第8节 概率与统计的综合问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 [思维升华] A.甲类水果的平均质量4=0.4kg 解决正态分布问题的三个关键点 B.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集 (1)对称轴为x= 中于均值左右 (2)标准差为σ. C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均 (3)分布区间。 质量大 利用对称性可求指定范围内的概率值： D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数 由以，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区 02=1.99 间转化为3。特殊区间，从而求出所求概率. (2)(多选)(2024·新课标1卷)随着“一带 注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措 [即时训练] 并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩 (1)甲、乙两类水果的质量（单位：kg)分别服 收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样 从正态分布N(41,oi),N(2,),其相应的 本，得到推动出口后亩收入的样本均值x= 分布密度曲线如图所示，则下列说法正确 2.1,样本方差=0.01，已知该种植区以往 的是 ()】 的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12), (注：正态曲线的函数解析式为∫(x) 假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布 1 ER) √2π·o N(x,s2),则（若随机变量Z服从正态分布 N(,a2),P(Z<十a)≈0.8413)() A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 1.99 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 请完成课时作业（八十二）》 0 0.4ǜ.8 第八节 概率与统计的综合问题 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一频率分布直方图与分布列的综合 频率 问题 组距 0.0875 [例1](2025·四川成都模拟)某贫困县在政 府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身 0.05 资源，大力发展茶叶种植.该县农科为了对 0.0375 0.025 比A,B两种不同品种茶叶的产量，在试验田 0.0125 上分别种植了A,B两种茶叶各20亩，所得 040444852566064亩产常 亩产数据（单位：千克）都在[40,64]内，根据 B品种 亩产数据得到频率分布直方图如下： (1)从A种茶叶亩产的20个数据中任取两 频率 个，记这两个数据中不低于56千克的个数 组距 为X,求X的分布列及数学期望； 0.075 (2)在频率分布直方图中，若平均数大于中 0.05 位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于 0.0375 0.025 中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算 0.0125 判断B种茶叶的亩产量属于上述哪种 040444852566064亩产量 A品种 类型 233 金榜题名创新高考总复习数学 [尝试解答] (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有 学生中随机抽取8名学生，用P(k)表示这8 名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在 (8,12]内的概率，其中k=0,1,2,…,8.当 P(k)最大时，请直接写出k的值.（不需要 说明理由) [思维升华] 高考常将频率分布直方图与分布列等交 汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率 分布直方图，能利用频率分布直方图正确计 算出各组数据.概率问题以计算为主，往往和 实际问题相结合，要注意理解实际问题的意 义，使之和相应的概率计算对应起来 [即时训练] 4月23日是联合国教科文组织确定的“世 界读书日”.为了解某地区学生阅读时间的 题型二 回归模型与分布列的综合问题 分配情况，从该地区随机抽取了500名学生 [例2](2025·牡丹江模拟)近期，一些地方 进行在线调查，得到了这500名学生的日平 中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛 均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分 关注，国家号召中小学要增加学生的室外活 成[0,2]、(2,4]、(4,6]、(6,8]、(8,10]、 动时间.