第2节 排列、组合-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

即时训练(1)C根据题意，低设正五 (3)法一：（特殊元素优先法） 如果男生中的甲和女生中的乙必须在 角星的区城为A,B,C,D,E,F,如图 先排甲，有5种方法，其余6人有A种 内，在刺下的8人中再远2人即可，有( 所示， 播列方法，故排法共有5×A一3600 =28(种)逸法，故C正确： (种). 在10人中任选4人，有C。一210（种）选 法二：（待殊位置优先法） 法，甲、乙都不在其中的选法有C=70 首尾位置可安排另6人中的两人，有A号 (种)， 种排法，其他有A种排法，故排法共有 故男生中的甲和女生中的乙至少要有1 A号A-3600(种). 人在内的选法有210一70一140（种），故 先对A区战涂色，有3种方法，再对B, (4)(拥绑法)将女生看作一个整体与3 D正确. C,D,E,F这5个区域进行涂色 名男生一起全排列，有A种排法，再将 (2)答案96 B,C,D,E,F这5个区城都与A相邻， 女生全排列，有A种捧法，故排法共有 解析由题知先安排甲、乙、丙、丁四位 .每个区战都有2种涂色方法， AA-576(种). 同学的2名选择数学竞赛课程， ,共有3×2×2×2×2×2-96种涂色 则有：C经一6种情况. 方法，故选C (5)(插空法)先排女生，有A种掉法，再 剩下2名同学在进择物理、化学、生物、 (2)答案8 在女生之间及首尾5个空位中任选3个 信息学四个学科竞赛课程时有： 解析如图1，由圆上相邻两个点和园心 空位安排男生，有A种排法，故排法共 ①2名同学选择1个学科竞赛则有：侧 可构成等边三角形，共有6个： 有AA3=1440(种). 一4种情况， 如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边 (6)(定序问题)7名学生站成一排，有A ②2名同学各选择1个学科竞幕则有 三角形，共有2个。 种排法，其中3名男生的撙法有A种， CC一12种情况， 所以在这7个点中，任取3个点，这3个 由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排 所以哈有两位同学遮择数学竞赛课程的 ,点能构成不同的等边三角形的个数为6 +2=8. -840(种) 报名方法数为：6×(12+4)一96种 情况， 即时训练AB先除去甲、乙两人，将 [例3]C先从6名同学中选1名安排到 剩下的3人全排，共A=3×2×1=6种 甲场馆，有C种逸法，再从刺余的5名 不同的排法 同学中选2名安排到乙场馆，有种选 再将甲、乙两人从产生的4个空中选2 法，最后将制下的3名同学安排到丙场 个插入共A好一12种不同的排法， 馆，有C种选法，由分步乘法计数原理 所以5人并撸站成一行，如果甲，乙两个 知，共有CC笔C男=60（种）不同的安排 人不相邻，不同的指法种数是AA一6 方法， ×12=72: [例4]A六名教师髓机分配到三所学 5人并排站成一行有A一5×4×3×2× 校任教，每个学校分配两名教师，则有 1一120种不同的排法， 若甲、乙两个人相邻，利用捆绑法，有2A CgCG延×A=90(种)分配方法， =2×4×3×2X1=48种不同的捧法， 图2 所以5人并指站成一行，如果甲、乙两个 甲，乙放分配到同一所学校有义】 (3)答案8 人不相邻，那么不同的排法种数是A一 一18（种）分配方法，别甲、乙被分配到同 解析当个位数字为0时，有6×5×4= 2A-72.故选AB, 181 120(个)无重复数字的四位偶数：当个位 [例2幻解(1)由于A,B必须当选，那么 一所学较的概率为90一亏 数宇为2,4,6中的一个时，千位数字不 从刺下的10人中选取3人即可， [例5]答案54 能为0，有3×5×5×4=300（个）无重复 所以有C。=120(种)选法. 解析由题意可知三年内将四门选修课 数宇的四位偶数，根据分类加法计数原 (2)注意到“至少有2名女生”的反而是 程全部修完，且每学年最多选修两门， 理知，共有120十300一120（个）无重复数 “只有一名女生或没有女生”， 则四门学科可按2.1,1和2,2,0两种情 字的四位偶数 故可用间接法进行选取。 况分成三组， 第二节 排列、组合 所以有C一CC一C=596(种)选法 若按2,1,1分成三组，有C=6(种)分组 (3)分三步进行， 方法， 夯实·必备知识 第一步：选1名男生、1名女生分别担任 若按2.2,0分成三组，有C 一3（种）分 知识整合 体育委员和班长两个职务有CC种 A 1.一定的顺序 途法： 组方法， 2.(1)不同排列A”(2)不同组合C 第二步：选2名男生，1名女生补足5人 所以每位学生共有(6十3)A=54(种)不 3.n(H-1)(n-2)…(n-m十1) 有C曙C种选法： 同的选修方式： 1!C0+Cw- 第三步：为这3人安排职务有A种 即时训练(1)D由题意可知，将甲乙 自我训练 选法 捆绑在一起，当成一个元素，则是5个不 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 由分步乘法计数原理， 同的教练分配到1个不同的中学指导体 2.AD3.C4.A 得共有CCC号CA=12600(种)选法， 有教学， 研磨·高考题型 即时训练(1)CD如果1人全部为男 由于每名教练只能去一所中学，每所中 [例1]解(1)从7人中选5人捧列，排 生，选法有C=15(种)，故A错误： 学至少有一名教练， 法有A9-7×6×5×4×3=2520(种). 