第3节 二项式定理-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

金榜题名创新高考总复习数学 第三节二项式定理 [课标要求]能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展 开式有关的简单问题. 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 【常用结论】 1.二项式定理 1.C0+C%+C4+…=C+C0+C%+…=2"- 2.C+1=Cw1+C. 二项式 (a+b)"= 自我训练 定理 (n∈N*) 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 “√”或“X”) 二项展开 T+1=Ca”-b,它表示展开式 (1)Ca”-b是(a十b)”的展开式中的第 式的通项 及项 的第 项 (2)(a十b)"的展开式中每一项的二项式系 数与a,b无关 () 二项式 (k=0,1,…,n) (3)通项公式T61=Ca”-b中的a和b不 系数 能互换 ( (4)二项展开式中系数的最大项就是二项式 2.二项式系数的性质 系数的最大项 () (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二 2在二项式（匠- 的展开式中，二项式系 项式系数 (2)增减性与最大值： 数最大的是 ①当<”士时，C随长的增加而 A.第3项 B.第4项 由对称性知，当>”时，C随表的增加 C.第5项 D.第3项和第4项 而 3.已知n∈N°，(1十2x)"=ao十a1x+a2x ②当n是偶数时，中间的一项C取得最大 十…十awx",若4a1十a2=80,则该展开式各 值；当n是奇数时，中间的两项C子与C宁 项的二项式系数和为 A.81 B.64 相等，且同时取得最大值 C.27 D.32 (3)各二项式系数的和：(a十b)"的展开式的 各二项式系数的和为C+C,+C+…+C 若(+》 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为 216 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 研磨·高考题型 >》 题型一通项公式的应用 [思维升华] 命题点1形如(a+b)"(n∈N')的展开式 (1)求二项展开式中的问题，一般是化简 [例1】1)(2024·天津高考)在(3+写) 通项后，令字母的指数符合要求（求常数项 时，指数为零：求有理项时，指数为整数等)， 的展开式中，常数项为 解出项数k十1，代回通项即可， (2)(2025·山西临汾模拟)（层-x) 的展 (2)对于几个多项式积的展开式中的问 题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合 开式中含x2的项的系数是 (用数 思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以 字作答) 免重复或遗漏. [尝试解答] [即时训练] (1)(2025·重庆模拟)(x2-x+2y)5的展 开式中x3y3项的系数为 (2)若(1-a.x2)(1十x)的展开式中x3的系 命题点2形如(a十b)"(c十d)"(m,n∈N) 数为12，则a 的展开式 [例2](1)(1+x)8(1+y)的展开式中x2y 题型二二项式系数与项的系数的问题 命题点1二项式系数和与系数和 的系数是 ( A.56 B.84 [例3] 1)(多选)已知(-2z" 的展开 C.112 D.168 式中第二项与第三项的系数的绝对值之比 (2)(2025·宜春模拟)(2+)1-x)的 为1：8，则 A.n=4 展开式中x2的系数为 B.展开式中所有项的系数和为1 A.-7 B.7 C.展开式中二项式系数和为2 C.77 D.-77 D.展开式中不含常数项 [尝试解答] (2)设(2-√5x)10=ao+a1x+a2x2+…十 a1o-x2°. ①求ao; ②求(an十a2十…十a1o)2-(a1十a3十…十 [微拓展] a), ③求二项式系数的和. 