第3节 一元线性回归模型及其应用-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第九章统计与成对数据的统计分析 [即时训练] (3)果园要大面积种植这两种桃树中的一 (2025·江门模拟)某果园试种了A,B两个 种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更 品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后 合适，并说明理由. 统计了这20棵桃树的产量如下表，记A,B 两个品种各10棵产量的平均数分别为x和 y,方差分别为号和. A(单位/kg)60504060708070305090 B(单位/kg)40605080805060208070 (1)分别求这两个品种产量的极差和中 位数： 请完成课时作业（七十三）》 (2)求x,y,,s2; 第三节一元线性回归模型及其应用 [课标要求]1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型 参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 3.一元线性回归模型 (1)我们将y=ix+a称为Y关于x的经验 1.变量的相关关系 回归方程，其中 (1)相关关系：两个变量 ,但又没有 确切到可由其中的一个去精确地决定另一 2(x,-x)(y-y) 2xy:一xy 1 个的程度，这种关系称为相关关系。 (x,-x) =1 2x-n. = (2)相关关系的分类： 和 a=y-bx (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值 (2)残差：观测值减去 称为残差。 呈现正相关或负相关，而且散点落在 【常用结论】 附近，我们就称这两个变量线性相关. 1.经验回归直线过点(x,y). 2.样本相关系数： 2.回归分析和独立性检验都是基于成对样本 观测数据进行估计或推断。 2(x,-x)(y一y) 自我训练 x,-2y- 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 “/”或“X”) (1)当>0时，称成对样本数据 (1)相关关系是一种非确定性关系.() 当<0时，称成对样本数据 (2)散点图是判断两个变量相关关系的一种 (2)r≤1：当r越接近1时，成对样本数 重要方法和手段。 据的线性相关程度越 ;当r越接 (3)经验回归直线y=bx十a至少经过点 近0时，成对样本数据的线性相关程度越 (x1y),(x2y),…(xyn)中的一个点. () 201 金榜题名创新高考总复习数学 (4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对 甲 乙 丙 样本数据的线性相关程度越强， R2 0.87 0.91 0.58 0.83 2.已知x,y取表中的数值，若x,y具有线性 A.甲 B.乙 相关关系，线性回归方程为y=0.95x十2. C.丙 D.丁 6,则a= ( 4.某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借 0 3 阅，收集了近5年的借阅数据如下表： 4.3 4.8 6.7 年份 2019 2020 2021 2022 2024 A.2.2 B.2.4 年份代码x 1 2 3 4 5 C.2.5 D.2.6 年借阅量 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 3.甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行 y/万册 线性相关试验，并分别计算出决定系数R, 根据上表，可得y关于x的线性回归方程为 则线性相关程度最高的是 y=0.24x十a.则a= 研磨·高考题型 >》>》 ■ 题型一成对数据的相关性 由表中数据制作成如图所示的散点图， [例1](1)调查某种群花萼长度和花瓣长 体重/kg 100 度，所得数据如图所示，其中样本相关系数 9 r=0.8245,则下列说法正确的是( 70 6 花瓣长度 50 40 30 20 10 0 164166168170172174176178180182184身高/cm 花尊长度 由最小二乘法计算得到经验回归直线的 A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 方程为y=b1x十a1,样本相关系数为r1,决 B.花瓣长度和花萼长度呈负相关 定系数为R;经过残差分析确定(168,89) C.花瓣长度和花萼长度呈正相关 为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再 D.