第2节 用样本估计总体-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第九章统计与成对数据的统计分析 [思维升华] (1)如果有4名学生的成绩在10米到12米 频率分布直方图的相关结论 之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数； (1)频率分布直方图中各小长方形的面 (2)若测试数据与成绩之间的关系如表： 积之和为1. 测试数据 (②)频率分布直方图中纵轴表示频率， 组李 (0,6) [6,8) [8,12] (单位：米) 组样本的频率为组距× 组距即小长方形的 频 成绩 不合格 及格 优秀 根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初 面积. 二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成 (3)频率分布直方图中每组样本的频数 绩为优秀的概率。 为频率X总数. [即时训练] 为了解某市今年初二年级男生的身体素质 状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分 学生进行“掷实心球”的项目测试.经统计， 成绩均在2米到12米之间，把获得的所有 数据分成[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)， [10,12]五组，得到频率分布直方图如图 所示 频率分布直方图 ↑题送 纠距 0.20出 0.15 0.075 0.2 802来 请完成课时作业（七十二》 第二节 用样本估计总体 [课标要求]1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征 估计总体集中趋势和总体离散程度 夯实·必备知识 》 知识整合 2.平均数、中位数和众数 1.百分位数 1)平均数：x=（x,十x2十…十x,). 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一 (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大 个值，它使得这组数据中至少有 的数 到小的顺序排列，处在最 的一个数 据小于或等于这个值，且至少有(100一p)% 据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数 的数据 这个值， 据的 (当数据个数是偶数时). 197 金榜题名创新高考总复习数学 (3)众数：一组数据中出现次数 的 自我训练 数据（即频数最大值所对应的样本数据）. 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 3.方差和标准差 “/”或“X”) (1)方差：一组数据x1,x2,xg,…,x用x表 (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是 示这组数据的平均数，则这组数据的方差： 非常接近， 2=1(x,-x)2 (2)方差与标准差具有相同的单位.() n=1 (3)如果一组数中每个数减去同一个非零常 2)标准差2- 数，则这组数的平均数改变，方差不变，（ (4)在频率分布直方图中，可以用最高的小 4.总体方差和总体标准差 长方形底边中点的横坐标作为众数的估 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值 计值。 2.数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1 分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为y,则 的50百分位数为 总体方差S=含Y-. A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.7 (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不 3.对一个样本进行统计 同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y:, 后得到频率分布直方 Y2,…,Y,其中Y,出现的频数为f,(i=1,2, 图如图所示，并由此估 …,k),则总体方差为S= 名f-g 计总体集中趋势，则 a,b可以分别大致反映这组数据的( 【常用结论】 A.平均数，中位数 B.平均数，众数 1.若无，x2,…,xn的平均数为x,那么m1十 C.中位数，平均数 D.中位数，众数 a,m.x2十a,…,m.xn十a的平均数为m.x十a. 4.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成 2.数据工1,2…，xn与数据x1'=x1十a,x2= 绩如下，则他们中参加奥运会的最佳人选是 x2十a,…,xn'=xn十a的方差相等，即数据 经过平移后方差不变. 甲 乙 丙 3.