第7节 二项分布、超几何分布与正态分布-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

(2)答案 15 7 3 (2)易知X的可能取值为0,1,2,3,4， 16 DY)-0.852×6+(-0.15)2×8 解析由题意知，：的所有可能取值为 (-1.15P×高+(-215×0 且X~(4,)） 5,4,3,2 0.9025, 周此P(X=0)=C×(号)）”×（号）】 显然E(X)-E(Y),D(X)>D(Y), Pe-0-÷×(1-子)-是 所以选择B景点 即时训练解(1)由避意得，X的所有 Px--d×()广'×（告）广'- P传-3)-(1-十)×-： 可能取值为0,20,100， P(X=0)=1-0.8=0.2, PX=2)-G×(号)广×(3)-毫 Pg=2)=(1-)×(1-)=品 P(X-20)-0.8×(1-0.6)=0.32, Px-3)-x(号)广'×（位）广- P(X-100)-0.8×0.6-0.48, 则E-5言+4×是+3×是+2× 所以X的分布列为 px==C×(合)广×（告）”=品 品-共 X 20 所以X的分布列为 100 3 P 0.2 0.32 0.48 Dc)-(6-)×+(-共)'× (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可 16 416 +(-)×品+2-)×品 得E(X)=0×0.2+20×0,32+100× 0.48=54.4 E(X0=1× =2. 当小明先回答B类问题时， 即时训练 解(1)设甲3次点球射近 [例4门解(1)设“这4人中拾有2人给 记Y为小明的累计得分， 的次数为Y, 出·非常满意’的评价”为事件C,由表中 则Y的所有可能取值为0,80,100， 则YB(3,号) 数据可知，游客在A景点给出“非常满 PY=0)=1-0.6=0.4, Y的可能取值为0,1,2,3，且X-50Y, 意“泽价的复奉为品一宁 P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12, 则X的所有可能的取值为0,50， P(Y-100)=0.6×0.8-0.48, 100,150 游客在B景点给出“非常满意”评价的概 所以Y的分布列为 P(X-0)-PY-0)-(1-号)'-7 0 80 100 0.12 P(x-50)-P(y-1)-g(号)· 尉P(c)=(号)(1-)+g· 0.4 0.18 E(Y)-0×0.4+80×0.12+100×0.48 (1-)广- ·1-)e·(1-)+ -57.6. P(X-1oo)-Py-2)-c(号)'， 图为57.6>54.4，即E(Y)>E(X),所以 (-)(品)-器 为使累计得分的期望最大，小明应选择 (1-)广-÷ (2)设一位游客对A景点的满意度评分 先回答B类问题 为X,一位游客对B景点的满意度评分 第七节 二项分布、超几何分布与 P(X-150-Py-3)-(号）'- 为Y, 所以X的分布列为 正态分布 由数表中数据得X的分布列为 0 50 100150 夯实·必备知识 32 1 2 知识整合 9 3 3 2 10202 1.(1)两个n重伯努利试验 (2)Cb(1-p)"-◆X~B(n,p) E(X)-0×27 +50×+100X9 了的分布列为 (3)①pp(1一p)②np#p(1一p) 8 3.(1)X一N(a,g)(2)①x-H②x-4 150×27=10. (或E(X)=E(50Y)=50E(Y)=50×3× (4)4a2 品 自我训练 号-100 1.(1)/(2)/(3)×(4)× (2)设“乙第i次射进点球”为事件A,(① 则E(X)-4×+3×哥+2× +1 2.C3.B4.A =1,2,3), 研磨·高考题型 则乙慈得分为100分的事件为 [例1门解(1)由题意可知，每个坑要补 B-A1A2A3十A1AgA十A1A2A3 因为A1AA,AA2AA1AA至斥， DX0=0.852×号+(-0.152×+ 种的概率 所以P(B)=P(A1AA十AA,A （-1.15)2×0+(-215×易 p-g×(位+g××（） A4A)-号××(1-子)+号× =1.1275. 2 (1-)×+(1-)×号×4 EB)-4×+3×+2×高+1× 则每个坑不需要补种的概率为1一 0-8,15 故乙总得分为100分的概率为3 522 [例2]解(1)由题知，共有(n十6)个机 对于C,显然P(X≤38)<P(Y≤38)，则 P(X-0) 房，抽取2个机房有C+。种方法，其中全 当有38min可用时，骑自行车不迟到的 -136,P(X-1)- C 190 是小机房有C种方法， 概率大，C正确： gC=51,P(X=2)=gC=3 C5n 190 C 190 因此全是小机房的概率P一 C+3 对于D,显然P(X>30)=7,P(Y≤30) ,X的分布列为 解得功一4.即n的值为4. <P0Y<34)-z,周此P(X>30)+ (2)X的可能取值为0,1,2,3. X 0 1 P(X-0)-9gC41 P(Y30)<1,D错误.故选D. 136 51 3 C。12030· (2)答案8186 190 190 190 P(X-1)=CC=363 解析由题意知，XN(400,4), C。120=10' 所以P(396≤X≤404)≈0.6827. X的数学期望E(X)=0× 136 +1× 190 p(x-2)-cC-60-1 P(392≤X≤408)≈0.9545， 品+2x品品-品 573 C。120-z 得P(396<X≤108)=P(392≤X≤408) PX-3-e-器-÷ -P(392≤X≤396)=P(392≤X≤408) (2)根据以上直方图数据，茶叶B亩产平 C。 