如果4人中男生，女生各有2人，男生的 则分4组有C种方法，再将4组人分配 (2)分两步完成，先进3人站前排，有A 送法有C得一15（种），女生的选法有C一 到4所学校有A种方法， 种指法，余下4人站后藉，有A种排法， 6(种)，则4人中男生、女生各有2人的 则甲、乙分在同一所中学的不同的安排 故排法共有AA=5040(种). 选法有15×6-90（种），故B错误： 方法种数为(A-10×24-240. 517 (2)D将6种算法分成3组，有1,1,4 (2)答案一2 第4项的二项式系数最大，此时k一3，则 一组，有1,2,3一组，以及2,2,2一组 解析由(1十x)的展开式通项为T+ 二项展开式中二项式系数最大的项为 然后将这3组分配给甲乙丙三个人， =, T-C2%-1-￥×3-160rx1,故B 所以不同的分配方案有gCCA+ 所以含x3的项为C明r+(-a2)Cx 错误： A号 QCIGA+GCC (C-ac):, 令6-号k-0,则k-4 A A9-90+360+90 故C-aC=1-4a=12,可得a=-2. [例3](1)AD由题意得 所以二项展开式中的常数项为 一510.故遮D. C25-4ri-T×t-60,故C错误： 第三节 二项式定理 C1×(-2) C+1×(-2)9 令第最十1项的系数最大， 夯实·必备知识 则 2(2n+1) 1 =名，解得n=1,故 则/C2-4≥-2-4. 知识整合 4×2n+1)X2元 1C路26-+≥C+125-★-1， 1.CRa"+Ca"-18+…+Ca"-e十… 2 .7 A正确： +C+1 C 解得号<长子 2.(1)相等(2)①增大减小(3)2 所以（位-2z)=(任-2）”◆ 因为k∈N,所以k=2. 自我训练 所以二项展开式中系数最大的项为工 x一1，则所有项的系数之和为一1，故B 1.(1)×(2)/(3)/(4)× =C2x3=240x,故D正确」 错误： 2.B3.D4.15 即时调练(1)答案6 研磨·高考题型 所以（仁-2✉）'的二项式系盘和为空， 解析因为二项式(2x一1)”的展开式 [例1](1)答案20 故C错误： 中仅有第4项的二项式系数最大· 解析周为（停+写）”的展开式的适 (任-2)的道项公式为1 根据二项展开式的性质，可得中间项的 二项式系数最大，所以展开式一共有 项为T1=G()(传)广= g()）(-2-g(-2r-. 7项， Cic-3),r-0,1…,6. 若T+1为常数项则有2k一9=0，解得 所以州为偶教且号-3，可得川一6 令6(r-3)=0,可得r=3, 所以常数项为3“C一20. k-号EN.所以不存在常最须，故D (2)BD对于A,当x=0时，40= (2)答案210 (-2)25--2205,A错谈： 正确， 解桥国为（侣-一）”的展开道项公 对于B,C,当x=1时，au十a1十a4十a (2)解①令x-0,得an-20-1024. 十…+ag%-1gs-1. 式为 ②令x-1,可得au十1十42+…十a0 当x=-1时，a0-a1十ag-十…十 工=G()(-=-1 (2-5)0,(1) 4g024一420g5--52@5, ·2-Cix-i(0≤r≤6，r∈N) 令x=-1,可得ao一a+a2-ag十…+ 所以ae十ay+a4十…+age4 令1r-6=2,得r=2, an-(2+)10,() -15202s 2 所以其中含x2的项的系数为（一1）2· 结合(1)(i)可得 24C-16×15-210. (an+a2+…+ao)2-(a1+a3+…+ 41十4十4g十…十aggs- 505十1，所 2 [例2](1)D在(1十x)的展开式中含 ag)2-(an+a1十ay+…十a1u)(a-a1 以B正确，C错误： x2的项为Cr2-28x2,(1十y)1的展开 十ag-…十an) 式中含y的项为Cy2-6y2,所以xy -(2-)10×(2+3)10-1. 对于D.=号时.(3x号-2) 的系数为28×6-168. ③二项式系数的和为Cn十C十…十 (2)B(1一x)1的展开式通项为T+1 C8-210-1024 +号+号+…十器 302需· =C时·(-x)r=(-1)rC5·x, 延伸探究 故(2+士)1-x)”的展开式中2的 所以号+学++…十器- 解由(2-√3x)1的展开式的通项公式 系数为2×（一1）2C号十(-1)a(C9-7. (-1)205-a0=22025-1.D正确. 及题意可得|an|十|a|+|ag十…+ 故选B. [例5](1)B图为a∈Z,且0≤u≤13， |a1o|=ag-a1十a2-a3+…-ag+a10, 微拓展 所以51325+4-(52-1)2阳5+a 令x--1,可得a0一41十a2一4g十…十 典例答案 -2240 -(C325·52225-Cn2s·5204+C览e5 解析(x+2y-)8=[(x十2y)一]“， ao-(2+)10 ·52202-…+C·52-(8器+a, ”:的指数是3， [例灯D周为(：+》 的二项展开 因为512025十a能被13整徐， 得到Cg(x+2y)5(-)3, 所以一(C器十a一-1十a能被13整除， :y的指数是2，得到C得x(2y)2, 式中二项式系数之和为6， 又0≤a≤13， .x3y21项的系数为C(-1)3(C2 所以2一64，则n-6, 所以a=1, =-2240. 