破解三项展开式问题 [尝试解答] 求三项展开式中某些指定的项，常常利用这 几种方法： (1)两项看成一项，利用二项式定理展开 (2)因式分解，转化为两个二项式再求解 (3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答。 典例(2025·安徽联考)(x十2y一z)°展开 式中，xyx项的系数为 217 金榜题名创新高考总复习数学 延伸探究若题日条件不变，求|a。|十|a [即时训练] +|a2+…十a1o的值. (1)(2025·广西模拟)已知二项式(2x-1)” 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 则n三 (2)(多选)若(3x-2)2025=a,十a1x十a2x 十a3x3+…十a2osx2o25(x∈R),则() A.a。=22025 B.a0十a2十a4十…十a224= 1-52025 P 命题点2系数与二项式系数的最值 -52025-1 C.a1十a3十a5+…十a202s= 2 [例4幻 已知2+高 的二项展开式中二项 式系数之和为64，则下列结论正确的是 D号十导+++9器=2-1 32025 题型三 二项式定理的综合应用 A.二项展开式中各项系数之和为3 [例5](1)设a∈Z,且0≤a≤13，若512o25+a B.二项展开式中二项式系数最大的项 能被13整除，则a等于 为90x A.0 B.1 C.二项展开式中无常数项 C.11 D.12 D.二项展开式中系数最大的项为240x (2)(2025·南昌一模)二项式定理，又称牛顿 [尝试解答] 二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定 理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式 定理：对于任意实数a,(1十x)少=1+号·x寸 a.x2++aa1)(a-k+1) 2×1 k×(k-1)×…×2×1 x十…，当x比较小的时候，取广义二项式 [思维升华] 定理的展开式的前两项可得：(1十x)°≈1十 (1)赋值法的应用 α·x,并且x的值越小，所得结果就越接 一般地，对于多项式(a十bx)"=a。十a1x 近真实数据.用这个方法计算√5的近似值， 十a2x2十…十anx",令g(x)=(a十bx)",则 (a十bx)"的展开式中各项的系数和为g(1), 可以这样操作：5=4+=4(1+） (a十bx)”的展开式中奇数项的系数和为 2,1+≈2×(1+号×）=2.25，用这样 2g)十g(-1D].(a十bx)”的展开式中偶 的方法，估计25的近似值约为 数项的系数和为[g1)一g(-1]门， A.2.922 B.2.928 C.2.926 D.2.930 (2)二项展开式系数最大项的求法 [尝试解答] 如求(a十bx)"(a,b∈R)的展开式系数最 大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各 项系数分别为A1,A2,,A。+1,且第k项系 数最大，应用 A≥A1‘从而解得k. A≥A+1, 218 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 [思维升华] 数是 二项式定理应用的题型及解法 A.-3 B.2 (1)在证明整除问题或求余数问题时要 C.10 D.11 进行合理的变形，使被除式（数）展开后的每 一项都含有除式的因式： (2)估算C0.998+C0.9982+C0.9983+ (2)二项式定理的一个重要用途是做近 C0.998+C0.9985的结果，精确到0.01 似计算：当n不是很大，x比较小时，(1十 的近似值为 x)"≈1十nx. A.30.84 B.31.84 [即时训练] C.30.40 D.32.16 (1)设n为奇数，那么11”+C,·11"-1+ C2·11”-2+…+C1·11-1除以13的余 请完成课时作业（七十八） 第四节 随机事件与概率 [课标要求]1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概 率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单 随机事件的概率. 