第4节 随机事件与概率-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

即时训练(1)C11"+C·11-1十 (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等 的概率计算公式可得，甲进街舞社团，乙 Cg·11w-2+…+Cg-1·11-1=Cg· 奖”为享件N,别事件N与事件“1张奖 进书法社团或摄影社因的概奉P一2 11"+C·11"-1+Cg·11-8+…+ 券中特等奖或中一等奖"互为对立事件， .P(V)=1-P(AUB)-1-[P(A)+ (G-1·11+G-2-(11+1)-2 一6 -12-2-(13-1)-2 PB]-1-(+)-8品 即时调练(1)C从正六边彩的6个顶 -(C9·13”-C·130-1+…+ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的 点中任取3个，有C=20(个)三角形， (-1)m-1·C-1·13+(-1)m·C -2, 低本为8 因为n为奇数，则上式= T例3]ABC:用频率估计概率得P(M) C9·13-C·13-1+…+(-1)m-1 550 260 1000-0.55.P(N0-1000-0.26 ·Cg-1·13-3=[Cg·13"-C· 13"-1+…+(-1)m-1·(C-1·13 pH)-1000-550-260-0.19,故A 1000 其中直角三角形，每边对应2个，如因， 13]+10, B,C正确： 例如Rt△BDE和Rt△ADE,共有2X6 所以11+C·114-1+Cg·11一2十 P(VUH)表示寧件N发生成事件H发 =12(个)， 十(-1·11一1除以13的余数是10. 生，且N与H至斥，故P(NUH)= 所以所求城率为20一5 123 (2)A原式=(1+0.998)5-1=(2 P(N)+P(H)-0.26+0.19-0,45,故 0.002)5-1-C92-C24×0.002+ D错误. (2)答案0 Cg28×0.002+…+C哼×0.0025-1≈ 即时训练(1)B对于A,“至少有一个 解析从甲、乙等5名同学中随机选3 32-0.16-1-30.81.故选A. 红球”可能为一个红球。一个白球，“至少 名，有C种情况，其中甲、乙都入选有 有一个白球”也可能为一个白球、一个红 第四节随机事件与概率 球，故两事件可能同时发生，所以不是亚 C种情况，所以甲，乙都入选的概率P一 夯实·必备知识 斥事件：对于B,“恰有一个红球”，则另 Cg=10 一个必是白球，与“都是白球”是互斥事 知识整合 件，而任取两球还可能都是红球，故两事 [例5]解(1)用a,b分别表示事件“进 1.(1)①基本结果样本空间(2)①子集 件不是对立章件：对于C,“至少有一个 择物理"“选择历史”，用c,,e,∫分别表 ③必然事件：不可能事件 红球”为都是红球或一红一白，与“都是 示事件“逸择化学”“滋择生物”“选择思 2.A二BA一B事件A与事件B至少有 白球"显然是对立事件：对于D,“至多有 想政治"“选捧地理”， 一个发生AnB或ABA∩B=O,且 一个红球”为都是白球残一红一白，与 则所有选科组合的样本空间 AUB-O “都是红球”是对立事件 -acd,ace,acf.ade,adf,aef.bed, 3.(1)有限个(2)相等 (2)答案0.03 bre,brf,ble,bdf.bef},共含12个样 5.P(A)+P(B)1-P(B) P(A)十 解析由题意可知，恰好抽到不合格产 本点， P(B)-P(A∩B) 品的概率为 设M一“从所有选科组合中任意选取1 6.(1)稳定于 P-0.2×(1-0.95)+0.25×(1-0.96) 个，该选科组合符合该大学医学院临床 自我训练 +0.3×(1-0.97)+0.25×(1-0.98) 医学类招生进科要求”，则M=《acd, 1.(1)×(2)/(3)/(1)× -0.034. ace,acf,ade,adf,共含5个样本点， 2.D 3.c. [例4(1)D从1,2.3,4,5中任选3个 不同数字如成一个三位数，有A=5×4 p0-0-意 研磨·高考题型 (2)设“甲、乙、两三人每人的选科组合符 ×3一60（种）可能： [例1门C依题意，事件A=(1,3,5},B 要使孩三位数能被3整徐，只需数宇和 合该大学医学院临床医学类招生选科要 =(3,6},C=2},D={2,4,61, 能被3整除， 求”的事件分别是N1,N2,N3,由题意知 对于A,事件A和B有相同的基本事件： 所以数字为1.2.3时.有A=3×2×1 事件N1,N2,N相互独立. 点数3，A正确： =6(种)可能： 由(1)知P(N1)-P(N2)=P(Ng 对于B,事件A和D不能同时发生，但必 数字为1,3,5时，有A-3×2×1-6 5 有一个发生，则A和D是对立事件，B 一 (种)可能 正确： 记V一“甲、乙、丙三人中拾有两人的选 数宇为2,3,4时，有A》-3×2×1-6 对于C,事件B和C不能可时发生，但可 科组合符合该大学医学院临床医学类招 (种)可能： 以同时不发生，则B和C不是对立事件， 生选科要求”， 数字为3,4,5时，有A-3×2×1-6 C错误： 则N=N1 NN UN N Na UN1N4N, (种)可能，共24种可能。 对于D,事件A和C不能同时发生，它们 P(N)=P(NN:N)+P(N]N:N 是互斥事件，D正确.