则随机变量X的分布列为 号[P(392<X<408)-P(396<X< 均数为： 42×0.05+46×0.1+50×0.15+54× X 0 1 2 3 40]0.9645-号×0.09515-0.682刀 0.35+58×0.2+62×0.15-51, -0.8186, P 30 10 2 6 设中位数为x,由0.05+0.1十0.15+ 所以袋装质量在区间(396,408]的约有 3 10000×0.8186-8186(袋). 0.0875×(x-52)-0.5得r-54号， 则E(X)=0×0+1×品+2×+3 即时训练(1)A由题图可知甲图象关 1=9 6=5 于直线x一0.4对称，乙图象类于直线x 因为54号>51，所以B种茶的商产属于 一0.8对称， 即时训练解(1)记“一学生既分得 “左拖尾分布” 饼文要表演节目”为事件A, 所以1=0.4=081<2，故A正 即时训练解(1)由概率和为1得：2 确，C错误： 可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和 ×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a “1个黑球，1个红球，1个黄球”， 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越 “高瘦”，日越小，表示总体的分有越 +0.05+0.04十0.01)=1， 所以P(A)=CC+CCg15 -56 集中)， 解得a=0.1. (2)由题意可知X的可能取值为0,1， 所以甲类水果的质量比乙类水采的质量 (2)由频率分布直方图得：这500名学生 2,3, 更集中于均值左右，故B错误： 中日平均阅读时间在(6,8]、(14,16]、 CC 5 因为乙图象的最高点为(0.8,1.99)，即 则P(X-0)- Cg-28P(X-1) (16,18]三组内的学生人数分别为：500 1 一=1.99，所以1≠1,99，故D错 ×0.10-50人，500×0.08-40人，500 CC_15 /2π· C 28 误.故逃A ×0.02-10人， (2)BC依题可知，x=2.1,2=0.01,所 若采用分层抽样的方法抽取了10人， P(X-2)= C 以YN(2.1,0.1), 则应从阅读时间在(6,8]中抽取5人， cc1 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)- 从阅读时间在(14,16]中抽取4人，从 C 56 P(Y<2.1+0.1)≈0.8413>0.5.C正 阅读时问在(16,18]中抽取1人· 可得X的分布列为 确，D错误： 现从这10人中随机抽取3人，则X的可 0 1 2 因为X一N(1.8,0.1), 能取值为0,1,2,3， 15 所以P(X>2)-P(X>1.8+2×0.1). 28 28 56 56 因为P(X<1.8十0.1)0.8413，所以 P(X-0)- C820 5」 15 15 P(X>1.8+0.1)1-0.813- 所以E(X)=0×员+1×云+2× 0.1587<0.2. -品-P-- +3×品-号 而P(X>2)-P(X>1.8+2×0.1)< P(X>1,8十0.1)<0.2，B正确，A错 L例3](1)D 规察图象知，X一 -P(X-3)- 120-30 误，故选BC N(30,c).Y~N(31a3). X的分布列为 对于A,Y的密度曲线瘦高，X的密度曲 第八节概率与统计的综合问题 X 线矮胖，即随机变量Y的标准差小于X 0 2 研磨·高考题型 的标准差，即>型· 因此Y的数据较X更集中，A正扇： [例1]解(1)亩产不低于56千克频率 1030 为4×(0.025+0.0125)-0.15， 对于B.显然P(X<3)>号=PY< 3 所以窗产不低于56千克的数据共有20 数学期望E(X)-1X立+2×品+3× 31),则当有31min可用时，坐公交车不 ×0.15-3个， 6 迟到的概率大，B正确： 故X的所有可能取值为0,1,2， 30-5 523金榜题名创新高考总复习数学 第七节二项分布、超几何分布与正态分布 [课标要求]1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲 线了解正态分布的概念，并进行简单应用. 夯实·必备知识 >>》 知识整合 3.正态分布 1.二项分布 (1)定义 (1)伯努利试验 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x) 只包含 可能结果的试验叫做伯努 1e,x∈R,其中u∈R,o>0为参 利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行 G√2π n次所组成的随机试验称为 数，则称随机变量X服从正态分布，记为 (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验 (2)正态曲线的特点 中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X ①曲线是单峰的，它关于直线 表示事件A发生的次数，则X的分布列为 对称； P(X=k)= ,k=0,1,2,…,2 ②曲线在 处达到峰值 如果随机变量X的分布列具有上式的形 v含 式，则称随机变量X服从二项分布，记作 ③当|x无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3。