若从样本中抽取一部分，则这部分的样 用剩下的9对数据计算得到经验回归直线 本相关系数一定是0.8245 l,的方程为y=b2x十a2,样本相关系数为 (2)(多选)(2025·湛江模拟)某服装生产商 r2,决定系数为R.则以下结论中正确的有 为了解青少年的身高和体重的关系，在15 岁的男生中随机抽测了10人的身高和体 A.a>az B.6>B 重，数据如表所示： C.r<r2 D.R>R2 编号 1 2 3 6 9 10 [尝试解答] 身高 165168170172173174175177179182 /cm 体重 55 89 61 65 67 0 75 75 78 80 /kg 202 第九章统计与成对数据的统计分析 [思维升华 月份 1 2 2 4 5 判定两个变量相关性的方法 物流 (1)画散，点图：若点的分布从左下角到右 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 成本x 上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上 利润y 114 116 106 122 132 114 m 132 角到右下角，则两个变量负相关， 残差e (2)样本相关系数：当r>0时，正相关； 0.2 0.61.8 -3 -1 -4.6 -yi-yi 当r<0时，负相关：r越接近1，相关性 越强 根据最小二乘法公式求得线性回归方程为 (3)经验回归方程：当>0时，正相关； y=3.2x-151.8. 当b<0时，负相关. (1)求的值，并利用已知的线性回归方程 [即时训练] 求出8月份对应的残差值es; (1)(2024·天津高考)下列图中，线性相关 (2)请先求出线性回归模型y=3.2x一151.8 性系数最大的是 ( 的决定系数R2(精确到0.0001)：若根据非 线性模型y=267.76lnx一1069.2求得解 释变量（物流成本）对于响应变量（利润）决 定系数R。=0.9057,请说明以上两种模型 : 哪种模型拟合效果更好？ (3)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的 YA 那组数据有误，经再次核实后发现其真正利 3. 润应该为116万元.请重新根据最小二乘法 的思想与公式，求出新的线性回归方程. 附1（修正前的参考数据）： (2)已知相关变量x和y的散点图如图所 xy,=78880,之x=56528,7=84, i=1 =1 示，若用y=b·lm(k1x)与y=k2x十b2拟合 时的样本相关系数分别为r1,r2则比较r1 2y-y)2=904 2的大小结果为 ) 2(-4) 附2：R2=1 = 含- 所3方以习 2 含(g- i-nz 0 12345678元 a=y-bz. A.r>r B.r=re [尝试解答] C.r<r2 D.不确定 题型二回归模型 命题点1一元线性回归模型 [例2](2025·青岛模拟)现代物流成为继 劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利 润的重要因素.某企业去年前八个月的物流 成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表 所示： 203 金榜题名创新高考总复习数学 命题点2非线性回归模型 y [例3]汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车 含-2 的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损.某实 3.50 62.83 3.53 17.50 验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎 凹槽深度的数据，建立了如下回归模型y= 2(x,-)(0h-y 公(x:x)( c,e:,通过实验数据分析与计算得到如下 596.57 12.09 结论：①c2=-0.18;②x=10,令u=lny,u =0.35,则经验回归方程应为 ①证明：“对于非线性回归方程y=c1e“,令 [尝试解答] =lny,可以得到繁殖个数的对数z关于天数 x具有线性关系（即x=Br十a,B,a为常数）”； ②根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x的回归方程（系数保留2位小数）. 