第1节 计数原理-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

(引)在抽样方式不变的情况下，(2)中的 第十章计数原理、概率、随机 (2)BC对于选项A,安排甲、乙、丙三位 结论更可靠， 变量及其公布 同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期 这是因为对于随机样本而言，频单其有 社会实践活动，每位阿学只能选择一个 随机性，我们的推断可能犯错误，样本容 社区进行活动，且多个同李可以选择同 第一节 计数原理 量越小，犯错误的可能性会越大，国此在 一个社区进行活动，故有5X5×5=5 抽样方式不变的前提下，样本容量大的 夯实·必备知识 (种)选择方案，A辑误： 结果更可靠。 知识整合 对于迭项B,如果社区A必须有同学选 工例3]解(1)由颜单分布直方图得“箴 (1)m+n m1十m2十…十m 择，则不同的安椿方法有53一43=61 炼时间达标”的学生的就率估计为 (2)m×nm1×m2X…×m (种)，B正确： 自我训练 对于选项C,如果同学甲必领选择社区 (0.010+0.005)×10=0.15. 1.(1)×(2)/(3)√(4)/ A,则不同的安排方法有5=25（种），C 所以该校“假炼时间达标”的学生人数估 2.C3.C4.15120 正确： 计为1000×0.15=150. 研磨·高考题型 对于选项D,如果甲、乙两名同学必须在 (2)样本数据中“锻炼时间达标”的学生 [例1门(1)B根据分类加法计数原理，6 同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学 有100×0.15=15（人）， 十4=10.故选B. 在一起和不在一起两种情况·割不同的 其中女生有5人，男生有10人， (2)A因为焦，点在了轴上，所以m>n, 安排方法共有5十5×4=25（种），D “镜炼时间未达标”的女生有50一5=45 以的值为标准分类，由分类加法计数 错误 (人)， 原理，可分为四类：第一类：当m=5时，列 即时训练(1)B先从4个数中选1个 男生有50一10=40（人）， 有4种选择：第二类：当m=4时，n有3 排在百位.有4种： 所以2×2列联表为 种选择：第三类：当m=3时，n有2种选 然后从剩下的3个数中选1个排在十 择：第四类：当m=2时，n有1种选择 位，有3种： 镜炼时 锻炼时间 故特合条件的椭圆共有10个， 最后从剩下的2个数中选1个排在个 间达标 未达标 合计 延伸探究 位，有2种： 男 10 40 50 解因为加>， 根据分步乘法计数原理可得组成无重复 当m一k时，n=1,2,…,k一1. 数字的三位数的个数为4×3×2=24.故 女 5 45 50 当m=k-1时n=1,2,…,k-2. 选B. 合计 15 85 100 … (2)A分四步： 当m=3时，n=1,2。 第一步，选(0型血的人有10种选法： 零假设为H。:“镀炼时间达标”与性别 当m=2时，n=1. 第二步，遮A型血的人有5种遮法： 无关 100×(10×45-5×40)2 所以共有1+2+…十(k一1)=一1) 第三步，选B型血的人有8种选法： 2 1.961< 第四步，选AB型血的人有3种选法】 50×50×15×85 (个)抛国. 故共有10×5×8×3=1200种. 2.706=u.1 即时调练(1)答案24 [例3]答案180 根据小概率值α=0.1的独立性检脸，没 解析第一类是从一班的8名优秀团员 解析先在A中种植，有5种不同的种 有充分证据推斯H。不成立，周此可以认 中产生，有8种不同的选法： 为日。战立，抑认为“锻炼时间达标”与性 第二类是从二班的10名优秀团页中产 植方法，厚在B中种植，有4种不同的种 植方法 别无关， 生，有10种不同的选法： 即时训练解(1)根据表格中的数据 第三类是从三班的6名优秀团员中产 生，有6种不同的选法： 得，估计甲直福问观众下单的概率为 由分类加法计数原理可得，共有V=8十 120 3 120+80=5· 10十6=24种不同的选法 (2)答案9 再在C中种植，有3种不同的种植方法， 估计乙直福间观众下单的概率为0十80 60 解析对子集A分类对论： 最后在D中种植，有3种不同的种植 当A=1,2}时，B可以为(1,2,3,4)， 方法， 3 (1,2,4},{1,2,31.1.21,共4种情况： 所以不同的种枝方案共有5×4×3×3一 180(种). (2)根撼题意，得到2×2的列联表： 当A=（1,2,3}时，B可以为{1,2,4}， 1,2,共2种情况： [例4]B长方体的6个表面构成的“平 下单的 未下单 当A=(1,2,4)时，B可以为{1,2,3}， 行线面组”的个数为6×6=36，另含4个 合计 观众数 的观众数 (1,21,共2种情况： 顶点的6个面（非表面）构成的“平行线 当A={1.2,3,4}时，B可以为{1,2}，有 面组“的个数为6X2=12,故符合条件的 甲直播间 120 80 200 1种情况. “平行线而组”的个数是36十12=48. 