存在实数，使成立， 则，解得， 因为，所以不存在实数使成立. （3）由（1）易知，，， 则， 因为，所以， 因为为整数，所以、、， 因为，所以或或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$