若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1十b, 平均环数 8.5 8.8 8.8 8 ax2十b,…,axn+b的方差为a2s2 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 研磨·高考题型 》 题型一样本的数字特征的估计 1频率/组距 [例1](1)（多选）(2025·湖南长沙一中模 0.03 拟)树人中学为了解年级学生每天的体育活 0.02 动时间，随机抽取200名学生统计每天体育 0.01 运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成 [30,40),[40,50),[50,60),[60,70), 030405060708090时间分钟 [70,80),[80,90]六组，对统计数据整理得 A.a=0.15 到如图所示的频率分布直方图，则下列结论 B.这200名学生每天体育活动时间的众数 正确的是 是55 198 第九章统计与成对数据的统计分析 C.这200名学生每天体育活动时间的中位 A.90后考生比00后考生多150人 数小于60 B.笔试成绩的60%分位数为80 D.这200名学生中有60人每天体育活动时 C.参加面试的考生的成绩最低为86分 间低于50分钟 D.笔试成绩的平均分为76分 (2)(多选)(2023·新高考I卷)有一组样本 (2)(2025·河南南阳中学模拟)①某班有男 数据x1,x2,…,x6,其中C1是最小值，x是 生30人，女生20人，现用分层抽样的方法 最大值，则 ( 从其中抽10名同学进行体质健康测试，则 A.x2,x3x1,x5的平均数等于x1,x2,…,x 应抽取男生6人：②某人将一枚质地均匀的 的平均数 B.x2,x3,x1,x的中位数等于x1,x2,…,x6 硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出 的中位数 现了6次，则正面朝上的概率为0.6：③一 C.x2,x3,x1,x的标准差不小于x1,x2,…, 组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的75%分位数 x的标准差 为4，上述结论正确的是 D.x2,X3,x4,x的极差不大于x1,x2,…,x6 题型二总体集中趋势的估计 的极差 [例2]2024年，安徽、甘肃、广西、贵州、黑龙 [尝试解答] 江、吉林、江西七省区作为第四批实施改革 的省份进入新高考.2024年10月，进入新 高考的七个省份相继公布了高考选考科目 的试卷结构.某考试机构举行了新高考适应 [思维升华] 性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 可了解自己的学习情况，作出升学规划，决 定是否参加强基计划.在本次适应性考试 第 按从小到大排列原始数据 中，某学校为了解高三学生的联考情况，随 第二步 计算亡n×p% 机抽取了100名学生的联考数学成绩作为 若：不是整数，而大于i的比邻 样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)， 整数为j,则第卫百分位数为第方 [90,110),[110,130),[130,150]分组，绘制 项数据 、第三步 了如图所示的频率分布直方图 若：是整数，划第p百分位数为第 频率 项与第+1)项数据的平均数 组距 0.016. [即时训练】 0.014 0.013 (1)(多选)(2025·河南模拟)某地教师招聘 考试，有3200人参加笔试，满分为100分， 笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参 0.004L- 加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如 频率分布直方图和扇形统计图所示，则下列 0507090110130150成绩1分 说法正确的是 (1)求出图中a的值并估计本次考试的及格 频率 其他片 率(“及格率”指得分为90分及以上的学生 组距 比5% 所占比例)： 80后占 90后占 (2)估计该校学生联考数学成绩的第80百 0.02 比10% 比45% 分位数： 0.01 笔试成绩分 00后占比40% (3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平 0 5060708090100 均数. 199 金榜题名创新高考总复习数学 [尝试解答] 题型三总体离散程度的估计 [例3](2025·黑龙江鸡西模拟)为了了解 甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达 标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每 个轮胎的宽度（单位：mm)记录下来并绘制 出折线图： 甲厂轮胎宽度 乙厂轮胎宽度 198 197 197 [思维升华] 196 195 194 频率分布直方图中的数字特征 193 192 191 (1)众数：最高矩形的底边中点的横 191 