第5节 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 第五节 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 [课标要求]1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会 利用全概率公式计算概率. 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 【常用结论】 1.相互独立事件 1.如果事件A1,A2,…,An相互独立，那么这n个事 件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 (1)概念：对任意两个事件A与B,如果 积，即P(AA…A)=P(A)P(A)…P(A). P(AB)= 成立，则称事件A与事 件B相互独立，简称为独立. 2.‘贝叶斯公式：设A1,A2,A3…An是一组两 (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A 两互斥的事件，A1UA2UA3…UA.=2,且 P(A,)>0,i=1,2,3,4…n, 与B,A与 ,A与B也都相互独立. 2.条件概率 则对任意的事件B二2，P(B)>0,有P(AB) P(A,)P(BA)P(A,)P(BA,) (1)概念：一般地，设A,B为两个随机事件， P(B) 且P(A)>0,我们称P(B1A)=PAB为 P(ADP(BIA) P(A) i=1,2,3,4…n. 在事件A发生的条件下，事件B发生的条 自我训练 件概率，简称条件概率。 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 (2)两个公式 “/”或“X”) ①利用古典概型：P(B1A)=n(AB) n(A)月 (1)对于任意两个事件，公式P(AB)= () ②概率的乘法公式：P(AB)= P(A)P(B)都成立. (3)条件概率的性质 (2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下， 事件B发生的概率，P(AB)表示事件A,B 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概 同时发生的概率。 () 率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则 (3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正 ①P(2A)= 面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事 ②如果B和C是两个互斥事件，则P(BUCA) 件B,则A,B相互独立. () (4)若事件A,与A2是对立事件，则对任意 ③设B和B互为对立事件，则P(B引A)= 的事件B二2，都有P(B)=P(A1)P(B|A,) +P(A2)P(BA2). () 3.全概率公式 2.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出 一般地，设A1,A2,…,A是一组两两互斥的 事件，A,UA2U…UAn=2,且P(A)>0,i 谜题的概率分别为2，号，则谜题没被破解 =1,2,…,n,则对任意的事件B二2，有P 出的概率为 (B)=2(A)P(B1A,) A .3 c D.1 223 金榜题名创新高考总复习数学 3.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5 件合格品，现不放回地从中依次抽取2件， 正确这道题的概率是号，甲、丙两个家庭都 在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次 回答错误的概率是·乙、丙两个家庭都回 品的概率是 ( A.28 c n.号 答正确的概率是，各家庭是否回答正确互 不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个 4.某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道 家庭回答正确这道题的概率为 有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答 研磨·高考题型 》 ■ 题型一相互独立事件的概率 [尝试解答] 命题点1事件相互独立性的判断 [例1]（多选）(2025·潍坊模拟)一个盒子 里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中 黑球有两个，编号为1,2；红球有两个，编号 为3,4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件 “第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二 次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球 同色”，则 ( ) A.A与D相互独立 B.A与B相互独立 C.B与D相互独立 D.A与C相互独立 [思维升华] [尝试解答] 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于 他们各自发生的概率之积。 (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可 从其对立事件入手计算 命题点2相互独立事件的概率 [即时训练] [例2]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛， 为庆祝教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙 约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛 两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜 前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空； 猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成 每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛， 负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一 语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜 人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其 中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束 对的概率为子在每轮比赛中，甲和乙猜对 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比 与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至 赛双方获胜的概率都为2· 少猜对一个成语的概率为 ( (1)求甲连胜四场的概率； A号 B品 (2)求需要进行第五场比赛的概率； 7 (3)求丙最终获胜的概率. C.0 1 0.20 224 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 题型二条件概率 [思维升华] 命题点1条件概率 求条件概率的常用方法 [例3](2025·汉中模拟)袋中有除颜色外 P(AB) 完全相同的6个小球，其中4个白球和2个 (1)定义法：P(BA)= P(A)' 红球，现从袋中不放回地连取两个，在第一 (2)样本点法：P(BA)=n(AB) 次取得白球前提下，则第二次取得红球的概 n(A)' 率为 ) (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只 A.0.25 B.0.4 研究剩下的情况，用古典概型求解， C.0.5 D.0.6 [即时训练] [尝试解答] (1)(多选)设A,B是随机试验的两个事件， PCA)=号，PCB)=是，PAUB=是则 ( 命题点2条件概率性质的应用 A.事件A与事件B互斥 [例4]（多选）若A、B分别为随机事件A、B B.事件A与事件B相互独立 的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,则下列结 论正确的是 CPAB=号 A.P (BA)+P(B A)=1 B.P(A B)P(B)=P(B A)P(A) DP(AB=号 C.P(A B)+P(A B)=P(B) (2)一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从 D.若P(AB)=P(A),则P(BA)=P(B) 中不放回地任取1个小球，则第二次才取出 [尝试解答] 红球的概率是 题型三全概率公式的应用 [例6](1)某人外出出差，委托邻居给家里 盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯菱的概率 命题点3乘法公式的应用 为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若 [例5]已知1号箱中有2个白球和4个红 邻居浇水的概率为P,该人回来盆栽没有枯 球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球 萎的概率为0.83，则实数P的值为() 与红球大小、形状、质地相同)，现随机从1 A.0.9 B.0.85 号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中 C.0.8 D.0.75 随机取出一球，则两次都取到红球的概率是 (2)(2025·石嘴山模拟)一堆苹果中大果与 小果的比例为9：1，现用一台水果分选机 A品 进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小 3 D. 果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率 为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选 [尝试解答] 机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则 这个“大果”是真的大果的概率为 () A.87 857 B.1000 c鼎 9 0.0 225 金榜题名创新高考总复习数学 [尝试解答] [即时训练] (2025·汉中模拟)某电子设备厂所用的元 件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记 录，这两个厂家的次品率分别为0.01， [思维升华] 0.03,提供元件的份额分别为0.90,0.10. 利用全概率公式解题的思路 设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分 的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机 解为若千个互斥事件A(i=1,2,…,n). 取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 (2)求P(A)和所求事件B在各个互斥 事件A,发生条件下的概率P(A)P(BA,). (3)代入全概率公式计算. 