故选C 所以孩三位量能我3整路的概奉为器 +P(N,NN)-是×最× 工例2]解(1)设“1张奖券中奖”为事件 M,别M=AUBUC (1-)×8-器 (2)C4名同学分别进入话剧社团、书 A,B,C两两互斥， 即时调练解(1)记“甲命中目标”为 ..P(M)-P(AUBUC)-P(A)+P(B) 法社团、摄影社团，街舞社团共有A一 事件A,则PA=言： 2 21(种)选法， +PO-+0+00-品 50 61 其中甲近街舞社团，乙进书法社团戏摄 所以甲没有命中目标的概率P(A)一1一 故1张奖券中笑的概率为1000 61 影社团有CA:=4(种)选法，按学校规 P(A)= 1 定每人只能加入一个社困，由古典概型 519 (2)记“乙命中目标”为事件B,则P(B) 丙上场后连胜三场的概率为客 1 对于D选项，周为P(AB)=PCB P(AB) =,PB)= 所以需要进行第五场比赛的概率为 =P(A),所以P(AB)=P(A)P(B), 两次射击中，恰好有一人命中目标的事 所以事件A、B独主，故P(B|A) 件为ABUAB 由题意知事件A,B相互独立， (3)丙最终获胜，有两种情况： P(AB)-P(B),D对.故遮BD. P(A) 所以所求概率P(ABUAB)=P(AB)十 比寄四场结来且丙最终获胜的概率 [例5]C设“从1号霜中取到红球放入 PA-PAPB)+PA)P(B-号 为宫 2号箱”为事件A,“从2号箱中取到红 球”为事件B. ×+×- 比赛五场结束且两最终获胜，则从第二 场开始的四场比赛按照两的杜、负、轮空 由题意，知PA)一2十1 4 2 第五节事件的相互独立性与 结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜， 条件概率、全概率公式 负空雅胜，版奉分别为品宁·言 P(B到A)--号，所以P(BA) 4、28 1 1 夯实·必备知识 因此两最终被胜的概单为京十店十8 P(BA)P(A)-27 知识整合 7 所以两次都取到红球的概率为》，故 1.(1)P(A)P(B)(2)B +片- 2.(2)②P(A)P(B|A)(3)D1 即时训练B设事件A=“甲猜对”，B 选C, ②P(BA)+P(CA)③1-P(BA) 一“乙猜对”，C一“几何队至少猜对一个 即时训练(1)BD因为P(AUB) 自我训练 成语”， P(A)+P(B)-P(AB). 1.(1)×(2)√(3)/(4)/ 所以P(A)=号，P(B)=是副 所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB) 2.A3.D40 P(A)P(B 研磨·高考题型 由题意知，事件A,B相互独立，则A与 因为P(A)P(B)-号×- [例1门BCD不放回依次取出两个，基本 B,A与B,A与B也相互独立 事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41， P(AB),所以事件A与事件B相互独 法-：C=(AB)U(AB)U(AB), 32,42,43,共12种， 立，故B正确： AB,AB,AB两两互互斥， 事件A-“13,14,23,2431,41,32,42”: P(C)-P(AB)+P(AB)+P(AB)- 因为P(A|B)一 P(AB) 事件B=“12,13.14,21,23,24”: P(B) ,故C P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B) 事件C-12,21,31,1,32,42” 事件D-“12,21,34,43” ×是+×+×-品 正确 事件AD=☑，章件AB=“13,14,23, 法二：事件C的对立事件C-“几何队一 因为P(AB)-1一P(AB)-1 21”, 个成语也没有猜对”，即C一AB 事件BD-“12,21.”,事件AC-“31, 则P(C)=1-P(C)=1-P(AB)=1 ，故D正确」 1 41,32,42”, 则PA)=是-号，P(B)=是- P闭PB)-1-吉×-品故选B 8 (2)答案 [例3]B设第一次取得白球为事件A, PC)--P(D)--号 解析由题意知第一次取出的是黑球， 第二次取得红球为事件B, 设为事件A,第二次取出红球设为事 所以在第一次取得白球前提下，则第二 P(AD)=0,P(AB)=立 次取得红球的概率为： 件B, 21 4×2 (BD)=立=G,P(AC)=立=3 P(AB) 6×5 2 期P(A)-是-号 5 P(BIA)- P(A) 1X5 5 -0,4.故 2 所以P(AD)≠P(A)P(D),所以A与 6×5 则P(BA)-日· D不相互独主： 选B. 所以第二次才取出红球的概率是 P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相 L例4] BD 对于A选项，因为P 互独立： (B|A)+P(B|A)= P(AB) P(AB)-P(A)P(BA)-÷×号 5 + P(BD)-P(B)P(D),所以B与D相 P(A) 、8 互独立： P(AB)P(AB)+P(AB)P(A) P(A) P(A) P(A) P(AC)=P(A)P(C),所以A与C相 [例6](1)A记A为事件“盒我没有枯 互独立，故选BCD, 一1，但P(BA)与P(B|A)不一定相 菱”，W为事件“邻居给盆我浇水”，由题 等，故P(B|A)十P(B|A)不一定等 [例2]解)甲连胜四场的艇率为 1 意可得P(W)=P,P(W)=1-P,P(A 于1，A错： W)=0.8,P(A|W)=0.1,由对立事件的 (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛， 对于B选项，因为P(A|B)P(B)一 概率公式可得P(A)-1一P(A)-1一 至多需要进行五场比赛， P(AB),P(BA)P(A)=P(AB). 0.83=0.17. 比赛四场站来，共有三种情况： 所以P(A|B)P(B)-P(B|A)P(A), 由全概率公式可得 B对； 甲连胜四场的概率为高：乙连胜四场的 对于C选项，P(AB)十P(A|B) P(A)-P(W)P(A W)+P(W)P(A W) 概率为6 P(AB)P(AB) P(B)-1.C错： -P×0.1十(1-P)×0.8-0.17,解得P P(B) P(B) P(B) =0.9,故远A 520第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 [思维升华] 数是 二项式定理应用的题型及解法 A.