第4节 列联表与独立性检验-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

金榜题名创新高考总复习数学 A.由散点图可知，大气压强与海拔高度负 (11,22.6)的残差为一1.9 相关 D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程 B.由方程y1=一4.0.x十68.5可知，海拔每 y2=132.9e0.13的预报效果更好 升高1千米，大气压强必定降低4.0kPa 请完成课时作业（七十四） C.由方程y=一4.0x十68.5可知，样本点 第四节列联表与独立性检验 [课标要求]1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其 应用 夯实·必备知识 >》 知识整合 (2)事件A和B的独立性检验无关，即两个 1.分类变量 事件互不影响。 ( 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的 (3)的大小是判断事件A和B是否相关 随机变量，以区别不同的现象或性质，这类 的统计量. ( 随机变量称为分类变量.分类变量的取值可 (4)在2×2列联表中，若|ad一bc越小，则 以用实数表示. 2.列联表与独立性检验 说明两个分类变量之间关系越强.() (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2× 2.某机构为调查网游爱好者是否有性别差异， 2列联表： 通过调研数据统计：在500名男生中有200 Y 名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩 X 合计 Y=0 Y=1 网游.若要确定网游爱好是否与性别有关 X=0 b atb 时，用下列最适合的统计方法是 X=1 c d c+d A.均值 B.方差 合计 a+c b+d n=a+b+c+d C.独立性检验 D.回归分析 n(ad-b) 3.观察下列各图，其中两个分类变量x,y之间 (2)计算随机变量X= (a+b)(cd)(ae)(bd)' 关系最强的是 利用X的取值推断分类变量X和Y 的方法称为x独立性检验。 如表为5个常用的小概率值和相应的临 界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 A B. 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 自我训练 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 “/”或“X”) (1)2×2列联表中的数据是两个分类变量 的频数 ( 206 第九章 统计与成对数据的统计分析 4.某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮 0.05 0.01 0.005 0.001 球，按照男女区分得到列联表，经计算得 Xa 3.841 6.635 7.879 10.828 ×=8.133.根据独立性检验的相关知识，对 照下表，可以认为有 把握喜欢篮球 A.95% B.99.5% 与性别有关 ( C.99% D.99.9% 研磨·高考题型 >》 题型一列联表与y的计算 概率值α=0.005的独立性检验，认为喜爱 [例1]有甲、乙两个班级进行数学考试，按 足球与性别有关”的结论，则被调查的男性 照成绩大于等于85分为优秀，85分以下为 至少有 非优秀，得到2×2列联表如下 n(ad-bc)? 附：x=(a+c+dD(a十cb+dD,其中n 优秀 非优秀 合计 =a+b+c+d. 甲班 10 6 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 乙班 30 x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 合计 105 A.11人 B.12人 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优 C.13人 D.14人 秀的概率为号，则下列说法正确的是 题型二 列联表与独立性检验 [例2](2024·全国甲卷)某工厂进行生产 A.列联表中c的值为30，b的值为35 线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂 B.列联表中c的值为15，b的值为50 甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进 C.列联表中c的值为20，b的值为50 行检验，数据如下： D.由列联表可看出成绩与班级有关系 优级品 合格品 不合格品 总计 [尝试解答] 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 [思维升华] 2×2列联表是4行4列，计算时要准确 甲车间 无误，关键是对涉及的变量分清类别， 乙车间 [即时训练] 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品 (2025·苏州模拟)为了解喜爱足球是否与 的优级品率存在差异？能否有99%的把握 性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽 认为甲，乙两车间产品的优级品率存在 取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的 差异？ 