夯实·必备知识 》 ■ 知识整合 续表 1.样本空间和随机事件 含义 符号表示 (1)样本点和有限样本空间 相等 ①样本点：随机试验E的每个可能的 B2A且A2B 关系 称为样本点，常用ω表示 全体样本点的集合称为试验E的 并事件 AUB或A 常用2表示. 和事件 +B ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个 交事件 事件A与事件B同 可能结果w1,2…,,则称样本空间2= 积事件) 时发生 {w1,…wn}为有限样本空间. (2)随机事件 互斥（互 事件A与事件B不 A∩B=O ①定义：将样本空间2的 称为随 不相容) 能同时发生 机事件，简称事件。 互为 事件A与事件B有 ②表示：一般用大写字母A,B,C,…表示 对立 且仅有一个发生 ③随机事件的极端情形： 2.两个事件的关系和运算 3.古典概型的特征 含义 符号表示 (1)有限性：样本空间的样本点只有 包含 若事件A发生，则事 (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 关系 件B一定发生 219(2)D将6种算法分成3组，有1,1,4 (2)答案-2 第4项的二项式系数最大，此时k=3,则 一组，有1,2,3一组，以及2,2,2一组 解析由(1十x)的展开式通项为T+ 二项展开式中二项式系数最大的项为 然后将这3组分配给甲乙雨三个人， =C, T,=C降25-ax×3=160x,故B 所以不同的分配方案有CCCA十 所以含x的项为Cr2+(-ax2)Cx 错误： A CICC+CC-90+360+90 (C-aC) 令6-受k=0,则k=4, A 故C-aC=4-4a=12,可得a=-2. 所以二项展开式中的常数项为 =540.故选D. [例3](1)AD由题意得 C健25-+x5-×4=60,故C错误： 第三节 二项式定理 Cn+1×(-2) C+1×(一2羽 令第k十1项的系数最大， 夯实·必备知识 2(2m+1) 1 4×2m+1)X2m =8,解得n=4,故 则/Gg2+≥C-2-, 知识整合 C味25-4≥C路+12-★-1. 2 L.C0a"+Ca"-1b+…+Ca"-十… A正确： +C+1 C 解得号<<子 2.(1)相等(2)①增大减小(3)2四 所以(-2✉)”-(-2)”.◆ 因为k∈N,所以k=2. 自我训练 所以二项展开式中系数最大的项为T T=1,则所有项的系数之和为一1，故B 1.(1)×(2)/(3)/(4)× =C2x=2403.故D正确 错误： 2.B3.D4.15 即时训练(1)答案6 研磨·高考题型 所以（上-2）广的三项式系量和为 解析因为二项式(2x一1)”的展开式 [例1](1D答案20 故C错误： 中仅有第4项的二项式系数最大， 解折因为（停+号）的展开式的适 (任-2)°的道项公式为刀+1 根据二项展开式的性质，可得中间项的 二项式系数最大，所以展开式一共有 项为T-1=G(3)”(传）》= ()广(-2-g-2r 7项， Cx5(r-8),r=0,l,…,6, 若T:+1为常数项，有2k一9=0，解得 所以”为偶数且艺-3，可得-6。 令6(r-3)=0,可得r=3, 所以常数项为3C一20. k=号EN,所以不存在常数项，故D (2)BD对于A,当x=0时，= (2)答案240 (-2)2025=-22025,A错误： 正确。 解析因为（侣-子）”的展开道项公 对于B,C,当x=1时，aa十a1十ag十a (2)解①令x=0,得ao=210=1024. +…+a225-1225-1, 式为 ②令x=1,可得a0十d1十a2十…十a1o= 当x=-1时，au一a1十a2一a十十 T=G(2)(-Py=(-1 (2-3)0,(1) a2024一a20g5=-52085, ·2-Crir-6(0≤r≤6，r∈N), 令r=-1,可得ao一a1+a红一a+…+ 所以a0+ag+a+…+ag24 令4r-6=2,得r=2, ao=(2+√3)o.