乙直格间 60 80 140 根据分类加法计数原理可知，共有4十2 [例5]B①当万位数字为5，个住数字 十2十1=9（种）结果，即符合此条件的 为0时，有4×3×2=24（个）：②当万位 合计 180 160 340 “理想配集”有9个， 数字为5，个位数字为2时，有4×3×2= 可得 340×(120×80-60×80)= 例2](1)答案672 24(个)：③当万位数字为5，个位数字为 200×140×180X160 解析模特完成穿戴需要分三步：第一 4时，有4×3×2一24（个）：④当万位数 ≈9.714， 步，选择帽子，共有7种选择：第二步，选 字为4，个位数字为0时，有4×3×2=24 择上衣，共有12种选择：第三步，选择裤 (个)：⑤当万位数宇为4，个位数字为2 因为9.714>6.635，所以有99%的把握 子，共有8种选择，根据分步乘法计数原 时，有4×3×2=24（个）.由分类加法计 认为两个直拾间观众的下单意愿有 理知，共有7×12×8=672（种）不同的 数原现，得共有24十24+24+24+24 差异， 选法 120(个). 516 即时训练(1)C根据题意，假设正五 (3)法一：（特殊元素优先法） 如果男生中的甲和女生中的乙必须在 角星的区城为A,B,C,D,E,F,如图 先排甲，有5种方法，其余6人有A种 内，在刺下的8人中再选2人脚可，有C 所示， 排列方法，故排法共有5×A=3600 =28(种)遍法，故C正确： (种). 在10人中任选4人，有C。■210（种）选 法二：（特株位置优先法） 法，甲、乙都不在其中的选法有C一70 省尾位置可安辦另6人中的两人，有A (种)， 种排法，其他有A种排法，故排法共有 故男生中的甲和女生中的乙至少要有1 A号Ag=3600(种). 人在内的选法有210一70=140（种），故 先对A区城涂色，有3种方法，再对B, (4)(相绑法)将女生看作一个整体与3 D正确. C,D,E,F这5个区域进行涂色 名男生一起全排列，有A种排法，再将 (2)答案96 :B,C,D,E,F这5个区城都与A相邻， 女生全排列，有A种排法，故排法共有 解析由题知先安排甲，乙、丙、丁四位 每个区城都有2种涂色方法， AA-576(种). 同学的2名选择数学党赛课程， .共有3×2×2×2×2×2=96种涂色 剧有：C暖=6种情况. 方法，故选C (5)(插空法)先排女生，有A种裤法，再 剩下2名同学在选择物理、化学、生物 (2)答案8 在女生之间及首尾5个空位中任选3个 解析如图1，由圆上相邻两个点和心 空住安排男生，有A好种排法，故排法共 信息学四个学科竞赛课程时有： ①2名同学选择1个学科竞赛则有：C 可构成等边三角形，共有6个： 有AA3=1440(种). 一4种情况， 如图2，由圆上相间福的三点可构成等边 (6)(定序问题)7名学生站成一排，有A ②2名同学各选择1个学科竞赛则有 三角形，共有2个 种排法，其中3名男生的排法有A种， CC=12种情况， 所以在这7个点中，任取3个点，这3个 由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排 所以恰有两位同学选择数学竞靠深程的 点能构成不同的等边三角移的个数为6 报名方法数为：6×(12+4)=96种 +2=8. 女共有 =840(种). 情况 即时调练AB先除去甲，乙两人，将 [例3]C先从6名同学中选1名安排到 剩下的3人全排，共A=3×2×1=6种 甲场馆，有C种选法，再从刺余的5名 不同的排法 同学中选2名安排到乙场常，有C号种选 再将甲，乙两人从产生的4个空中选2 法，最后将剩下的3名司学安排到丙场 个橋入共A一12种不同的排法， 馆，有C种选法，由分步乘法计教原理 所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个 图 知，共有CCC=60(种)不同的安排 人不相邻，不同的排法种数是AA=6 方法。 ×12=72: [例4门A六名教师髓机分配到三所学 5人并排站成一行有A=5×4×3×2× 校任教，每个学校分配两名教师，则有 1=120种不可的排法， 若甲、乙两个人相邻，利用捆绑法，有2A gCC×A=90(种)分配方法， A好 =2×4×3X2×1=48种不网的捧法， 所以5人并排站成一行，如果甲，乙两个 甲、乙被分配到同一所学校有× (3)答案8 人不相邻，那么不同的排法种数是A一 =18(种)分配方法，则甲，乙被分配到同 解析当个位数字为0时，有6×5×4= 2A=72.故选AB. 120(个)无重复数宇的四位偶数：当个位 [例2]解(1)由于A,B必须当选，那么 一所学校的概率为贤-号 数字为2,4,6中的一个时，千位数宇不 从剩下的10人中选取3人脚可， [例5]答案54 能为0.有3×5×5×4=300（个）无重复 所以有C。=120(种)选法. 解析由题意可知三年内将四门选修课 数宇的四位偶数.根据分类加法计数原 (2)注意到“至少有2名女生”的反面是 程全部修完，且每学年最多选修两门， 理知，共有120十300一420（个）无重复数 “只有一名女生或没有女生”， 则四门学科可按2,1,1和2,2,0两种情 字的四位偶数。 故可用间接法进行选取， 况分成三组， 第二节排列、组合 所以有C2一CC一C=596(种)选法 若按2,1,1分成三组，有C=6(种)分组 (3)分三步进行， 方法， 夯实·必备知识 第一步：选1名男生、1名女生分别担任 若按2,2,0分成三组，有C9 =3(种)分 知识整合 体育委颈和班长两个职务有CC种 L.