但是进入12月后，天气渐冷，很多 (10,12]、(12,14]、(14,16]、(16,18]九组， 学生因气温低而减少了外出活动次数.为了 绘制成如图所示的频率分布直方图. 解本班情况，一位同学统计了一周(5天)的 频率 气温变化和某一固定课间该班级的学生出 组萌 0.15-- 楼人数，得到如下数据： 温度x 7 10 11 15 17 (零下℃) 88a 出楼人数 20 16 17 10 0.03 0.02 0.01- (1)利用最小二乘法，求变量x,y之间的线 024681012141618日平均阅读时间/小时 性回归方程： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)预测当温度为一8℃时，该班级在本节课 (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅 间的出楼人数（人数：四舍五入取整数）： 读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从 (3)为了号召学生能够增加室外活动时间， 日平均阅读时间在(6,8]、(14,16]、 学校举行拔河比赛，采取3局2胜制（无平 (16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的 局).在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜 方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取 3人，记日平均阅读时间在(14,16]内的学 的概率均为，设随机变量X表示甲班获胜 生人数为X,求X的分布列和数学期望： 的局数，求X的分布列和期望， 234 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 附：用最小二乘法求线性回归方程y=bx十d 附：经验回归直线y=bx十a的斜率和截距 (x,-D)(y- 2xy:一 的最小二乘法估计公式分别为：b= 的系数：b i-1 x-w 1 ,a=y-bz a=y-br. 2(x-)2 [尝试解答] [思维升华 高考常将回归模型与分布列等交汇在一 起进行考查，求经验回归方程时要充分利用 已知数据，合理利用公式减少运算.求解概率 问题时要注意概率模型的应用，明确所求问 题型三 独立性检验与分布列的综合问题 题所属的事件类型是关键. [例3](2025·聊城模拟)某中学在学生选 [即时训练] 科时，要求每位学生先从物理和历史这两个 (2025·湖南常德模拟)火车晚点是人们在 科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、 旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问 化学、生物这四个科目中任选两个科目.选 题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车 科工作完成后，为了解该校学生的选科情 站为了解每年火车的正点率x%对每年顾 况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们 客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年 的选科情况统计后得到下表： (2016年~2023年)每年火车正点率x%和 每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理， 思想政治 地理 化学 生物 得到下面的一些统计量的值， 物理类 100 120 200 180 历史类 120 140 60 80 w 含-2 (1)利用上述样本数据填写下列2×2列联 600 592 43837.2 93.8 表，并依据小概率值α=0.001的独立性检 验，分析以上两类学生对生物学科的选法是 (1)求y关于x的经验回归方程：若预计 否存在差异： 2025年火车的正点率为84%，试估算2025 年顾客对火车站投诉的次数： 生物学科选法 科类 合计 (2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准， 选 不选 该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2 物理类 年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年， 历史类 记其中评价“良好”的年数为X,求X的分 布列和数学期望. 合计 235 金榜题名创新高考总复习数学 (2)假设该校所有学生中有三的学生选择了 [即时训练] (2025·云南师大附中模拟)某研究机构随 物理类，其余的学生都选择了历史类，且在 机抽取了新近上映的某部影片的120名观 物理类的学生中其余两科选择的是地理和 众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查， 化学的概率为，而在历史类的学生中其余 得到如下数据（单位：人）： 喜欢 不喜欢 合计 两科选择的是地理和化学的概率为。·若从 男性 40 30 70 该校所有学生中随机抽取100名学生，用X 女性 35 15 50 表示这100名学生中同时选择了地理和化 学的人数，求随机变量X的均值E(X). 