原则 (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①P(u-≤X≤H十a)≈0.6827； ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)= ②P(μ-2o≤X≤μ十2a)≈0.9545； ,D(X)= ③P(4-3a≤X≤+3σ)≈0.9973. ②若X~B(n,p),则E(X) (4)正态分布的均值与方差 D(X)= 若X~N(u,a2),则E(X)= ,D(X) 2.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M 【常用结论】 件次品.从V件产品中随机抽取n件（不放 1.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回 回)，用X表示抽取的件产品中的次品 抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对 数，则X的分布列为P(X==CC 应超几何分布，当总体容量很大时，超几何 C 分布可近似为二项分布来处理， k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈ 2.超几何分布有时也记为X~H(,M,N),其均 N",M≤V,n≤N,m=max{0,n-N+M}, r=min{n,M.如果随机变量X的分布列 值EX)=,方差D(X)=1-· 具有上式的形式，那么称随机变量X服从 超几何分布， (-号) 230 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 自我训练 2.若随机变量X服从二项分布B(6,),则 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 P(X=3)的值为 “/”或“X”) (1)两点分布是二项分布当n=1时的特殊 A营 16 C. D.i 情形 ( 3.一袋中装有大小、质地均相同的5个白球，3 (2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现 个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至 点数是3的倍数的次数，则X服从二项 分布。 ) 少含有一个黑球的概率是 (3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放 A君 &骨 c D. 回地任取一个球，连取3次，则取到红球的 个数X服从超几何分布， ( 4.设随机变量X~N(4,o),若P(X>m)= (4)当：取定值时，正态曲线的形状由σ确 0.8,则P(X>8-m)等于 ( 定，σ越小，曲线越“矮胖” A.0.2 B.0.7 C.0.8 D.0.9 研磨·高考题型 >》 题型一二项分布 [思维升华] [例1]某种植户对一块地上的n(n∈N')个 二项分布问题的解题关键 坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子 (1)定型： ①在每一次试验中，事件发生的概率 发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相 相同. 互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发 ②各次试验中的事件是相互独立的 芽，则不需要进行补种，否则需要补种 ③在每一次试验中，试验的结果只有两 个，即发生与不发生 (1)求每个坑不需要补种的概率： (2)当n=4时，用X表示要补种的坑的个 (2)定参：确定二项分布中的两个参数n 和，即试验发生的次数和试验中事件发生 数，求X的分布列和期望 的概率。 [尝试解答] [即时训练 (2025·太原模拟)甲、乙两名同学进行足球 点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得 50分，否则得0分.已知甲每次射进点球的 概率为号，且每次是否射进点球互不影响： 乙第一次射进点球的概率为号，从第二次点 球开始，受心理因素影响，若前一次射进点 球，则下一次射进点球的概率为子，若前一 次没有射进点球，则下一次射进点球的概率 为时 (1)设甲3次点球的总得分为X,求X的分 布列和均值； 231 金榜题名创新高考总复习数学 (2)求乙总得分为100分的概率. (1)求一学生既分得月饼又要表演节目的 概率； (2)求每位学生分得月饼数的概率分布列和 数学期望， 题型二超几何分布 [例2](2025·宿州模拟)宿州号称“中国云 都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG 动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、 济南之后的全国第5家量子通信节点城市. 为了统计智算中心的算力，现从全市n个大 题型三 正态分布 型机房和6个小型机房中随机抽取若干机 [例3] (1)(2025·合 房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全 肥月考)阿鑫上学有 是小型机房的概率为？ 时坐公交车，有时骑 X的密度 Y的密度 线 前线 自行车.若阿鑫坐公 (1)求n的值； 交车用时X和骑自行 26303438 (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型 车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图 机房的个数为X,求X的分布列和均值. 所示，则以下结论错误的是 [尝试解答] A.Y的数据较X更集中 B.若有34min可用，那么坐公交车不迟到 的概率大 C.