人数占男性人数的？，女性喜爱足球的人数 (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5,设p为升级改造后抽取的n件产品 占女性人数的，若本次调查得出“依据小 的优级品率.如果p>p+1.65,p1—p 207 金榜题名创新高考总复习数学 则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据 (1)根据上表数据，依据小概率值α=0.01 抽取的150件产品的数据，能否认为生产线 的独立性检验，能否认为性别因素会影响学 智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率 生体育锻炼的经常性？ 提高了？(150≈12.247) (2)如果将表中的数据都扩大为原来的n n (ad-bc) (n∈N)倍，在相同的检验标准下，得到与 附：X (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (1)中不一样的结论。 a 0.050 0.010 0.001 (1)求n的最小值： (ⅱ)如果抽样方式不变，你认为(1)和(2)的 3.841 6.635 10.828 结论哪个更可靠，并说明理由 [尝试解答] 附：X n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+dD,其中n =a+b+c+d a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ta 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [思维升华 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表. n(ad-x)月 (2)根据公式t=a+bc+0(a+c)+d 计算 (3)比较X与临界值的大小关系，作统计 推断。 [即时训练] 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极 性，某中学需要了解性别因素是否对学生体 育锻炼的经常性有影响，为此随机抽取了 40名学生，按照性别和体育锻炼情况整理 得到如下的列联表： 锻炼 性别 合计 不经常 经常 女生 5 10 15 男生 5 20 25 合计 10 30 40 208 第九章统计与成对数据的统计分析 题型三独立性检验的综合应用 [思维升华] [例3](2025·开封模拟)某校为了解学生 独立性检验的考查，往往与概率和抽样 每天的校内体育锻炼情况，随机选取了100 统计图等一起考查，这类问题的求解往往按 名学生进行调查，其中男生有50人.下面是 各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比 根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻 较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往 炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图.将 用小题的形式，而且X的公式一般会在原题 日均校内体育锻炼时间在[60,80]内的学生 中给出 评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼 [即时训练] 时间达标”的学生中有5名女生. (2025·焦作模拟)近年来，直播带货逐渐兴 针室 起，成为乡村振兴的新动力，为了解甲、乙两 组距 0040 个推销农产品的直播间的销售情况，统计了 0.035 两个直播间一段时间内观众下单的相关数 据，得到如下的表格： 0.0i0 0.005 下单的观众数 未下单的观众数 3040506d7刊80分钟 甲直播间 120 80 (1)若该校共有1000名学生，请估计该校 乙直播间 60 80 “锻炼时间达标”的学生人数； (2)根据样本数据完成下面的2×2列联表， (1)分别估计甲、乙直播间的观众下单的 并据此判断依据小概率值α=0.1的独立性 概率； 检验，能否认为“锻炼时间达标”与性别 (2)是否有99%的把握认为两个直播间观 有关？ 众的下单意愿有差异？ 锻炼时间达标 锻炼时间未达标合计 附：X n (ad-bc)? (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 男 0.05 0.01 0.001 女 Iu 3.841 6.635 10.828 合计 附：X n(ad-bc)? (a+b)(c+d)(a+c(b+dD,其中n =a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 [尝试解答] 请完成课时作业（七十五）、必刷大题18 209[例3]答案y=e2.1-,: 即时训练(1)AC在经验回归方程y 依据列联表中数据计算得到X 解析周为回归模型为y=1F, =一0.3x十10中，当解释变量每增加1 且2=-0.18，则y=1e-a1:, 个单位时，响应变量将平均减少0.3个 2k 单住，故A正确： 3k 3 k·2·2·2 3· 两边可时取对数，可得lny=ln(c e0.18r) 在回归分析中，残差点分布的带状区域 因为本次调查得出“依据小概值a= =lnc1-0.18r, 的宽度越窄表示拟合效果越好，故B 0.005的独立性检验，认为喜爱是球与性 错误； 令4-lny,此时4=lnc1一0.18x, 残差平方和越小，则相应模型的拟合效 别有关”的结论， 又固为x=10,n=0.35, 果越好，故C正确： 所以lnc9=0.35+0.18×10=2.15,脚 在一元线性回归楼型分析中，若R2的值 于是X≥1.879=s中跨>.879. =e2.15, 解得k≥11.8185，而k是6的正整数倍. 