一定的顺序 选法： 组方法， 2.(1)不同排列A”(2)不同组合C 第二步：达2名男生、1名女生补是5人 所以每位学生共有(6十3)A=54(种)不 3.n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 有CC种选法： 同的选修方式」 1n！C+Cw-1 第三步：为这3人安排取务有A好种 即时训练(1)D由题意可知，将甲乙 自我训练 选法。 湘绑在一起，当成一个元素，射是百个不 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 由分步乘法计数原理， 同的教练分配到4个不同的中学指导体 2.AD3.C4.A 得共有CCC号CAg=12600(种)逃法， 育救学， 研磨·高考题型 即时训练(1)CD如果4人全部为男 由于每名教练只能去一所中学，每所中 工例1门解(1)从7人中选5人捧列，排 生，选法有C=15(种)，故A错误： 学至少有一名教练， 法有A9=7×6×5×4×3=2520(种). 如果4人中男生，女生各有2人，男生的 附分4红有C种方法，再将4组人分配 (2)分两步完成，先逃3人站前撸，有A 选法有(C=15(种)，女生的选法有C= 到4所学校有A种方法， 种排法，余下4人站后排，有A种排法， 6(种)，则4人中男生，女生各有2人的 则甲，乙分在同一所中学的不同的安排 故排法共有AA=5040(种). 选法有15×6=90（种），故B错溪： 方法种数为CA=10×24=240. 一 517第十章 计数原理、概率、随机变量 及其公布 第一节 计数原理 [课标要求]1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步 乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的 两个计数原理 方法都能直接完成这件事 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类 (3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都 不同方案，在第1类方案中有m种不同的 完成后，这件事情才算完成， ( 方法，在第2类方案中有n种不同的方法， (4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完 那么完成这件事共有N= 种不同 成这个步骤的方法是各不相同的. 的方法。 2.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个 分类加法计数原理的推广：完成一件事有n 门出，则不同的走法的种数为 类不同方案，在第1类方案中有m1种不同 A.16 B.13 的方法，在第2类方案中有m2种不同的方 法，…，在第n类方案中有m,种不同的方 C.12 D.10 法，那么完成这件事共有N= 3.由于用具简单、趣味性强， 种不同的方法。 象棋成为流行性极为广泛 (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两 的棋艺活动.某棋局的一部 {兵》 个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第 分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影 2步有n种不同的方法，那么完成这件事共 响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或 有N 种不同的方法 左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马” 分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要 的最短路线中随机选择一条路线，其中也能 n个步骤，做第1步有1种不同的方法，做 第2步有m2种不同的方法，…，做第n步 把“炮”吃掉的可能路线有 有m,种不同的方法，那么完成这件事共有 A.10条 B.8条 种不同的方法 C.6条 D.4条 自我训练 4.书架的第1层放有4本不同的语文书，第2 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 层放有5本不同的数学书，第3层放有6本 “/”或“X”) 不同的体育书.从书架上任取1本书，不同 (1)在分类加法计数原理中，某两类不同方 的取法种数为 ,从第1,2,3层各取 案中的方法可以相同. ( 1本书，不同的取法种数为 210 第十章计数原理、概率、随机变量及其公布 研磨·高考题型 》 题型一分类加法计数原理 [即时训练] [例1](1)(2025·齐齐哈尔模拟)完成一项 (1)某校高中三年级一班有优秀团员8人 工作，有两种方法，有6个人只会用第一种 二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6 方法，另外有4个人只会第二种方法，从这 人，学校组织他们去参观某爱国主义教育 10个人中选1个人完成这项工作，则不同 基地.