即时训练(1)答案一160 所以二项式为(+方》广 (2)C 压-2-√2(1-号) 解析(x2一r十2y)5的展开式中，构 则二项展开式的通项为T+1 成xy项只能是一个x2、一个（一x)、 C(2r)- (信）广- -3×--3×[1+(-号)] 3个(2y)相乘， 故此项为C2·C(-x)·C(2) 令工=1，可得二项展开式中各项系数之 3×[1+片×(-号)]2.92a故 =-160x2y2. 和为3，故A错误： 选C. 518第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 第二节 排列、组合 课标要求]1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利 用排列、组合解决简单的实际问题： 夯实·必备知识 >>》 知识整合 2.解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排。 1.排列与组合的概念 (2)合理分类与准确分步， 名称 定义 (3)排列、组合混合问题要先选后排. 按照 (4)相邻问题捆绑处理. 排列 从n个不同元素中取 排成一列 (5)不相邻问题插空处理. 出m(m≤n)个元素 (6)定序问题倍缩法处理. 组合 作为一组 (7)分排问题直排处理. 2.排列数与组合数 (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (1)排列数：从n个不同元素中取出m(n≤ (9)构造模型. n)个元素的所有 的个数，用符号 (10)正难则反，等价转化. 表示. 自我训练 (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤ 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 n)个元素的所有 的个数，用符号 “/”或“X”) 表示. (1)所有元素完全相同的两个排列为相同 3.排列数、组合数的公式及性质 排列. (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素 (1)A= 完全相同. n! (3)若组合式C=C,则x=m成立.( (n-m) (n,m∈N",且m≤n). 公式 (4)A=n(n-1)(n-2)…(n-m).（ (2)CW= A n! m!(n-m)Π（n,m∈ 2.(多选)下列结论正确的是 Am A.3×4×5=A N,且m≤n) B.C+C3=C2 C.若C。=C62,则x=3 (1)0!= :A= D.C+C号+C+C=64 性质 (2)C8=1:CW=Cm;C%+1= 3.将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文 艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目 【常用结论】 进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名 1.排列数、组合数常用公式 志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文 (1)A=(n-m+1)A 艺文化项目，则不同的分配方案共有( A.12种 B.24种 (2)A=nA0. C.18种 D.48种 (3)(n十1)！-n！=n·n!. 4.已知C1=C7+C(n∈N"),则n=( (4)C=C. A.14 B.15 (5)C+C0,+…+Cm+1十Cm=Cm. C.13 D.12 213 金榜题名创新高考总复习数学 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一排列问题 题型二 组合问题 [例1]有3名男生、4名女生，在下列不同条 [例2]从含有A,B的7名男生，5名女生中 件下，求不同的排列方法种数， 选取5名，分别求符合下列条件的不同选法 (1)选5人排成一排： 种数 (2)排成前后两排，前排3人，后排4人： (1)A,B必须当选： (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (2)至少有2名女生当选； (4)全体排成一排，女生必须站在一起： (3)选取3名男生和2名女生分别担任班 (5)全体排成一排，男生互不相邻； 长、体育委员等5种不同的职务，但体育委 (6)男生顺序已定，女生顺序不定. 员必须由男生担任，班长必须由女生担任. [尝试解答] [尝试解答] [思维升华] 求解排列问题的6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 [思维升华] 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 组合问题常有以下两类题型 把相邻元素看作一个整体与其他元 (1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先 捆绑法 素一起排列，同时注意捆绑元素的内 将这些元素取出，再由另外元素补足；“不 部排列 含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素 中选取 对不相邻问题，先考虑不受限制的元 (2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间 插空法 素的排列，再将不相邻的元素插在前 接法都可以求解，通常用直接法；分类复杂 面元素排列的空当中 时，考虑逆向思雏，用间接法处理。 [即时训练] 对于定序问题，可先不考虑顺序限 定序问题 制，排列后，再除以定序元素的全 (1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4 除法处理 排列 人去参加一项创新大赛，则下列说法正确 的有 间接法 正难则反、等价转化的方法 A.如果4人全部为男生，那么有30种不同 [即时训练] 的选法 (多选)(2025·齐齐哈尔模拟)5人并排站 B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有 成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同 30种不同的选法 的排法种数可以是 ( C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在 A.AA B.A:-2A 内，那么有28种不同的选法 D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 C.84 D.ZA: 1人在内，那么有140种不同的选法 214 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 (2)某校为促进拔尖人才培养开设了数学、 若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则 物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课 每位学生共有 种不同的选修方式 程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛 (用数字作答). 课程，由于精力和时间限制，每人只能选择 [尝试解答] 其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学 选择数学竞赛课程的报名方法数为 题型三排列组合的综合问题 命题点1不等分问题 [例3]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿 者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1 名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不 同的安排方法共有 ) A.120种 B.90种 [思维升华] C.60种 D.30种 对于整体均分，不管它们的顺序如何，都 [尝试解答] 是一种情况，所以分组后一定要除以组数的 阶乘；对于部分均分，即若有m组元素个数 相同，则分组时应除以m [即时训练] (1)(2025·石家庄模拟)为推进体育教学改 革和发展，提升体育教学质量，丰富学校体 命题点2整体均分问题 育教学内容，某市根据各学校工作实际，在 [例4](2025·徐州模拟)六名教师随机分 4所学校设立兼职教练岗位.现聘请甲、乙 配到三所学校任教，每个学校分配两名教 等6名教练去这4所中学指导体育教学，要 师，则甲、乙被分配到同一所学校的概率为 求每名教练只能去一所中学，每所中学至少 有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不 A B. 同的安排方法种数为 A.96 B.120 c号 C.144 D.240 [尝试解答] (2)(2025·锦州模拟)《数术记遗》是东汉时 期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我 国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）、 太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九 宫算、运筹算、了之算、成数算、把头算、龟 算、珠算、和计数，某学习小组有甲、乙、丙3 人，该小组要收集九宫算、运筹算、了之算 命题点3部分均分问题 [例5](2025·聊城模拟)某综合性大学数 成数算、把头算、珠算6种算法相关资料，要 学科学学院为了提高学生的数学素养，开设 求每种算法只能一人收集，每人至少收集其 了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原 中一种，则不同的分配方案种数为()》 本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位 A.240 B.300 C.420 D.540 学生从大一到大三的三个学年内将四门选 修课程全部修完，且每学年最多选修两门， 请完成课时作业（七十七） 215