总小，则模型的拟合效果越差，故D 所以y=cC2,15·e-18=2.15-.18r。 错误. 因此kmn-12. 即时训练解(1)作出数点图如图 (2)ACD由题图知，海拔高度越高，大 [例2]解(1)根据题意可得列联表： 所示。 气压强越低，所以大气压强与海拔高度 优级品 非优氯品 十紫础个数， 负相关，故A正确： 甲车间 26 24 200 经验回归方程得到的数据为传计值，而 150 非精确值，故B错误： 乙车间 70 30 10U 1--- 50 当x=11时，y1=一4.0×11+68.5= -- 24.5,又由题图知观洲值为22.6，所以样 可得X=150C26X30-24X70) 50X100×96X54 16 02468天敬x 本点(11,22.6)的残差为22.6一24.5日 =4.6875, 由散点图看出样本点分布在一条指数型 一1.9，故C正确： 图为3.841<4.6875<6.635. 曲线的周国， 随着海拔高度的增加，大气压强越来越 所以有95%的把提认为甲，乙两车间产 故选择y一为回归方程较适宜 小，但不可能为负数，因此方程= 品的优级品率存在差异，设有99%的把 (2)①由已知，烂=ny,剩之=lny= 132.9e13r的预报效果更好，故D 提认为甲，乙两车间产品的优级品率存 In (ci :=In c +In e=In e+e:r, 正确 在差异 则a=ln·B=c2,即x=r十a,所以紫 第四节 列联表与独立性检验 (②)由题常可知：生产线智能化升级改造 殖个数的对数g关于天数T具有线性 关系 夯实·必备知识 后，读工厂产品的化拔品的频率为器 ②由①知繁殖个数的对数：关于天数x 知识整合 0.64, 可以用线性回归方程来拟合 2.(2)是否独立 用频率估计概率可得p=0.64, 由表中数据可得 自我训练 又因为升领改造前该工厂产品的优饭品 1.(1)√(2)×(3)/(4)× 2(x,-r)(,-) *b=0.5, 3= 12.09 2.C3.D4.B 17.5 研磨·高考题型 则p+1.65 21=p2=0.5+1.65 0.69, a=-r=3.53-0.69×3.5≈1.12. [例1门D像题意债=号，解得 /0.51-0.5D≈0.5+1.65×12.247 0.5 150 则：关于x的线性回归方程为z-0.69.x =20, ≈0.568， 由10+20+b+30=105,解得b=45, +1.12. 又=lny, 所以A,B,C错误， 可知p>p+1.65/ p(1-P) 补全2×2列联表如表所示： 因此细首的紫殖个数y关于天数x的非 所以可以认为生产线智能化升级孜造 线性回归方程为y=心9+1.2， 优秀 非优秀 合计 后，该工厂产品的优级品率提高了. [例4]解(1)令1=√反，则y=bM+a. 甲班 10 45 55 即时训练解(1)H。:学生体育袋炼 的经常性与学生性别没有关系， Ety:-Tty 乙班 20 30 50 由参考数据得= 40X(5×20-5×10)2 8 2-㎡ 合计 30 75 105 x= 10×30X25X15 9 -761,757XX8.9-0g21.3 6.635, 47.55-7×2.52 甲整的优秀丰为号= 2 根据a=0.01的独立性栓验，没有充分 a=y-i≈38.9-21.3×2.5≈-14.4， 2 证据推断H。不成立，国此认为H。成 所以模型②中y关于x的经验回归方 乙班的优秀率为积-号，品<号 立，即学生体育般炼的经常性与学生性 程为 所以成绩与班级有关.所以D正骑 别没有关系 即时训练B设男性人数为k,依题 y=21.3E-14.4. (2)(1)当表中的数据都扩大为原来的刀 意，得2×2列联表如下： (2)由表格中的数据，有182.4>79.2， (aEN)修时t- 模型①的R小于模型②，说明回归模型 喜爱足球 不喜爱足球合计 根据a=0,01的独立性检验，若推断H。 ②的拟合效果更好： 男性 5k k 6 6 不成立，即在犯错误的概率不超过0.01 当x=25时，模型②的年收益增量的预 的前提下认为学生体育镜炼的经常性与 渊值为y=21.3×√25-14.4=21.3×5 女性 2k 4 -14.4-92.1(万元). 2k 学生性别有关系， 所以预测服务人员增加25人时的年收 则有：>6.635，解得m>7.46,又n∈ 合计 3k 益增量为92.1万元. N”,故n的最小值为8 515 (引)在抽样方式不变的情况下，(2)中的 第十章计数原理、概率、随机 (2)BC对于选项A,安排甲、乙、丙三位 结论更可靠， 变量及其公布 同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期 这是因为对于随机样本而言，频单其有 社会实践活动，每位阿学只能选择一个 随机性，我们的推断可能犯错误，样本容 社区进行活动，且多个同李可以选择同 第一节 计数原理 量越小，犯错误的可能性会越大，国此在 一个社区进行活动，故有5X5×5=5 抽样方式不变的前提下，样本容量大的 夯实·必备知识 (种)选择方案，A辑误： 结果更可靠。 