推选1名优秀团员为总负责人，有 的选法共有 种不同的选法。 A.6种 B.10种 (2)设I={1,2,3,4},A与B是I的子集， C.4种 D.60种 若A∩B={1,2},则称(A,B)为一个“理想 (2)椭圆+Y=1(m>0,m>0)的焦点在 配集”.若将(A,B)与(B,A)看成不同的“理 72 想配集”，则符合此条件的“理想配集”有 x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4， 个 5,6,7},则这样的椭圆的个数为 ( 题型二 分步乘法计数原理 A.10 B.12 [例2](1)一次时装表演中，有7顶不同款 C.20 D.35 式的帽子，12件不同款式的上衣和8条不 [尝试解答] 同款式的裤子.一位模特要从这些帽子、上 衣和裤子中各选1款穿戴，则有 种 不同的选法， (2)(多选)年级安排甲、乙、丙三位同学到 A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践 延伸探究在本例(2)中，若m∈{1,2，…，k}, 活动，每位同学只能选择一个社区进行活 n∈{1,2，…，k}(k∈N),其他条件不变，这 动，且多个同学可以选择同一个社区进行活 样的椭圆有多少个？ 动，下列说法正确的有 A.所有可能的方法有3°种 B.如果社区A必须有同学选择，则不同的 安排方法有61种 C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安 排方法有25种 D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 则不同的安排方法共有20种 [尝试解答] [思维升华] 使用分类加法计数原理的两个注意点 (1)根据问题的特点确定一个合造的分 类标准，分类标准要统一，不能遗漏」 (2)分类时，注意完成这件事的任何一种 方法必须属于某一类，不能重复 211 金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] [尝试解答] 利用分步乘法计数原理解题的策略 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么， 确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是 独立的， 命题点3排数与排队问题 (2)将这件事划分成几个步骤来完成，各 [例5]用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复 步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤 数字的五位数，其中比40000大的偶数 都完成了，整个事件才算完成 共有 () [即时训练] A.144个 B.120个 (1)(2025·江西师大附中模拟)用1,2,3,4 C.96个 D.72个 可以组成无重复数字的三位数的个数为 [尝试解答] A.16 B.24 C.36 D.48 (2)某公司员工义务献血，在体检合格的人 [思维升华] 中，O型血的有10人，A型血的有5人，B 完成一件事的方法种数的计算步骤 型血的有8人，AB型血的有3人.从4种血 (1)审清题意，弄清要完成的事件是怎 型的人中各选1人去献血，不同的选法种 样的」 数为 (2)分析完成这件事应采用分类、分步 A.1200 B.600 先分类后分步、先分步后分类这四种方法中 C.300 D.26 的哪一种 题型三两个计数原理的综合应用 (3)弄清在每一类或每一步中的方法 命题点1涂色、种植问题 种数 [例3]某学校有一块绿化 (4)根据分类加法计数原理或分步乘法 用地，其形状如图所示.为 计数原理计算出完成这件事的方法种数 了让效果更美观，要求在四 [即时训练] 个区域内种植花卉，且相邻 (1)现有红、黄、蓝三种颜 区域花卉颜色不同.现有五种不同颜色的花 色，对如图所示的正五角星 卉可供选择，则不同的种植方案共有 的内部涂色（分割成六个不 种.（用数字作答） 同区域)，要求每个区域涂 [尝试解答] 一种颜色且相邻部分（有公 共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂 色方法有 A.48种 B.64种 命题点2与几何有关的问题 C.96种 D.144种 [例4]如果一条直线与一个平面平行，那么 (2)(2025·乐清模拟)一个圆的圆周上均匀 称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在 分布6个点，在这些点与圆心共7个点中， 一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含 任取3个点，这3个点能构成不同的等边三 有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的 角形的个数为 个数是 (3)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数（用数字作答）： A.60 B.48 C.36 D.24 请完成课时作业（七十六） 212