请完成课时作业（八十）、必刷小题19 第六节 离散型随机变量及其分布列、数字特征 [课标要求]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，2.理解并会求离散型随 机变量的数字特征， 夯实·必备知识 >>》 知识整合 (1)均值（数学期望） 1.离散型随机变量 称E(X)= x = 一般地，对于随机试验样本空间2中的每 为随机变量X的均值或数学期望，数学期 个样本点ω，都有 的实数X(a)与 望简称期望.它反映了随机变量取值的 之对应，我们称X为随机变量：可能取值为 有限个或可以一一列举的随机变量称为离 (2)方差 散型随机变量. D(X)=(x-E(X))(x2-E(X))p 2.离散型随机变量的分布列 ++(x,-E(X)'n,=2(z,-E(X0)p 一般地，设离散型随机变量X的可能取值 为随机变量X的方差，并称√D(X)为随机 为x1,x2,…,xm,称X取每一个值x,的概率 变量X的 ,记为(X),它们都可 P(X=x,)=p,i=1,2,…,n为X的概率 以度量随机变量取值与其均值的 分布列，简称分布列 5.均值（数学期望）与方差的性质 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)E(aX+b)= (1)p 0,i=1,2,…,: (2)D(aX+b)= (a,b为常数). (2)p1十2十…十pn= 【常用结论】 4.离散型随机变量的均值（数学期望）与方差 1.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 2.E(X,+X2)=E(X)+E(X2). 3.D(X)=E(X2)-(E(X)2 X T2 工 4.若X1,X2相互独立，则E(XX2)=E(X) P ·E(X2) 226(2)记“乙命中目标”为事件B,则P(B) 丙上场后连胜三场的概率为客 1 对于D选项，周为P(AB)=PCB P(AB) =,PB)= 所以需要进行第五场比赛的概率为 =P(A),所以P(AB)=P(A)P(B), 两次射击中，恰好有一人命中目标的事 所以事件A、B独主，故P(B|A) 件为ABUAB 由题意知事件A,B相互独立， (3)丙最终获胜，有两种情况： P(AB)-P(B),D对.故遮BD. P(A) 所以所求概率P(ABUAB)=P(AB)十 比寄四场结来且丙最终获胜的概率 [例5]C设“从1号霜中取到红球放入 PA-PAPB)+PA)P(B-号 为宫 2号箱”为事件A,“从2号箱中取到红 球”为事件B. ×+×- 比赛五场结束且两最终获胜，则从第二 场开始的四场比赛按照两的杜、负、轮空 由题意，知PA)一2十1 4 2 第五节事件的相互独立性与 结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜， 条件概率、全概率公式 负空雅胜，版奉分别为品宁·言 P(B到A)--号，所以P(BA) 4、28 1 1 夯实·必备知识 因此两最终被胜的概单为京十店十8 P(BA)P(A)-27 知识整合 7 所以两次都取到红球的概率为》，故 1.(1)P(A)P(B)(2)B +片- 2.(2)②P(A)P(B|A)(3)D1 即时训练B设事件A=“甲猜对”，B 选C, ②P(BA)+P(CA)③1-P(BA) 一“乙猜对”，C一“几何队至少猜对一个 即时训练(1)BD因为P(AUB) 自我训练 成语”， P(A)+P(B)-P(AB). 1.(1)×(2)√(3)/(4)/ 所以P(A)=号，P(B)=是副 所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB) 2.A3.D40 P(A)P(B 研磨·高考题型 由题意知，事件A,B相互独立，则A与 因为P(A)P(B)-号×- [例1门BCD不放回依次取出两个，基本 B,A与B,A与B也相互独立 事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41， P(AB),所以事件A与事件B相互独 法-：C=(AB)U(AB)U(AB), 32,42,43,共12种， 立，故B正确： AB,AB,AB两两互互斥， 事件A-“13,14,23,2431,41,32,42”: P(C)-P(AB)+P(AB)+P(AB)- 因为P(A|B)一 P(AB) 事件B=“12,13.14,21,23,24”: P(B) ,故C P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B) 事件C-12,21,31,1,32,42” 事件D-“12,21,34,43” ×是+×+×-品 正确 事件AD=☑，章件AB=“13,14,23, 法二：事件C的对立事件C-“几何队一 因为P(AB)-1一P(AB)-1 21”, 个成语也没有猜对”，即C一AB 事件BD-“12,21.”,事件AC-“31, 则P(C)=1-P(C)=1-P(AB)=1 ，故D正确」 1 41,32,42”, 则PA)=是-号，P(B)=是- P闭PB)-1-吉×-品故选B 8 (2)答案 [例3]B设第一次取得白球为事件A, PC)--P(D)--号 解析由题意知第一次取出的是黑球， 第二次取得红球为事件B, 设为事件A,第二次取出红球设为事 所以在第一次取得白球前提下，则第二 P(AD)=0,P(AB)=立 次取得红球的概率为： 件B, 21 4×2 (BD)=立=G,P(AC)=立=3 P(AB) 6×5 2 期P(A)-是-号 5 P(BIA)- P(A) 1X5 5 -0,4.故 2 所以P(AD)≠P(A)P(D),所以A与 6×5 则P(BA)-日· D不相互独主： 选B. 