知识整合 对于迭项B,如果社区A必须有同学选 工例3]解(1)由颜单分布直方图得“箴 (1)m+n m1十m2十…十m 择，则不同的安椿方法有53一43=61 炼时间达标”的学生的就率估计为 (2)m×nm1×m2X…×m (种)，B正确： 自我训练 对于选项C,如果同学甲必领选择社区 (0.010+0.005)×10=0.15. 1.(1)×(2)/(3)√(4)/ A,则不同的安排方法有5=25（种），C 所以该校“假炼时间达标”的学生人数估 2.C3.C4.15120 正确： 计为1000×0.15=150. 研磨·高考题型 对于选项D,如果甲、乙两名同学必须在 (2)样本数据中“锻炼时间达标”的学生 [例1门(1)B根据分类加法计数原理，6 同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学 有100×0.15=15（人）， 十4=10.故选B. 在一起和不在一起两种情况·割不同的 其中女生有5人，男生有10人， (2)A因为焦，点在了轴上，所以m>n, 安排方法共有5十5×4=25（种），D “镜炼时间未达标”的女生有50一5=45 以的值为标准分类，由分类加法计数 错误 (人)， 原理，可分为四类：第一类：当m=5时，列 即时训练(1)B先从4个数中选1个 男生有50一10=40（人）， 有4种选择：第二类：当m=4时，n有3 排在百位.有4种： 所以2×2列联表为 种选择：第三类：当m=3时，n有2种选 然后从剩下的3个数中选1个排在十 择：第四类：当m=2时，n有1种选择 位，有3种： 镜炼时 锻炼时间 故特合条件的椭圆共有10个， 最后从剩下的2个数中选1个排在个 间达标 未达标 合计 延伸探究 位，有2种： 男 10 40 50 解因为加>， 根据分步乘法计数原理可得组成无重复 当m一k时，n=1,2,…,k一1. 数字的三位数的个数为4×3×2=24.故 女 5 45 50 当m=k-1时n=1,2,…,k-2. 选B. 合计 15 85 100 … (2)A分四步： 当m=3时，n=1,2。 第一步，选(0型血的人有10种选法： 零假设为H。:“镀炼时间达标”与性别 当m=2时，n=1. 第二步，遮A型血的人有5种遮法： 无关 100×(10×45-5×40)2 所以共有1+2+…十(k一1)=一1) 第三步，选B型血的人有8种选法： 2 1.961< 第四步，选AB型血的人有3种选法】 50×50×15×85 (个)抛国. 故共有10×5×8×3=1200种. 2.706=u.1 即时调练(1)答案24 [例3]答案180 根据小概率值α=0.1的独立性检脸，没 解析第一类是从一班的8名优秀团员 解析先在A中种植，有5种不同的种 有充分证据推斯H。不成立，周此可以认 中产生，有8种不同的选法： 为日。战立，抑认为“锻炼时间达标”与性 第二类是从二班的10名优秀团页中产 植方法，厚在B中种植，有4种不同的种 植方法 别无关， 生，有10种不同的选法： 即时训练解(1)根据表格中的数据 第三类是从三班的6名优秀团员中产 生，有6种不同的选法： 得，估计甲直福问观众下单的概率为 由分类加法计数原理可得，共有V=8十 120 3 120+80=5· 10十6=24种不同的选法 (2)答案9 再在C中种植，有3种不同的种植方法， 估计乙直福间观众下单的概率为0十80 60 解析对子集A分类对论： 最后在D中种植，有3种不同的种植 当A=1,2}时，B可以为(1,2,3,4)， 方法， 3 (1,2,4},{1,2,31.1.21,共4种情况： 所以不同的种枝方案共有5×4×3×3一 180(种). (2)根撼题意，得到2×2的列联表： 当A=（1,2,3}时，B可以为{1,2,4}， 1,2,共2种情况： [例4]B长方体的6个表面构成的“平 下单的 未下单 当A=(1,2,4)时，B可以为{1,2,3}， 行线面组”的个数为6×6=36，另含4个 合计 观众数 的观众数 (1,21,共2种情况： 顶点的6个面（非表面）构成的“平行线 当A={1.2,3,4}时，B可以为{1,2}，有 面组“的个数为6X2=12,故符合条件的 甲直播间 120 80 200 1种情况. “平行线而组”的个数是36十12=48. 乙直格间 60 80 140 根据分类加法计数原理可知，共有4十2 [例5]B①当万位数字为5，个住数字 十2十1=9（种）结果，即符合此条件的 为0时，有4×3×2=24（个）：②当万位 合计 180 160 340 “理想配集”有9个， 数字为5，个位数字为2时，有4×3×2= 可得 340×(120×80-60×80)= 例2](1)答案672 24(个)：③当万位数字为5，个位数字为 200×140×180X160 解析模特完成穿戴需要分三步：第一 4时，有4×3×2一24（个）：④当万位数 ≈9.714， 步，选择帽子，共有7种选择：第二步，选 字为4，个位数字为0时，有4×3×2=24 择上衣，共有12种选择：第三步，选择裤 (个)：⑤当万位数宇为4，个位数字为2 因为9.714>6.635，所以有99%的把握 子，共有8种选择，根据分步乘法计数原 时，有4×3×2=24（个）.由分类加法计 认为两个直拾间观众的下单意愿有 理知，共有7×12×8=672（种）不同的 数原现，得共有24十24+24+24+24 差异， 选法 120(个). 516