(i) -1-5w25 所以共中合x2的项的系数为（一1）2· 结合(1)（Ⅱ）可得 2 24C=16×15=240. (an+a2+…+ao)2-(a+a3+…+ 2 [例2](1)D在(1+x)8的展开式中含 ag)2=(a+a1+a:十…+a1o)(a-a1 以B正确，C错误： 2的项为Cx2=28x2,(1十y)的展开 十ag-十a1o） 2025 式中含y2的项为Cy2=6y2,所以x2y =(2-3)0×(2+3)0=1. 对子D,当x=号时，(3x号-2 的系数为28×6=168. ③二项式系数的和为C。+C。十…十 (2)B(1-x)7的展开式通项为T,+ C8=210-1024. 3202· =C·(-x)'=(-1)C·x, 延伸探究 故(2+子)1-r)”的展并式中2的 所以号+器+学+…十器 解由(2一√3.x)的展开式的通项公式 (-1)2025-a=22025-1.D正确. 系数为2×(-1)2C号十(-1)3C9=7. 及题意可得au|十a1|十|ag十…十 故选B [例5](1)B图为a∈Z,且0≤≤13， 41a=aa-a1十42-a3+…-ag十a1n, 微拓展 所以512025+4-(62-1)2825+a 令x-一1，可得ao一a1十ag一a十…十 典例答案-2240 =C以25·52205-C以25·52224+Ca25 解析(x十2y-x)8=[(.x十2y)一]， a1o-(2+√5)10 ·5202-…+C8·52-C8器+4， :的指数是3， [例利D周为(2：+ 】的二项展开 周为5125+a能被13整除， 得到C(x十2y)3(一z)3, 所以一C题十a=-1十a能被13整除， :y的指数是2，得到Cx2(2y)2, 式中二项式系数之和为6， 又0≤a≤13， xy2:3项的系数为C(-1)1C写2 所以2一64，则n-6, 所以a=1. =-2240. 即时训练(1)答案一160 所以二项式为(：+启)八 (2)C 5=2-√2(1-品) 解析(2-r十2y)5的展开式中，构 则二项展开式的道项为T。+1 成x2y顷只能是一个x2、一个（一x)、 -3×V-岳-8×[1+(-)] 3个(2y)相乘， 故此项为C2·C(-r)·C(2y)3 令r=1,可得二项展开式中各项系数之 ≈3×[1+号×(-号)]≈2.926.故 =-160.x2y2. 和为35，故A错误： 选C. 518 即时训练(1)C11+C以·11-1+ (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等 的概牵计算公式可得，甲进街舞社团，乙 C·11w-2+…+C-1·11-1=Cg· 奖”为事件N,则事件N与事件“1张笑 券中特等奖或中一等奖”互为对立事件， 选书法社国或摄影社团的城率P一2 11*+C·11"-1+Cg·11-2+…十 C1·11+C-2-(11+1)-2 ∴P(V)=1-P(AUB)=1-[P(A)+ 6” =12w-2=(13-1)”-2 PBj-1-(1a+品)-80 即时训练(1)C从正六边形的6个顶 -Cg·13w一C·13-1+…+ 故】张笑券不中特等奖且不中一等奖的 点中任取3个，有C=20(个)三角形， (-1)”-·C1·13+(-1)”·C -2. 概本为8 因为n为奇数，则上式 T例3]ABC用颜率估计概率得P(M》 Cg·13”-Cg·13-+…+(-1)n- 550 260 100=0.55,P(N)=1000 =0.26, ·C01·13-3=[C%·13"-CW· 130-1+…+(-1)”-1·C-1·13- PH)=1000-550-260=0.19,故A 1000 其中直角三角形，每边对应2个，如图， 13]+10, B.C正骑： 例如Rt△BDE和R:△ADE,共有2X6 所以11+C·11-1+Cg·11"-2+… P(NUH)表示事件N发生或事件H发 =12(个)， 十C-1·11一1除以13的余数是10. 