12345678910 190 2345678910 坐标. +一甲厂轮胎宽度 +·乙厂轮胎宽度 (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的 面积和应该相等. (1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度 (3)平均数：平均数在频率分布直方图中 的平均值； 等于各组区间的中点值与对应频率之积 (2)轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮 的和 胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供 [即时训练] 的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的 某市共有居民60万人，为了制定合理的节 大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平 水方案，对居民用水情况进行了调查，通过 及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮 抽样，获得了某年100位居民每人的月均用 胎相对更好？ 水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)， [尝试解答] [0.5,1),…,[4,4.5]分成9组，制成了如图 所示的频率分布直方图. +频率 组距 0.50 0.42 2 0.08 .4 00.511.522.533.544.5月均用水量（吨） (1)求a的值，并估计该市居民月均用水量 不少于3吨的人数： (2)估计该市居民月均用水量的众数和中 位数 [思维升华] 总体离散程度的估计 标准差（方差）反映了数据的离散与集 中、波动与稳定的程度.标准差（方差）越大， 数据的离散程度越大：标准差（方差）越小，数 据的离散程度越小 200 第九章统计与成对数据的统计分析 [即时训练] (3)果园要大面积种植这两种桃树中的一 (2025·江门模拟)某果园试种了A,B两个 种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更 品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后 合适，并说明理由. 统计了这20棵桃树的产量如下表，记A,B 两个品种各10棵产量的平均数分别为x和 y,方差分别为s号和2. A(单位/kg)60504060708070305090 B(单位/kg)40605080805060208070 (1)分别求这两个品种产量的极差和中 位数： 请完成课时作业（七十三） (2)求x,y,s2; 第三节一元线性回归模型及其应用 [课标要求]1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型 参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 夯实·必备知识 >>》 ■ 知识整合 3.一元线性回归模型 (1)我们将y=x十a称为Y关于x的经验 1.变量的相关关系 回归方程，其中 (1)相关关系：两个变量 ,但又没有 确切到可由其中的一个去精确地决定另一 (x,-)(y-y =1 Zxy:-nxy 个的程度，这种关系称为相关关系， (x,-x) -1 xi-n =1 (2)相关关系的分类： 和 a=y-i远 (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值 (2)残差：观测值减去 称为残差， 呈现正相关或负相关，而且散点落在 【常用结论】 附近，我们就称这两个变量线性相关 1.经验回归直线过点(x,y). 2.样本相关系数： 2.回归分析和独立性检验都是基于成对样本 观测数据进行估计或推断. 2(x,-x)(y,一y) 自我训练 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 Ni= “/”或“X”) (1)当>0时，称成对样本数据 (1)相关关系是一种非确定性关系.() 当r<0时，称成对样本数据 (2)散点图是判断两个变量相关关系的一种 (2)r≤1：当r越接近1时，成对样本数 重要方法和手段。 () 据的线性相关程度越 ;当r越接 (3)经验回归直线y=x+a至少经过点 近0时，成对样本数据的线性相关程度越 (x1y1）,(x2y2),…,(xmyn)中的一个点. () 201(②)D根据题意知，按比例分配的分层 (2)BC由图可知，从2018年到2019 天体育活动时间的众数是55，故B正确： 随款抽样的比例为碧一哥， 年，我国新能源汽车年产量在下降，故 由10×0.01-0.1<0.5,10×0.01+10 A错： ×0.02-0.3<0.5,10×0.01+10× 所以孩高校抽取的志愿者总人数为 2017一2022年我国新能源汽车年产量的 0.02+10×0.03=0.6>0.5,故中位数 3 1600+600+200)×0-360. 