若有38min可用，那么骑自行车不迟到 的概率大 D.P(X>30)+P(Y≤30)=1 (2)(2025·唐山模拟)某种食盐的袋装质量 X服从正态分布N(400,16),随机抽取 [思维升华] 10000袋，则袋装质量在区间(396,408]的 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问 约有 袋.（质量单位：g) 题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几 附：若随机变量X服从正态分布N(,G), 何分布的特征是：①考察对象分两类：②已知 则P(μ-o≤X≤十a)≈0.6827，P(u-2o 各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考 ≤X≤4十2a)≈0.9545，P(43a≤X≤4十 查某类个体数X的分布列。 3g)≈0.9973. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同 [尝试解答] 类别的小球等概率模型，其本质是古典概型 [即时训练] 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了 一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑 球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完 全相同.每位学生从中一次随机摸出3个 球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个 红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄 球，则需要表演一个节目. 232 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 [思维升华] A.甲类水果的平均质量4=0.4kg 解决正态分布问题的三个关键点 B.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集 (1)对称轴为x= 中于均值左右 (2)标准差为σ. C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均 (3)分布区间。 质量大 利用对称性可求指定范围内的概率值： D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数 由以，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区 02=1.99 间转化为3。特殊区间，从而求出所求概率. (2)(多选)(2024·新课标1卷)随着“一带 注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措 [即时训练] 并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩 (1)甲、乙两类水果的质量（单位：kg)分别服 收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样 从正态分布N(41,oi),N(2,),其相应的 本，得到推动出口后亩收入的样本均值x= 分布密度曲线如图所示，则下列说法正确 2.1,样本方差=0.01，已知该种植区以往 的是 ()】 的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12), (注：正态曲线的函数解析式为∫(x) 假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布 1 ER) √2π·o N(x,s2),则（若随机变量Z服从正态分布 N(,a2),P(Z<十a)≈0.8413)() A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 1.99 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 请完成课时作业（八十二）》 0 0.4ǜ.8 第八节 概率与统计的综合问题 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一频率分布直方图与分布列的综合 频率 问题 组距 0.0875 [例1](2025·四川成都模拟)某贫困县在政 府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身 0.05 资源，大力发展茶叶种植.该县农科为了对 0.0375 0.025 比A,B两种不同品种茶叶的产量，在试验田 0.0125 上分别种植了A,B两种茶叶各20亩，所得 040444852566064亩产常 亩产数据（单位：千克）都在[40,64]内，根据 B品种 亩产数据得到频率分布直方图如下： (1)从A种茶叶亩产的20个数据中任取两 频率 个，记这两个数据中不低于56千克的个数 组距 为X,求X的分布列及数学期望； 0.075 (2)在频率分布直方图中，若平均数大于中 0.05 位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于 0.0375 0.025 中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算 0.0125 判断B种茶叶的亩产量属于上述哪种 040444852566064亩产量 A品种 类型 233