合计 75 45 120 附：X n(ad-bc)2 根据上述信息，解决下列问题： (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (1)根据小概率值α=0.10的独立性检验， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 分析观众喜欢该影片与观众的性别是否 2.706 3.841 6.635 7.879 有关： 10.828 (2)从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样 尝试解答] 的方法，随机抽取6人.现从6人中随机抽 取2人，若所选2名观众中女性人数为X, 求X的分布列及数学期望， n (ad-bc)2 附：X=(a+bc+)a十c)6+d,其中 n=a+b+c+d. 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 Ta 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 [思维升华] 高考常将独立性检验与分布列等交汇在 一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意 过好“三关”：假设关、公式关、对比关，解决概 率问题要准确地把握题中所涉及的事件，明 确所求问题所属的事件类型. 请完成课时作业（八十三）、必刷大题20 236[例2]解(1)由题知，共有(n十6)个机 对于C,显然P(X≤38)<P(Y≤38)，则 P(X-0) 房，抽取2个机房有C+。种方法，其中全 当有38min可用时，骑自行车不迟到的 -136,P(X-1)- C 190 是小机房有C种方法， 概率大，C正确： gC=51,P(X=2)=gC=3 C5n 190 C 190 因此全是小机房的概率P一 C+3 对于D,显然P(X>30)=7,P(Y≤30) ,X的分布列为 解得功一4.即n的值为4. <P0Y<34)-z,周此P(X>30)+ (2)X的可能取值为0,1,2,3. X 0 1 P(X-0)-9gC41 P(Y30)<1,D错误.故选D. 136 51 3 C。12030· (2)答案8186 190 190 190 P(X-1)=CC=363 解析由题意知，XN(400,4), C。120=10' 所以P(396≤X≤404)≈0.6827. X的数学期望E(X)=0× 136 +1× 190 p(x-2)-cC-60-1 P(392≤X≤408)≈0.9545， 品+2x品品-品 573 C。120-z 得P(396<X≤108)=P(392≤X≤408) PX-3-e-器-÷ -P(392≤X≤396)=P(392≤X≤408) (2)根据以上直方图数据，茶叶B亩产平 C。 则随机变量X的分布列为 号[P(392<X<408)-P(396<X< 均数为： 42×0.05+46×0.1+50×0.15+54× X 0 1 2 3 40]0.9645-号×0.09515-0.682刀 0.35+58×0.2+62×0.15-51, -0.8186, P 30 10 2 6 设中位数为x,由0.05+0.1十0.15+ 所以袋装质量在区间(396,408]的约有 3 10000×0.8186-8186(袋). 0.0875×(x-52)-0.5得r-54号， 则E(X)=0×0+1×品+2×+3 即时训练(1)A由题图可知甲图象关 1=9 6=5 于直线x一0.4对称，乙图象类于直线x 因为54号>51，所以B种茶的商产属于 一0.8对称， 即时训练解(1)记“一学生既分得 “左拖尾分布” 饼文要表演节目”为事件A, 所以1=0.4=081<2，故A正 即时训练解(1)由概率和为1得：2 确，C错误： 可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和 ×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a “1个黑球，1个红球，1个黄球”， 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越 “高瘦”，日越小，表示总体的分有越 +0.05+0.04十0.01)=1， 所以P(A)=CC+CCg15 -56 集中)， 解得a=0.1. (2)由题意可知X的可能取值为0,1， 所以甲类水果的质量比乙类水采的质量 (2)由频率分布直方图得：这500名学生 2,3, 更集中于均值左右，故B错误： 中日平均阅读时间在(6,8]、(14,16]、 CC 5 因为乙图象的最高点为(0.8,1.99)，即 则P(X-0)- Cg-28P(X-1) (16,18]三组内的学生人数分别为：500 1 一=1.99，所以1≠1,99，故D错 ×0.10-50人，500×0.08-40人，500 CC_15 /2π· C 28 误.