极差为705,8-79.1=626.1（万辆），故 位于[50,60)内，故C正确， [例2](1)D对于选项A,因为互联网行 B对： 由于10×0.01+10×0.02-0.3，故200 业从业人员中，“90后”占比为56%， 2022年我国汽车年总严量为 名学生中每天体有活动时间低于50分 其中从事技术和运营岗位的人数占的比 0,256≈2751.03（万辆），故C对： 705.8 钟的人数约为200×0.3=60人，故D正 分别为39.6%和17%， 确，故选BCD, 则“90后”从事技术和运营岗位的人数占 2019年我因汽本年落产量为别品 (2)BD取d1=1,2==士1=x与=2 总人数的56%×(39.6%+17%)≈ 2587.5(万辆)， x6=9, 31.7%. 则工g工4的平均数等于2，标准差 127 “80前”和“80后”中必然也有从事技术 2018年我国汽车年总产量为0.0布≈ 为0,11x…6的平均数等于3，标准 和运营黄位的人，剧惑的占比一定超过 2822.22(万辆)， 三成，故迭项A正确： 差为√俘-故A,C均不正： 所以2019年我国汽车年总产量低于 对于选项B,因为互联网行业从业人员 2018年我国汽车年总产量，故D错. 根据中位数的定义，将工1，·…x6按 中，“90后”占比为56%， 例3]解(1)由频率分布直方图，可得： 从小到大的顺序进行排列，中位数是中 其中从事技术岗位的人数占的比为 (0.0024×2十0.0036十x十0.0060+ 间两个数的算术平均数，由于1是最小 39.6%, 0.0012)×50-1, 值r行是最大值，故xg:的中位 则“90后”从事技术岗位的人数占总人数 解得x=0.0044. 数是将x2,x3,x,按从小到大的顺序 的56%×39.6%≈22.2%. “80前”和“80后”中必然也有从事技术 (2)由频率分布直方图中的数据，可得用 掉列后中间两个数的算术平均数，与工1· 电量落在区间[100,250)内的频率为： 2…,的中位数相等，故B正确： 岗位的人，则总的占比一定超过20%，故 极据极差的定义，知，·工·后的极 选项B正确： (0.0036+0.0060+0.0044)×50= 对于选项C,“90后”从事运营岗位的人 0.70, 差不大于·工2，…，工6的极差，故D 数占总人数的比为56%×17%≈9.5%， 所以用电量落在区间[100,250)内的户 正确 即时训练(1)BD对于A中，由年龄 大于“80前”的总人数所占比3%，故选 数为0.70×100一70. 的扇形统计图，可得90后的考生有3200 项C正确： 即时训练解(1)由频来分布直方图 得成绩在10来到12米之间的频率为 ×45%-1440人， 选项D,“90后”从事技术岗位的人数占 00后的考生有3200×40%一1280人，可 总人数的56%×39.6%≈22.2%， 1-(0.025+0.075+0.2+0.15)×2- 得1440一1280=160人，所以A不正确： “80后”的总人数所占比为1%，条件中 0.1, 对于B中，由频率分布直方图性质，可得 未给出从寧技术岗位的占比，故不能判 因为有4名学生的成绩在10米到12米 断，所以珐项D错误.故选D. 之间， (0.01+0.02+a+a+0.01)×10-1, (2)CD东北地区通电的村、通宽带互 则参加“掷实心球”项目测试的人数为 解得a=0.03,则前三个矩形的面积和 联网的村、有电子商务那远站，点的村的 (0.01十0.02十0.03)×10=0.6，所以笔 占比高于中郎地区，但道天然气的村的 0.7-40. 试成绩的60%分位数为80分，所以B 占比低于中部地区，故A错误： (2)由测试数据与成绮之间的关系表，知 正确； 两部地区通电的衬，通宽带互联网的衬、 测试成绩在[8,12]为倪秀， 对于C中，设面试成绩的最低分为工，由 有电子商务配送站点的村的占比低于其 由频率分布直方图得测试成绩在[8,12] 前三个矩形的面积和为0.6，第四个矩形 他三个地区，但通天然气的材的占比高 的频率为 的面积为0,3，别80+8器×10-866 于其他三个地区，故B错误： 1-(0.025+0.075+0.2)×2=0.4, ≈87分，所以C不正确： 中部地区除通天然气的村的占比低于西 所以估计从该市初二年级男生中任意选 部地区，其他三项数据均不低于西部地 对于D中，根据频来分布直方图的平均 取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概单 区，故中部地区的发展情况相较于西部 数的计算公式，可得考试的平均成铃为： 为0.4. 地区较好，故C正确： r-55×0.1+65×0.2+75×0.3+85× 东部地区徐通天然气的村的占比低于西 第二节用样本估计总体 0.3十95×0.1=76分，所以D正确.故 部地区，其他三项数据均不低于其他三 选BD. 夯实·必备知识 个地区，故东部地区的发展情况相较于 (2)答案①③ 知识整合 其他三个地区较好，故D正确. 解析对于①，男生应抽取10×30十20 30 1.p%大于或等于 即时训练(1)BC每周都消货新式茶 2.