附：对于一组数据(41，v1),(u2,),…, (un,心n),其回归直线方程v=Bu十Q的斜率 和截距的最小二乘估计分别为3= [思维升华] 求经验回归方程的步骤 u-a- -,a=v-3u. D计算出之xy,或(x-D(y), 含u- 2(x,-x)2的值； (2)利用分式算出a,b: (3)写出经验回归方程y=bx十a. [即时训练] (2025·贵阳模拟)为了研究某种细菌随天 数x变化的繁殖个数y,收集数据如下： 天数x 1 2 3 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 题型三残差分析 (1)在图中作出繁殖个 1繁殖个数y [例4]今年刚过去的4月份是“全国消费促 200 数y关于天数x变化 150 进月”，各地拼起了特色经济，带动消费复 的散点图，并由散点图100 苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤 50 判断y=b.x十a(a,b为 三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出 常数)与y=c1e(c1,C2 02468天数x 圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧 为常数，且G>0,c2≠0)哪一个适宜作为繁 烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内 殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？ 实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投 (给出判断即可，不必说明理由) 入更多的人工成本，现有以往的服务人员增 (2)对于非线性回归方程y=c1e(c1,c2为 量x(单位：人)与年收益增量y(单位：万元) 常数，且c1>0,c2≠0)，令=lny,可以得 的数据如表： 到繁殖个数的对数：关于天数x具有线性 服务人员增量x/人2 3 4 6 810 13 关系及一些统计量的值， 年收益增量y/万元13223142 505658 204 第九章统计与成对数据的统计分析 据此，建立了y与x的两个回归模型： [思维升华] 70 检验回归模型的拟合效果的两种方法 60 (1)残差分析：通过残差分析发现原始数 38 据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合 10 效果 10 15主 (2)R分析：通过公式计算R,R越大， 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的经 残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R越 验回归方程为y=4.1x十11.8； 模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可 小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差。 以认为样本点集中在曲线y=i√：十a的 [即时训练] 附近 (1)(多选)(2025·滨州模拟)下列说法正确 对数据进行初步处理后，得到了一些统计量 的是 A.在经验回归方程y=一0.3x十10中，当 的值：t=2.5,y=38.9,ty:=761.75, 三1 解释变量每增加1个单位时，响应变量 2G=47.5,越中61=726 7 将平均减少0.3个单位 (1)根据所给的统计量，求模型②中y关于 B.在回归分析中，残差点分布的带状区域 x的经验回归方程（精确到0.1）； 的宽度越窄表示拟合效果越差 (2)根据下列表格中的数据，比较两种模型 C.用残差平方和来刻画模型的拟合效果 的决定系数R,并选择拟合精度更高的模 时，若残差平方和越小，则相应模型的拟 型，预测服务人员增加25人时的年收益 合效果越好 增量 D.在一元线性回归模型分析中，决定系数 回归模型 模型① 模型② R用来刻画模型的拟合效果，若R的值 越小，则模型的拟合效果越好 回归方程 y=4.1x+11.8 y=bx+a (2)(多选)(2025·长沙模拟)自然环境中， 182.4 79.2 大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、 风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压 附：样本(t,y)(i=1,2,…,n)的最小二乘估计 发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显 著.如图是根据一组观测数据得到海拔6千 公式为= 24-0% 就 米~15千米的大气压强散点图，根据一元 线性回归模型得到经验回归方程为y,= a=y一t;刻画样本回归效果的决定系数 一4.0x十68.5，决定系数为R=0.99:根据 (y-9) R2=1- i=1 非线性回归模型得到经验回归方程为三 (y,-) 132.9e.163x,决定系数为R=0.99,则下 =1 [尝试解答] 列说法正确的是 ↑大气压强kPa 60 50 y=-4.0x+68.5 46.541.1 40 R=0.99 30 362.2 22.6 27.20 20 16.4 y2=132.9e016 19.3 10 R=0.99 13.810.2 0%56789101231416 海拔高度(km) 205 金榜题名创新高考总复习数学 A.