第6节 离散型随机变量及其分布列、数字特征-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

(②)A,记事件A1:放入水果分遮机的苹 (2)答案 果为大果，事件A,:放入水果分进机的 6 (2)AC由题意号+6+-1.b 草果为小果， 解析 P(X=n)一 4 了，故遮项A正确：藏商场销售孩商品5 n(n+1) 记事件B:水果分选机蓓选的苹果为 (n=1,2,3,4), 件，其中3件销售利涧为0的凝率为( “大果”， “号+名十是十易-1，解得a- 5 则PA)-是P(A)-0P(B1A) ×(宁)广×（合）广-亮就选项B正 P(侵<x<)）=PX=1)+ -品P(BA)- 确：随机支量X的均植E(X)-0×号十 P(X-2)-×+×g-吾 由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B 即时训练(1)D:2h=a十c,且a十b ×+2×-号u十1，可知方是 3 A)+ +c=1, -号a+] 1 0 PA)P(B4)-品×品+品×动 解得6-合 857 P(||=1)=P(g=-1)+P(=1)= [a-a+n]x号+[2-a+] 10001 a十c-26-子故选D ×合-六×(12w2-12a+30)-六× P(A1B)=P(A1)P(B|A1)= 品×品 (2)答案3 855 [l2(u-）)'+2n]当a=合时，D -1000 解析P(X-i)-ai(i-1.2,…,8) P(AB) 855 .a(1+2+3+…+8)-36a-1,解得a (X)m=立，故选项C正确：当D(X)m 因此，P(A1|B)= P(B) 1000 -合时，EX)-子×（合+1）- 1000-855 857857 [例2](1)答案乙 故选项D错误。 解析由题意知：E()-8×0.3十9 即时训练答案0.012 [例3]C周为随机变量X的分布列为 0.2+10×0.5=9.2, 解析设事件A:“歌得一件次品”，事件 E()-8×0.2+9×0.4+10×0.4- B:“取得次品是甲厂生产”，B:“取得 P(X=)千k=12.5), 9.2, 次品是乙厂生产”， 所以D()=0.3×(8-9.2)+0.2× 由分布列的性质可知，P(X=1)十P(X 由题意可知P(B1)=0.9,P(B,)=0.1 (9-9.2)+0.5×(10-9.2)2- =2)+PX=5)=号+号+号=1，解 P(A|B1)-0.01,P(AB2)-0.03. 0.76, D(7)=0.2×(8-9.2)2+0.1× 得a-1. 所以由全凝率公式知取得次品的概单为 (9-9.2)2+0.4×(10-9.2)2= P(0<X<3.5)-P(X-1)+P(X-2) P (A)-P (AB)P (B)+ 0.56, P(A|B2)P(B2)-0.01×0.90+0.03 周为D(7)<D(),所以乙更稳定 ×0.10=0.012. (2)答案5 解析依题意可得 因为E(X)=1×号+2×号+5×吉 第六节离散型随机变量 =2 及其分布列、数字特征 a+b+言-l 所以E(3X+2)=3E(X)+2=3×2+2 1 夯实·必备知识 -1x+0xa+1xb- =8,故B不正确： 知识整合 a=3 由DX0-号×(1-22+号×(2-20 1.唯一 解得 3.≥1 b=2 十日×6-2y-2,故C正确 4.(1)x1p1十r2p+…十rmpw 平均水平 所xD(x)-（-1-》× 因为D(X)-2, (2)标准差偏离程度 所以D(3X十1)-9D(X)=18,故D不 5.(1)aE(X)+b(2)a2DX) (0-)×吉+(1-)× 正确， 自我训练 即时训练(1)ABD由分布列的性质 1.(1)×(2)√(3)√(4)/ -9 得子十4m=1,解得m=言，故A正扇： 2.A3.21.24.乙 所以D(3X-2)-32D(X)-9×9 研磨·高考题型 -5. EX0--1×号+0X+1X- [例1(1)ABD因为0.1+0.2+0.4+ 微拓展 0.2+a=1,解得a=0.1,故A正扇： 典例(1)D由分布列可得E(X)=0 ,故B正确 由分布列知P(X≤2)-P(X=0)十P(X x号+1×+2×号-是+p, 2 E2X-1D=2EX)-1--号，故C不 =1)+P(X-2)-0.1+0.2+0.4-0. 7,故B正确： 则D(x)-号（号+） 正确 P(X≥3)-P(X-3)+P(X-4)=0.2 (合+-)'+专（安+-2） D(x)-号×(-1-言)）+× 十0.1-0.3，故C错误： P(X≤1)-P(X-0)+P(X-1)-0.1 -++-(-)）+是 (0-)'+×(1-）)-器D 十0.2-0,3，故D正确. 