所以第二次才取出红球的概率是 P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相 L例4] BD 对于A选项，因为P 互独立： (B|A)+P(B|A)= P(AB) P(AB)-P(A)P(BA)-÷×号 5 + P(BD)-P(B)P(D),所以B与D相 P(A) 、8 互独立： P(AB)P(AB)+P(AB)P(A) P(A) P(A) P(A) P(AC)=P(A)P(C),所以A与C相 [例6](1)A记A为事件“盒我没有枯 互独立，故选BCD, 一1，但P(BA)与P(B|A)不一定相 菱”，W为事件“邻居给盆我浇水”，由题 等，故P(B|A)十P(B|A)不一定等 [例2]解)甲连胜四场的艇率为 1 意可得P(W)=P,P(W)=1-P,P(A 于1，A错： W)=0.8,P(A|W)=0.1,由对立事件的 (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛， 对于B选项，因为P(A|B)P(B)一 概率公式可得P(A)-1一P(A)-1一 至多需要进行五场比赛， P(AB),P(BA)P(A)=P(AB). 0.83=0.17. 比赛四场站来，共有三种情况： 所以P(A|B)P(B)-P(B|A)P(A), 由全概率公式可得 B对； 甲连胜四场的概率为高：乙连胜四场的 对于C选项，P(AB)十P(A|B) P(A)-P(W)P(A W)+P(W)P(A W) 概率为6 P(AB)P(AB) P(B)-1.C错： -P×0.1十(1-P)×0.8-0.17,解得P P(B) P(B) P(B) =0.9,故远A 520 (②)A,记事件A1:放入水果分遮机的苹 (2)答案 果为大果，事件A,:放入水果分进机的 6 (2)AC由题意号+6+-1.b 草果为小果， 解析 P(X=n)一 4 了，故遮项A正确：藏商场销售孩商品5 n(n+1) 记事件B:水果分选机蓓选的苹果为 (n=1,2,3,4), 件，其中3件销售利涧为0的凝率为( “大果”， “号+名十是十易-1，解得a- 5 则PA)-是P(A)-0P(B1A) ×(宁)广×（合）广-亮就选项B正 P(侵<x<)）=PX=1)+ -品P(BA)- 确：随机支量X的均植E(X)-0×号十 P(X-2)-×+×g-吾 由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B 即时训练(1)D:2h=a十c,且a十b ×+2×-号u十1，可知方是 3 A)+ +c=1, -号a+] 1 0 PA)P(B4)-品×品+品×动 解得6-合 857 P(||=1)=P(g=-1)+P(=1)= [a-a+n]x号+[2-a+] 10001 a十c-26-子故选D ×合-六×(12w2-12a+30)-六× P(A1B)=P(A1)P(B|A1)= 品×品 (2)答案3 855 [l2(u-）)'+2n]当a=合时，D -1000 解析P(X-i)-ai(i-1.2,…,8) P(AB) 855 .a(1+2+3+…+8)-36a-1,解得a (X)m=立，故选项C正确：当D(X)m 因此，P(A1|B)= P(B) 1000 -合时，EX)-子×（合+1）- 1000-855 857857 [例2](1)答案乙 故选项D错误。 解析由题意知：E()-8×0.3十9 即时训练答案0.012 [例3]C周为随机变量X的分布列为 0.2+10×0.5=9.2, 解析设事件A:“歌得一件次品”，事件 E()-8×0.2+9×0.4+10×0.4- B:“取得次品是甲厂生产”，B:“取得 P(X=)千k=12.5), 9.2, 次品是乙厂生产”， 所以D()=0.3×(8-9.2)+0.2× 由分布列的性质可知，P(X=1)十P(X 由题意可知P(B1)=0.9,P(B,)=0.1 (9-9.2)+0.5×(10-9.2)2- =2)+PX=5)=号+号+号=1，解 P(A|B1)-0.01,P(AB2)-0.03. 0.76, D(7)=0.2×(8-9.2)2+0.1× 得a-1. 所以由全凝率公式知取得次品的概单为 (9-9.2)2+0.4×(10-9.2)2= P(0<X<3.5)-P(X-1)+P(X-2) P (A)-P (AB)P (B)+ 0.56, P(A|B2)P(B2)-0.01×0.90+0.03 周为D(7)<D(),所以乙更稳定 ×0.10=0.012. (2)答案5 解析依题意可得 因为E(X)=1×号+2×号+5×吉 第六节离散型随机变量 =2 及其分布列、数字特征 a+b+言-l 所以E(3X+2)=3E(X)+2=3×2+2 1 夯实·必备知识 -1x+0xa+1xb- =8,故B不正确： 知识整合 a=3 由DX0-号×(1-22+号×(2-20 1.唯一 解得 3.≥1 b=2 十日×6-2y-2,故C正确 4.(1)x1p1十r2p+…十rmpw 平均水平 所xD(x)-（-1-》× 因为D(X)-2, (2)标准差偏离程度 所以D(3X十1)-9D(X)=18,故D不 5.(1)aE(X)+b(2)a2DX) (0-)×吉+(1-)× 正确， 自我训练 即时训练(1)ABD由分布列的性质 1.(1)×(2)√(3)√(4)/ -9 得子十4m=1,解得m=言，故A正扇： 2.A3.21.24.乙 所以D(3X-2)-32D(X)-9×9 研磨·高考题型 -5. EX0--1×号+0X+1X- [例1(1)ABD因为0.1+0.2+0.4+ 微拓展 0.2+a=1,解得a=0.1,故A正扇： 典例(1)D由分布列可得E(X)=0 ,故B正确 由分布列知P(X≤2)-P(X=0)十P(X x号+1×+2×号-是+p, 2 E2X-1D=2EX)-1--号，故C不 =1)+P(X-2)-0.1+0.2+0.4-0. 7,故B正确： 则D(x)-号（号+） 正确 P(X≥3)-P(X-3)+P(X-4)=0.2 (合+-)'+专（安+-2） D(x)-号×(-1-言)）+× 十0.1-0.3，故C错误： P(X≤1)-P(X-0)+P(X-1)-0.1 -++-(-)）+是 (0-)'+×(1-）)-器D 十0.2-0,3，故D正确. 因为0<<1，所以D(X)先培后浅 正确 -521