由散点图可知，大气压强与海拔高度负 (11,22.6)的残差为-1.9 相关 D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程 B.由方程y1=一4.0x十68.5可知，海拔每 2=132.9e.13的预报效果更好 升高1千米，大气压强必定降低4.0kPa 请完成课时作业（七十四） C.由方程y=-4.0x十68.5可知，样本点 第四节 列联表与独立性检验 [课标要求]1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其 应用 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 (2)事件A和B的独立性检验无关，即两个 1.分类变量 事件互不影响。 ( ) 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的 (3)x的大小是判断事件A和B是否相关 随机变量，以区别不同的现象或性质，这类 的统计量 ( 随机变量称为分类变量.分类变量的取值可 (4)在2×2列联表中，若|ad一bc|越小，则 以用实数表示。 2.列联表与独立性检验 说明两个分类变量之间关系越强.() (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2× 2.某机构为调查网游爱好者是否有性别差异， 2列联表： 通过调研数据统计：在500名男生中有200 X 名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩 合计 Y=0 Y=1 网游.若要确定网游爱好是否与性别有关 X=0 b atb 时，用下列最适合的统计方法是 () X=1 c d c+d A.均值 B.方差 合计 a十c b+d n=a+b+c+d C.独立性检验 D.回归分析 3.观察下列各图，其中两个分类变量x,y之间 (2)计算随机变量X= n(ad-bxy (a+b)(c+d)(a+c)(bd)' 关系最强的是 利用X的取值推断分类变量X和Y 的方法称为×独立性检验。 ☐ 如表为5个常用的小概率值和相应的临 界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 y2 y A 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 B. 自我训练 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 “√/”或“X”) (1)2×2列联表中的数据是两个分类变量 的频数， 206[例2]解(1)由频率分布直方图的性 质.可得(a+0.004+0.013+0.014+0. 所以方是号=合×[0+1+02+ 由于r=0.8245是全部数据的样本相关 系数，取出来一部分数据，相关性可能变 016)×20=1,解得a=0.003. （-1)2+02+02]=3 强，可能变弱，即取出的数据的样本相关 所以及格率为(0.016+0.014+0.003) 因为甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的 系数不一定是0.8245，故D错误 ×20■0.66=66%. 平均值一样，但乙厂的方差更小， (2)AC身高的平均数为 (2)得分在110以下的学生所占比例为 所有乙厂的轮胎相对更好 0165+168+170+172+173+174+ (0.004+0.013+0.016)×20=0.66, 即时训练解(1)这10棵A品种桃树 175+177+179+182)=173.5, 得分在130以下的学生所占比例为0.66 的产量从小到大分别为30,40,50,50， 因为离群，点(168,89)的横坐标168小于 +0.014×20=0.94, 60.60,70.70,80.90. 所以第80百分位数位于[110,130)内， 平均值173.5，纵坐标89相对过大， 这10裸A品种桃树产量的极差为90 由10+20×0员0 30=60, 所以去掉离群点后经验回归直线的裁距 =120,估计第 中位数为60十60-60. 变小而斜率变大， 80百分位数为120. 2 所以a1>a2,:<,所以A正确，B (3)由图可得，众数的估计值为100. 这10裸B品种桃树产量从小到大分 错谈： 平均数的估计值为0.08×60十0.26×80 别为 去掉离群，点后成对样本数据的线性相关 +0.32×100+0.28×120+0.06×140 20,40,50.50,60,60,70,80,80,80 程度更强，叔合效采会更好。 -99.6. 这10裸B品种桃树产量的极差为80一 所以片<，R<R,所以C正确，D 20=60, 即时训练解(1)由颜率分布直方图， 错误 可知(0,04+0.08×2+0.12+0.16+2a 中位教为60十60=60， 即时训练(1)A观察4幅图可知，A 2 +0.42+0.50)×0.5=1, 图散点分布比较集中，且大体接近某一 解得a■0.3： (2).r-7×(30+40+50+50+60+60 条直线，线性回归模型拟合效果比较好， 月均用水量不少于3吨的人数为(0.12 +70+70+80+90)=60, 呈现明显的正相关，|值相比于其他3 +0.08+0.04)×0.5×60×101= -2×(20+40+50+50+60+60+70 图更接近1.故选A y10 72000. (2)C由散点图可知，用y=6ln(k1x) +80+80+80)=59, 拟合比用y=k:x十叔合的程度高，故 (2)由图可估计众数为2.25： In>l. 设中位数为x, 号=0×[(30-60r+(40-60)+(50 -60)2+(50-60)2+(60-60)2+(60 又因为，y负相关，所以一r>一，即 因为前5组的频来之和为0.04+0.08十 n<n. 0.15+0.21+0.25=0.73>0.5. -60)2+(70-60)2+(70一60)2+(80 [例2]解(1)因为y=3.2-151.8, 而前4组的频率之和为0.04十0.08十 -60)2+(90-60)2]=300, =84,所以y=3.2×84-151.8=117. 0.15+0.21=0.48<0.5,所以2<x< 号=0×[(20-592+(40-59加+(50 由114+116+106+122+132+114+m 2.5, 59)2+(50-59)2+(60-59)2+(60 +132=117×8,解得m=100, 由0.50(x-2)=0.5-0.48,可得x 59)2+(70-59)2+(80-59)2十(80 所以8月份对应的残差值cs=132-3.2 2.04, -59)2+(80-59)2]=349. ×86.5+151.8=7. 故居民月均用水量的中位数为2.04. (3)由(1)可知这两个品种极差和中位数 [例3]解(1)记甲厂提供的10个轮胎 （2)由已知公式得2(y一)2=0.2十 都相等， 宽度的平均值为x1,乙厂提供的10个轮 0.62+L.82+(-3)+(-1)2+ 由(2)可知r>y,<好， 胎宽度的平均值为1， 则A品种桃树平均产量高，泼动小， (-4.6)2+(-1)2+72=84.8, =10(195×2+194×2+196×2+193 所以应孩选种A品种桃树」 2(y-) R=1 =1-84.8 904 ×2+197X2)=195(mm):=095 第三节 一元线性回归模型及其应用 2(y-y)2 0.9062>R, ×4+194+196+193×2+192×2)= 夯实·必备知识 所以线性回归模型y=3.2x一151.8拟 194(mm). 知识整合 1.(1)有关系(2)正相关负相关 合程度更好 (2)甲厂10个轮胎宽度在[194.196]内 (3)一条直线 (3)由(1)可知，第八组数据的利润应为 的数据为195,194,196,194,196,195， 2.(1)正相关 负相关(2)强弱 116(万元)， 则平均数为 3.(2)预测值 195+194+196+194+196+195=195, 此时2xy,=78880-86.5×16=77496: 自我训练 又2号=56528,7=84，y=117- 16 1.(1)J(2)/(3)×(4)/ 8 所以方差号=日×[0+(-1)+1+ 2.A3.B4.4.68 =115, （-1)2+12+02]=3: 研磨·高考题型 2xy8y [例1](1)C根据散点的集中程度可 所以6= 77496-8×84×115 5658一8×8 乙厂10个轮胎宽度在[194,196]内的 知，花解长度和花萼长度有相关性，故A -87 数据为195,196,195,194,195,195， 错误， =2.7,所以4=115-2.7×84= 则平均数为 数点的分布是从左下到右上，从而花解 111.8. 195+196+195+194+195+195=195, 长度和花等长度呈正相关，故B错误，C 所以重新采集数据后，线性回归方程为y 正确： =2.7-111.8. 