因为0<<1，所以D(X)先培后浅 正确 -521 (2)答案 15 7 3 (2)易知X的可能取值为0,1,2,3,4， 16 DY)-0.852×6+(-0.15)2×8 解析由题意知，：的所有可能取值为 (-1.15P×高+(-215×0 且X~(4,)） 5,4,3,2 0.9025, 周此P(X=0)=C×(号)）”×（号）】 显然E(X)-E(Y),D(X)>D(Y), Pe-0-÷×(1-子)-是 所以选择B景点 即时训练解(1)由避意得，X的所有 Px--d×()广'×（告）广'- P传-3)-(1-十)×-： 可能取值为0,20,100， P(X=0)=1-0.8=0.2, PX=2)-G×(号)广×(3)-毫 Pg=2)=(1-)×(1-)=品 P(X-20)-0.8×(1-0.6)=0.32, Px-3)-x(号)广'×（位）广- P(X-100)-0.8×0.6-0.48, 则E-5言+4×是+3×是+2× 所以X的分布列为 px==C×(合)广×（告）”=品 品-共 X 20 所以X的分布列为 100 3 P 0.2 0.32 0.48 Dc)-(6-)×+(-共)'× (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可 16 416 +(-)×品+2-)×品 得E(X)=0×0.2+20×0,32+100× 0.48=54.4 E(X0=1× =2. 当小明先回答B类问题时， 即时训练 解(1)设甲3次点球射近 [例4门解(1)设“这4人中拾有2人给 记Y为小明的累计得分， 的次数为Y, 出·非常满意’的评价”为事件C,由表中 则Y的所有可能取值为0,80,100， 则YB(3,号) 数据可知，游客在A景点给出“非常满 PY=0)=1-0.6=0.4, Y的可能取值为0,1,2,3，且X-50Y, 意“泽价的复奉为品一宁 P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12, 则X的所有可能的取值为0,50， P(Y-100)=0.6×0.8-0.48, 100,150 游客在B景点给出“非常满意”评价的概 所以Y的分布列为 P(X-0)-PY-0)-(1-号)'-7 0 80 100 0.12 P(x-50)-P(y-1)-g(号)· 尉P(c)=(号)(1-)+g· 0.4 0.18 E(Y)-0×0.4+80×0.12+100×0.48 (1-)广- ·1-)e·(1-)+ -57.6. P(X-1oo)-Py-2)-c(号)'， 图为57.6>54.4，即E(Y)>E(X),所以 (-)(品)-器 为使累计得分的期望最大，小明应选择 (1-)广-÷ (2)设一位游客对A景点的满意度评分 先回答B类问题 为X,一位游客对B景点的满意度评分 第七节 二项分布、超几何分布与 P(X-150-Py-3)-(号）'- 为Y, 所以X的分布列为 正态分布 由数表中数据得X的分布列为 0 50 100150 夯实·必备知识 32 1 2 知识整合 9 3 3 2 10202 1.(1)两个n重伯努利试验 (2)Cb(1-p)"-◆X~B(n,p) E(X)-0×27 +50×+100X9 了的分布列为 (3)①pp(1一p)②np#p(1一p) 8 3.(1)X一N(a,g)(2)①x-H②x-4 150×27=10. (或E(X)=E(50Y)=50E(Y)=50×3× (4)4a2 品 自我训练 号-100 1.(1)/(2)/(3)×(4)× (2)设“乙第i次射进点球”为事件A,(① 则E(X)-4×+3×哥+2× +1 2.C3.B4.A =1,2,3), 研磨·高考题型 则乙慈得分为100分的事件为 [例1门解(1)由题意可知，每个坑要补 B-A1A2A3十A1AgA十A1A2A3 因为A1AA,AA2AA1AA至斥， DX0=0.852×号+(-0.152×+ 种的概率 所以P(B)=P(A1AA十AA,A （-1.15)2×0+(-215×易 p-g×(位+g××（） A4A)-号××(1-子)+号× =1.1275. 2 (1-)×+(1-)×号×4 EB)-4×+3×+2×高+1× 则每个坑不需要补种的概率为1一 0-8,15 故乙总得分为100分的概率为3 522金榜题名创新高考总复习数学 [尝试解答] [即时训练] (2025·汉中模拟)某电子设备厂所用的元 件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记 录，这两个厂家的次品率分别为0.01， [思维升华] 0.03,提供元件的份额分别为0.90,0.10. 利用全概率公式解题的思路 设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分 的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机 解为若千个互斥事件A,(i=1,2,…,n). 取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 (2)求P(A,)和所求事件B在各个互斥 事件A发生条件下的概率P(A,)P(BA,). (3)代入全概率公式计算 请完成课时作业（八十）、必刷小题19 第六节 离散型随机变量及其分布列、数字特征 [课标要求]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随 机变量的数字特征。 夯实·必备知识 >>》 ■ 知识整合 (1)均值（数学期望） 1.离散型随机变量 称E(X)= Zxp 一般地，对于随机试验样本空间2中的每 为随机变量X的均值或数学期望，数学期 个样本点。，都有 的实数X(w)与 望简称期望.