生，且N与H互斥，故P(NUH)= 所以所求率为号-是 (2)A原式=(1+0.998)-1=(2 P(N)十P(H)=0.26十0.19=0.45，故 0.002)5-1=C925-C2×0.002+ D错误. (2)答案 10 C32注×0.0022+…+C2X0.0025-1≈ 即时训练(1)B对于A,“至少有一个 解析从甲，乙等5名同学中随机选3 32-0.16-1=30.84.故选A. 红球”可能为一个红球、一个白球，“至少 有一个白球”也可能为一个白球、一个红 名，有C种情况，其中甲，乙都入选有 第四节随机事件与概率 琼，故两事件可能同时发生，所以不是互 C种情况，所以甲、乙都入选的概率P= 夯实·必备知识 斥事件：对于B,“恰有一个红球”，则另 C=10 知识整合 一个必是白球，与“都是白球”是互斥事 1.(1)①基木结果样本空间(2)①子集 件，而任取两球还可能都是红球，故两事 [例5]解(1)用a,b分别表示事件“选 件不是对立事件：对于C,“至少有一个 择物理"“选择历史”，用c,d,e,∫分别表 ③必然事件不可能事件 红球”为都是红球或一红一白，与“都是 示事件“选择化学”“选择生物”“选择思 2.A二BA=B事件A与事件B至少有 白球”显然是对立事件：对于D,“至多有 想政治”“选择地理”， 一个发生A∩B或ABA∩B=O,且 一个红球”为都是白球或一红一白，与 则所有选科组合的样本空间 AUB=Q “都是红球”是对立事件. n=aed,ace,acf,ade,adf.uef,bed. 3.(1)有限个(2)相等 (2)答案0.034 bre,brf,bde,bdf,befl,共含12个样 5.P(A)+P(B)1-P(B) P(A)十 解析由题意可知，给好抽到不合格产 本点， P(B)-P(A∩B) 品的概率为 设M=“从所有选科组合中任意速取1 6.(1)稳定于 P=0.2×(1-0.95)+0.25×(1-0.96) 个，该选科组合符合诚大学医学院临床 自我训练 +0.3×(1-0.97)+0.25×(1-0.98) 医学类招生选科要求”，則M=(ad, 1.(1)×(2)/(3)√(4)× =0.034. ae,acf,ade,adf,共含5个样本，点， 2D3c4号 例4们(1)D从1,2,3,4,5中任选3个 不同数字组成一个三位数，有A=5×4 PM-0-音 研磨·高考题型 (2)设“甲、乙、丙三人每人的选科组合符 ×3=60(种)可能： [例1门C依题意，事件A=(1,3,5},B 要使孩三位数能被3整徐，只需数宇和 合该大学医学院临床医学类招生选科要 ={3,6},C=2},D=2,4,61, 能被3整除， 求"的事件分别是N1,N2,N,由题意知 对于A,事件A和B有相同的基本事件： 所以数字为1.2,3时，有A厚=3×2×1 事件N1,Ng,N相互独立， 点数3，八正确： =6(种)可能： 由(1)知P(N)=P(N2)=P(N3) 对于B,事件A和D不能同时发生，但必 数字为1,3,5时，有A=3×2×1=6 有一个发生，则A和D是对立事件，B (种)可能： 正骑， 记N=“甲、乙，丙三人中恰有两人的选 数字为2,3,4时，有A=3×2×1=6 对于C,事件B和C不能同时发生，但可 科组合特合该大学医学院临床医学类招 (种)可能： 以同时不发生，则B和C不是对立事件， 生选科要求”， 数字为3,4,5时，有A=3×2×1=6 C错误： 则N=N NN UNN2NUN2N. (种)可能，共24种可能. 对于D,事件A和C不能同时发生，它们 P(N)=P(NN:N)+P(NN:N3 是互斥事件，D正确.故选C 所以接三位数能被3整除的概率为 4 十P(N,NN)=吾×最× [例2]解(1)设“1张奖春中奖”为事件 M,则M=AUBUC (1-音)×8-器 A,B,C两两互斥， (2)C4名同学分别进入话剧社团、书 即时训练解(1)记“甲命中目标”为 ..P(M)-P(AUBUC)-P(A)+P(B) 法社团、摄彩社团、街舞社团共有A一 2 +po-+品+0-1品 24(种)逃法， 50 61 事件A,则P(A)=· 其中甲进衡舞社团，乙进书法社团或摄 所以甲没有命中目标的概率P(A)=1一 故1张奖春中笑的概率为1000 61 影社团有CA员=4（种）选法，按学投规 定每人只能加入一个社团，由古典概型 A) 519