514 [例3]答案y=e2.1-,: 即时训练(1)AC在经验回归方程y 依据列联表中数据计算得到X 解析周为回归模型为y=1F, =一0.3x十10中，当解释变量每增加1 且2=-0.18，则y=1e-a1:, 个单位时，响应变量将平均减少0.3个 2k 单住，故A正确： 3k 3 k·2·2·2 3· 两边可时取对数，可得lny=ln(c e0.18r) 在回归分析中，残差点分布的带状区域 因为本次调查得出“依据小概值a= =lnc1-0.18r, 的宽度越窄表示拟合效果越好，故B 0.005的独立性检验，认为喜爱是球与性 错误； 令4-lny,此时4=lnc1一0.18x, 残差平方和越小，则相应模型的拟合效 别有关”的结论， 又固为x=10,n=0.35, 果越好，故C正确： 所以lnc9=0.35+0.18×10=2.15,脚 在一元线性回归楼型分析中，若R2的值 于是X≥1.879=s中跨>.879. =e2.15, 解得k≥11.8185，而k是6的正整数倍. 总小，则模型的拟合效果越差，故D 所以y=cC2,15·e-18=2.15-.18r。 错误. 因此kmn-12. 即时训练解(1)作出数点图如图 (2)ACD由题图知，海拔高度越高，大 [例2]解(1)根据题意可得列联表： 所示。 气压强越低，所以大气压强与海拔高度 优级品 非优氯品 十紫础个数， 负相关，故A正确： 甲车间 26 24 200 经验回归方程得到的数据为传计值，而 150 非精确值，故B错误： 乙车间 70 30 10U 1--- 50 当x=11时，y1=一4.0×11+68.5= -- 24.5,又由题图知观洲值为22.6，所以样 可得X=150C26X30-24X70) 50X100×96X54 16 02468天敬x 本点(11,22.6)的残差为22.6一24.5日 =4.6875, 由散点图看出样本点分布在一条指数型 一1.9，故C正确： 图为3.841<4.6875<6.635. 曲线的周国， 随着海拔高度的增加，大气压强越来越 所以有95%的把提认为甲，乙两车间产 故选择y一为回归方程较适宜 小，但不可能为负数，因此方程= 品的优级品率存在差异，设有99%的把 (2)①由已知，烂=ny,剩之=lny= 132.9e13r的预报效果更好，故D 提认为甲，乙两车间产品的优级品率存 In (ci :=In c +In e=In e+e:r, 正确 在差异 则a=ln·B=c2,即x=r十a,所以紫 第四节 列联表与独立性检验 (②)由题常可知：生产线智能化升级改造 殖个数的对数g关于天数T具有线性 关系 夯实·必备知识 后，读工厂产品的化拔品的频率为器 ②由①知繁殖个数的对数：关于天数x 知识整合 0.64, 可以用线性回归方程来拟合 2.(2)是否独立 用频率估计概率可得p=0.64, 由表中数据可得 自我训练 又因为升领改造前该工厂产品的优饭品 1.(1)√(2)×(3)/(4)× 2(x,-r)(,-) *b=0.5, 3= 12.09 2.C3.D4.B 17.5 研磨·高考题型 则p+1.65 21=p2=0.5+1.65 0.69, a=-r=3.53-0.69×3.5≈1.12. [例1门D像题意债=号，解得 /0.51-0.5D≈0.5+1.65×12.247 0.5 150 则：关于x的线性回归方程为z-0.69.x =20, ≈0.568， 由10+20+b+30=105,解得b=45, +1.12. 又=lny, 所以A,B,C错误， 可知p>p+1.65/ p(1-P) 补全2×2列联表如表所示： 因此细首的紫殖个数y关于天数x的非 所以可以认为生产线智能化升级孜造 线性回归方程为y=心9+1.2， 优秀 非优秀 合计 后，该工厂产品的优级品率提高了. [例4]解(1)令1=√反，则y=bM+a. 甲班 10 45 55 即时训练解(1)H。:学生体育袋炼 的经常性与学生性别没有关系， Ety:-Tty 乙班 20 30 50 由参考数据得= 40X(5×20-5×10)2 8 2-㎡ 合计 30 75 105 x= 10×30X25X15 9 -761,757XX8.9-0g21.3 6.635, 47.55-7×2.52 甲整的优秀丰为号= 2 根据a=0.01的独立性栓验，没有充分 a=y-i≈38.9-21.3×2.5≈-14.4， 2 证据推断H。不成立，国此认为H。成 所以模型②中y关于x的经验回归方 乙班的优秀率为积-号，品<号 立，即学生体育般炼的经常性与学生性 程为 所以成绩与班级有关.所以D正骑 别没有关系 即时训练B设男性人数为k,依题 y=21.3E-14.4. (2)(1)当表中的数据都扩大为原来的刀 意，得2×2列联表如下： (2)由表格中的数据，有182.4>79.2， (aEN)修时t- 模型①的R小于模型②，说明回归模型 喜爱足球 不喜爱足球合计 根据a=0,01的独立性检验，若推断H。 ②的拟合效果更好： 男性 5k k 6 6 不成立，即在犯错误的概率不超过0.01 当x=25时，模型②的年收益增量的预 的前提下认为学生体育镜炼的经常性与 渊值为y=21.3×√25-14.4=21.3×5 女性 2k 4 -14.4-92.1(万元). 2k 学生性别有关系， 所以预测服务人员增加25人时的年收 则有：>6.635，解得m>7.46,又n∈ 合计 3k 益增量为92.1万元. N”,故n的最小值为8 515