它反映了随机变量取值的 之对应，我们称X为随机变量：可能取值为 有限个或可以一一列举的随机变量称为离 (2)方差 散型随机变量. 称D(X)=(x-E(X))2p十(x2-E(X))2p 2.离散型随机变量的分布列 ++(x,-EX)A.=2(-E(X)'p, 一般地，设离散型随机变量X的可能取值 为随机变量X的方差，并称√D(X)为随机 为x1x2…xm,称X取每一个值x,的概率 变量X的 ,记为σ(X),它们都可 P(X=x,)=p:,i=1,2,…,n为X的概率 以度量随机变量取值与其均值的 分布列，简称分布列 5.均值（数学期望）与方差的性质 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)E(aX+b) (1)p 0,i=1,2,…,n: (2)D(aX+b)= (a,b为常数). (2)p1十p2十…十pn= 【常用结论】 4.离散型随机变量的均值（数学期望）与方差 1.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数. 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 2.E(X,+X2)=E(X,)十E(X2). 3.D(X)=E(X)-(E(X)2. X I? 4.若X1,X2相互独立，则E(X,X2)=E(X1) P P p2 Pn ·E(X2) 226 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 自我训练 A号 B.4 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 C.-1 D.1 “/”或“X”) (1)在离散型随机变量的分布列中，随机变 3.已知随机变量X满足P(X=1)=P(X=2) 量取各个值的概率之和可以小于1.( =0.4,P(X=4)=0.2,则E(X)= (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事 D(X)= 件是彼此互斥的. ( ) 4.甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分 (3)随机试验的结果与随机变量是对应关 别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为 系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量 X 0 2 3 的值与之对应. () (4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离 P 0.4 0.3 0.2 0. 程度越小. 2.已知X的分布列为 Y 0 1 2 X 0 P 0.3 0.5 0.2 1 2 3 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中 设Y=2X+3,则E(Y)的值为 技术较好的是 研磨·高考题型 >》 题型一分布列的性质 [思维升华] [例1](1)（多选）已知随机变量X的分布列 离散型随机变量分布列的性质的应用 如表（其中a为常数）： (1)利用“概率之和为1”可以求相关参 数的值 X 0 1 2 3 4 (2)利用“在某个范围内的概率等于它取 P 0.1 0.2 0.4 0.2 这个范围内各个值的概率之和”求某些特定 则下列计算结果正确的是 ( 事件的概率。 A.a=0.1 B.P(X≤2)=0.7 (3)可以根据性质判断所得分布列结果 C.P(X>≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3 是否正确。 (2)离散型随机变量X的概率分布规律为 [即时训练 (1)随机变量的分布列如下： P(X=m)=n(m+m=1.2,3,4),其中a 0 是常数，则P(2<X<)）= P a b [尝试解答] 其中2b=a+c,则P(|=1)等于( 号 B c D (2)(2025·洛阳模拟)设随机变量X的分 布列为P(X=i)=ai(i=1,2,…,8),则常 数a= 227 金榜题名创新高考总复习数学 题型二 离散型随机变量的分布列及数字 (2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件 特征 销售利润为X=0,a,2,根据以往销售经验可 命题点1求离散型随机变量的分布列及数 得0<a<2,随机变量X的分布列为 字特征 0 a 2 [例2](1)甲、乙两种零件某次性能测评的 分值，？的分布如下，则性能更稳定的零件 2 是 下列结论正确的是 9 10 P 0.3 0.2 0.5 A-司 B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 利润为0的概率为品 (2)(2025·太原模拟)随机变量X的分布 CD0m-号 列如表所示，若E(X)=3,则D(3X-2)= D.