-3 B.2 (1)在证明整除问题或求余数问题时要 C.10 D.11 进行合理的变形，使被除式（数）展开后的每 一项都含有除式的因式： (2)估算C0.998+C0.9982+C0.9983+ (2)二项式定理的一个重要用途是做近 C0.998+C0.9985的结果，精确到0.01 似计算：当n不是很大，x比较小时，(1十 的近似值为 x)"≈1十nx. A.30.84 B.31.84 [即时训练] C.30.40 D.32.16 (1)设n为奇数，那么11”+C,·11"-1+ C2·11”-2+…+C1·11-1除以13的余 请完成课时作业（七十八） 第四节 随机事件与概率 [课标要求]1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概 率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单 随机事件的概率. 夯实·必备知识 》 ■ 知识整合 续表 1.样本空间和随机事件 含义 符号表示 (1)样本点和有限样本空间 相等 ①样本点：随机试验E的每个可能的 B2A且A2B 关系 称为样本点，常用ω表示 全体样本点的集合称为试验E的 并事件 AUB或A 常用2表示. 和事件 +B ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个 交事件 事件A与事件B同 可能结果w1,2…,,则称样本空间2= 积事件) 时发生 {w1,…wn}为有限样本空间. (2)随机事件 互斥（互 事件A与事件B不 A∩B=O ①定义：将样本空间2的 称为随 不相容) 能同时发生 机事件，简称事件。 互为 事件A与事件B有 ②表示：一般用大写字母A,B,C,…表示 对立 且仅有一个发生 ③随机事件的极端情形： 2.两个事件的关系和运算 3.古典概型的特征 含义 符号表示 (1)有限性：样本空间的样本点只有 包含 若事件A发生，则事 (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 关系 件B一定发生 219 金榜题名创新高考总复习数学 4.古典概型的概率公式 2.若事件A1,A2,…,An两两互斥，则P(AU 一般地，设试验E是古典概型，样本空间2 A2U…UA.)=P(A)+P(A2)+…+ 包含n个样本点，事件A包含其中的k个样 P(A). 本点，则定义事件A的概率P(A)=飞 自我训练 =n(A) 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 n(2) “√”或“×”) 其中，n(A)和n(2)分别表示事件A和样本 (1)事件发生的频率与概率是相同的。 空间2包含的样本点个数. 5.概率的性质 (2)两个事件的和事件发生是指这两个事件 性质1：对任意的事件A,都有P(A)>≥0： 至少有一个发生· 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的 (3)从一3，一2，一1,0,1,2中任取一个数， 概率为0，即P(2)=1,P(☑)=0： 取到的数小于0与不小于0的可能性相同. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P ( (AUB)= (4)若AUB是必然事件，则A与B是对立 性质4：如果事件A与事件B互为对立事 事件 件，那么P(B)=1-P(A),P(A)= 2.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A={至 性质5：如果A三B,那么P(A)≤P(B),由 少1枚正面朝上)，B={至多2枚正面朝 该性质可得，对于任意事件A,因为☑二A 上》，事件C={没有硬币正面朝上}，则下列 二2，所以0≤P(A)≤1： 正确的是 ( 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事 A.C=A∩B B.C=AUB 件，有P(AUB)= C.C三A D.C≤B 6.频率与概率 3.下列试验是古典概型的是 (1)频率的稳定性 A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离 标都是整数的所有点中任取一点 概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率 B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2 f.(A)会逐渐 事件A发生的概率 环，…，10环 P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳 C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选 定性 1人做演讲 (2)频率稳定性的作用 D.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它 可以用频率f(A)估计概率P(A). 是否发芽 【常用结论】 4.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机 1.