故逃A ×0.02-10人， (2)BC依题可知，x=2.1,2=0.01,所 若采用分层抽样的方法抽取了10人， P(X-2)= C 以YN(2.1,0.1), 则应从阅读时间在(6,8]中抽取5人， cc1 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)- 从阅读时间在(14,16]中抽取4人，从 C 56 P(Y<2.1+0.1)≈0.8413>0.5.C正 阅读时问在(16,18]中抽取1人· 可得X的分布列为 确，D错误： 现从这10人中随机抽取3人，则X的可 0 1 2 因为X一N(1.8,0.1), 能取值为0,1,2,3， 15 所以P(X>2)-P(X>1.8+2×0.1). 28 28 56 56 因为P(X<1.8十0.1)0.8413，所以 P(X-0)- C820 5」 15 15 P(X>1.8+0.1)1-0.813- 所以E(X)=0×员+1×云+2× 0.1587<0.2. -品-P-- +3×品-号 而P(X>2)-P(X>1.8+2×0.1)< P(X>1,8十0.1)<0.2，B正确，A错 L例3](1)D 规察图象知，X一 -P(X-3)- 120-30 误，故选BC N(30,c).Y~N(31a3). X的分布列为 对于A,Y的密度曲线瘦高，X的密度曲 第八节概率与统计的综合问题 X 线矮胖，即随机变量Y的标准差小于X 0 2 研磨·高考题型 的标准差，即>型· 因此Y的数据较X更集中，A正扇： [例1]解(1)亩产不低于56千克频率 1030 为4×(0.025+0.0125)-0.15， 对于B.显然P(X<3)>号=PY< 3 所以窗产不低于56千克的数据共有20 数学期望E(X)-1X立+2×品+3× 31),则当有31min可用时，坐公交车不 ×0.15-3个， 6 迟到的概率大，B正确： 故X的所有可能取值为0,1,2， 30-5 523 (3)=4,理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时 所以X的数学期望为E(X)=0×5 X-50X180X120-120X80)2-25 300X200X260×240 3 间在(8,12]内的概率为0.50， 1×贵+2×费-1器 81186 ≈19.231>10.828=x4.001· 从孩地区所有学生中随机抽取8名学 根据小概率值a一0,001的独立性检验 生，给有k名学生日平均阅读时间在(8， 即时训练解(1)由题设x=600 可知零假设不成立，即可以认为两类学 12]内的分布列服从二项分布X一B(8, 0.50), 75,y=592 -=71,则6= 多一 生对生物学科的选法存在差异，且此推 8 断犯错误的概率不大于0,001. PX--(侵广(I-) 2(4-7)2 (2)记”学生途择物理类”为事件M,“学 心（合），由组合数的性质可得- 43837,2-8×75×74--6, 93.8 生选择历史类”为事件N,“同时选择地 时P(k)最大 所以a-y-bx-74+6×75-524,所以 理和化学”为事件C, [例2】解()周为-号(7+10+1十 y=-6x+524. 则PM0-号，PN)=1-P0-是 当x=81时，代入y=一6x十524，得到y 15+17)-12,y=号(20+16+17+10+ -20, PCM-号，PCIN)-, 7)=14, 所以2025年顾客对该市火车站投诉的 P(C)-P(MP(CIM+P(N)P(CIN) 2(x-F)(y-y)-(7-12)× 次数约为20次。 -号×+号×品： 5 5 (20-14)+(10-12)×(16-11)+ (2)由题意，X服从超几何分布，可取0， (11-12)×(17-14)+(15-12)× 12 由题意可得X~B(100,六) (10-14)+(17-12)×(7-14)- P(X=0) CC -84, 7,P(X-1) 则随机变量X的均值E(0X)=10×云 (x,-x)2=25+4+1+9+25=64, CC_15.P(X=2)= =16. Cg281 即时训练 (1)由题意得x= 2(x4-)(y一y) 所以一 21 所以X的分布列为 120×(40×15-35×30)2≈2,057<2. (x-F) 70×50×75X45 =1 0 -y--4-(←）)×12-9。 706-x0.10· P 15 14 8 故根据小概率值a=0,10的独立性检 故线性回归直线方程为y一 21 16 验，不能认为观众喜欢该影片与规众的 5 15 +119 所以E(X)=0 1+1X 28 +2×8 性别有关， (2)由题意知从不喜欢该影片的观众中 3 (2)当x-8时，y-- 器×8+ 4 4 采用分层抽样的方法，随机袖取6人， 19(人)， [例3]解(1)由题意可得选择物理类的 由于不喜欢孩影片的观众中男性与女性 所以预测当温度为一8℃时，藏班级在本 总人数为300，其中遮择生物学科的人数 的比例为2t1,故随机抽取6人中有4 节课间的出褛人数为19人。 为180，不选择生物学科的人数为120： 名男性和2名女性， (3)随机变量X可取0,1,2. 选择历史类的总人数为200，其中选择生 故X的取值可能为0,1,2， PX=0=号×号- 物学科的人数为80，不选择生物学科的 则P(X=0)= -，P(X=1) = 人数为120，据此完善2×2列联表如下： ( 生物学科选法 C151 科类 合计 速 不选 故X的分布列为 PX=2)=×号+号 3 物理类 180 120 300 X ××号-器 历史类 80 120 200 所以X的分布列为 合计 260 240 500 品 0 2 零假设为H:两类学生对生物学科的选 数E(X)=0×号+1×是+2× 81 法没有差异 25 1 由表中数据可得 3 524