当D(X)mn最小时，E(X)=马 命题点2均值（数学期望）与方差的性质 0 应用 例3] 设随机变量X的分布列为P(X=k) 6 [尝试解答] =E+k=1,2,5),a∈R,E(X),D(X)分 别为随机变量X的均值与方差，则下列结 论正确的是 AP0<X<3.5)=号 B.E(3X+2)=7 [微拓展] C.D(X)=2 均值、方差的大小比较、最值（范围）问题 关于随机变量的均值与方差，近几年均以选 D.D(3X+1)=6 [尝试解答] 择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计 算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均 值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的 增减性分析：(3)均值、方差的最值；(4)解均 值、方差的不等式求字母的范围 典例(1)设随机变量X的分布列如下（其 中0<p<1),D(X)表示X的方差，则当p从 [思维升华] 0增大到1时 ( 求离散型随机变量：的均值与方差的步骤 X 0 1 2 (1)理解的意义，写出：的所有可能 1-p 取值. 2 2 (2)求取每个值的概率 A.D(X)增大 B.D(X)减小 (3)写出的分布列. C.D(X)先减后增 D.D(X)先增后减 (4)由均值、方差的定义求E(),D(). 228 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 [即时训练] [尝试解答] (1)(多选)已知随机变量X的分布列为 0 37 3 则下列结论正确的有 A.m= 1 B.E(X)=1 [思维升华] CE2X-1=号 D.D(X)=29 随机变量的均值和方差从整体和全局上 6 刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取 (2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏 舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值 日，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第 相同，再用方差来决定。 二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局 [即时训练] 比赛胜利的概率为子，设他参加一次答题活 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问 动得分为，则D() 题中选择一类并从中随机抽取一个问题回 题型三均值与方差中的决策问题 答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答 [例4幻(2025·上海模拟)随着五一黄金周 正确则从另一类问题中再随机抽取一个问 的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A, 题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结 束.A类问题中的每个问题回答正确得20 B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学 分，否则得0分；B类问题中的每个问题回 习小组采用随机抽样的方法，获得关于A 答正确得80分，否则得0分 旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的 已知小明能正确回答A类问题的概率为 问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级划 0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6，且 分为：非常满意、满意、一般、不满意，对应分 能正确回答问题的概率与回答次序无关。 数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计 (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的 如下： 累计得分，求X的分布列： (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择 非常满意满意 一般 不满意 先回答哪类问题？并说明理由 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 8 假设用频率估计概率，且游客对A,B两个 旅游景点的满意度评价相互独立， (1)从所有（人数足够多）在A旅游景点的 游客中随机抽取2人，从所有（人数足够多） 在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计 这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率： (2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A, B哪个旅游景点？说明理由， 请完成课时作业（八十一） 229