当随机事件A,B互斥时，不一定对立；当随 抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到 机事件A,B对立时，一定互斥，即两事件互 的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上 斥是对立的必要不充分条件】 的数的概率为 研磨·高考题型 >》》 ■ 题型一随机事件的关系 时向上的点数是2的倍数，则下列说法中， 命题点1随机事件的间关系的判断 错误的是 A.A和B有可能同时发生 [例1]掷一枚骰子，设事件A:落地时向上 B.A和D是对立事件 的点数是奇数；B:落地时向上的点数是3 C.B和C是对立事件 的倍数；C:落地时向上的点数是2；D:落地 D.A和C是互斥事件 220 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 [尝试解答] [思维升华] 事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的 定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可 命题点2利用互斥、对立事件求概率 能出现的全部结果，必要时可列出全部的试 [例2]某商场的有奖销售活动中，购满100 验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成 元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券 时，运用互斥事件的概率加法公式， 为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10 [即时训练 个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一 (1)从装有10个红球和10个白球的罐子里 等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求： (1)1张奖券的中奖概率； 任取两球，下列情况中互斥而不对立的两个 事件的是 ( (2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的 概率 A.至少有一个红球：至少有一个白球 [尝试解答] B.恰有一个红球；都是白球 C.至少有一个红球：都是白球 D.至多有一个红球；都是红球 (2)某工厂有四条流水线生产同一种产品， 这四条流水线的产量分别占总产量的0.20， 0.25,0.3,0.25,这四条流水线的合格率依 次为0.95,0.96,0.97,0.98，现在从出厂产 品中任取一件，则恰好抽到不合格产品的概 率是 命题点3用频率估计概率 题型二古典概型 [例3]（多选）某校为了解学校餐厅中午的 [例4](1)从1,2,3,4,5中任选3个不同数 用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食 字组成一个三位数，则该三位数能被3整除 的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食 的概率为 品（每人只选一种），结果如表所示： 1 总人数 食用大米套餐人数 食用面食人数 A品 B 1000 550 260 c D. 假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套 (2)某学校为了搞好课后服务工作，教务科 餐”为事件M,“吃面食”为事件V,“吃米 组建了一批社团，学生们都能自主选择自己 线、汉堡等其他食品”为事件H,若用频率估 喜欢的社团.日前话剧社团、书法社团、摄影 计事件发生的概率，则下列结论正确的是 社团、街舞社团分别还可以再接收1名学 生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申 A.P(M0=0.55 B.P(N)=0.26 请加入，按学校规定每人只能加人一个社 C.P(H)=0.19 D.P(NUH)=0.65 团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影 [尝试解答] 社团的概率为 ( A B. 0. 221 金榜题名创新高考总复习数学 [尝试解答] [尝试解答] [思维升华] 利用公式法求解古典概型问题的步骤 定型，根据事件的性质，确定事件类 第一步 型为古典概型 定量，确定试验包含的样本点总数及 第二步 所求事件包含的样本点个数 求值，代入古典概型的概率计算公式 第三步 求解 [即时训练] [思维升华] (1)(2025·济南模拟)从正六边形的6个顶 求解概率的综合问题时，一要注意概率 点中任取3个构成三角形，则所得三角形是 模型的应用，明确所求问题所属的事件类型， 直角三角形的概率为 二要根据公式准确计算， 高 [即时训练] 甲、乙两名运动员对同一目标各射击一次， c D品 且两人命中目标与否互不影响.已知甲命中 (2)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加 目标的概率为号，乙命中目标的概率为子 社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 (1)求甲没有命中目标的概率； (2)在两次射击中，求恰好有一人命中日标 题型三概率的综合问题 的概率. [例5]某省高考目前实行“3十1十2”模式， 其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选 科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2 门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需 要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选 科目中选择2门.已知某大学医学院临床医 学类招生选科要求是首选科目为物理，再选 科目为化学、生物至少1门. (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该 选科组合符合该大学医学院临床医学类招 生选科要求的概率； (2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选 科组合是等可能的，且三人的选择互不影 响，求这三人中恰有两人的选科组合符合该 大学医学院临床医学类招生选科要求的 请完成课时作业（七十九）》 概率 222