(2)中间平均数(3)最多 饮的消费者占比1一9.1%>90%，A =6人，故①正确： 自我训练 错误； 对于②，某人将一枚质地均匀的硬币连 每天都消费新式茶饮的消费者占比5， 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 续抛摔了10次，正面朝上的情形出现了 4%十16.4%>20%，B正确： 2.B3.A4.丙 6次，则正面朝上的频率为0,6，但是无 月均消费新式茶饮50~200元的消赍者 研磨·高考题型 论掷硬币多少次，硬币正面朝上的概率 占比30.5%+25.6%>50%，C正确： 工例1](1)BD由频率之和为1得：10 均为0.5，故②错误： 月均消费新式茶饮超过100元的消壹者 ×(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)=1. 对于③，这组数据从小到大捧列依次为： 占比1-14.5%一30.5%<60%，D错 解得a=0.015,故A错误： 1,2,2,2,3、3、3,4、5、6,图为10×75%= 误，故选BC 由频率分布直方图可估计200名学生每 7.5,所以75%分位数为1，故③正确， 513 [例2]解(1)由频率分布直方图的性 所以方差壁=名×[0+1+0十 由于r=0.8245是全部数据的样本相关 质，可得(a+0.001+0.013+0.011+0. 系数，取出来一部分数据，相关性可能变 016)×20=1,解得a=0.003. （-102+0+0]-号 强，可能变弱，即取出的致据的样衣相关 所以及格奉为(0.016+0.011+0.003) 系数不一定是0.8245，故D错误 因为甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的 ×20-0.66=66%, 平均值一群，但乙厂的方差更小， (2)AC身高的平均数为 (2)得分在110以下的学生所占比例为 所有乙厂的轮胎相对更好， 0165+168+170+172+173+174+ (0.004+0.013+0.016)×20-0.66, 即时训练解(1)这10裸A品种桃树 175+177+179+182)-173.5, 得分在130以下的学生所占比例为0.66 的产量从小到大分别为30,40,50,50， 因为离群，点(168,89)的横坐标168小于 +0.014×20-0.94 60,60,70,70,80,90, 所以第80百分位数位于[110,130)内， 这10棵A品种桃树产量的极差为90 平均值173.5，纵坐标89相对过大， 所以去掉离群点后经脸回归直线的裁距 由10+20×00二0 30=60, 一120，估计第 中位数为60+60-60， 变小而斜卓变大， 80百分位数为120， 2 所以a1>a2,61<b,所以A正确，B (3)由图可得，众数的估计值为100， 这10葆B品种桃树产量从小到大分 错误： 平均数的估计值为0.08×60十0.26×80 别为 去掉离群点后成对样本数据的线性相关 +0.32×100+0.28×120+0.06×140 20.40,50,50,60,60,70,80,80,80 程度更强，拟合效果会更好， -99.6. 这10棵B品种桃树产量的极差为80 所以1<r,R<R鲜，所以C正确，D 20-60, 即时训练解(1)由频率分布直方图， 错误 可知(0.04+0.08×2+0.12+0.16+2 中位数为60十60-60. 即时训练(1)A观察4幅图可知，A 2 +0.42+0.50)×0.5=1. 图散点分布比较集中，且大体接近某一 解得a-0.3: (2)z-0×(30+40+50+50+60+60 条直线，线性回归模型银合效果比较好， 呈现明显的正相关，|r|值相比于其他3 月均用水量不少于3吨的人数为(0.12 +70+70+80+90)=60, +0.08+0.04)×0.5×60×101- )=0×(20+40+50+50+60+60+70 图更接近1，故选A 72000. (2)C由散点图可知，用y-ln(k1x) +80+80+80)-59. 拟合比用y一k十拟合的程度高，故 (2)由图可估计众数为2.25： 设中位数为x, 号-高×[(30-602+(40-60)+(30 |r1l>r21, 又因为x,y负相关，所以一r1>一rg,即 国为前5组的频来之和为0.04十0.08十 -60)2+(50一60)2+(60-60)2+(60 r<r2. 0.15+0.21+0.25=0.73>0.5, -60)2+(70-60)2+(70-60)2+(80 [例2]解(1)周为y-3.2x-151,8, 而前1组的频率之和为0.04+0.08十 -60)2+(90-60)2]-300, -84,所以y-3.2×84一151.8-117. 0.15+0.21=0.48<0.5,所以2<x< 1 号-0×[(20-59)2+(40-59)2+(50 由114+116+106+122+132+114+m 2.5, -59)2+(50-59)2+(60-59)+(60 +132-117×8,解得m-100, 由0.50(x-2)=0.5一0.48，可得x= -59)2+(70-59)2+(80-59)2十(80 所以8月份对应的残差值4=132一3,2 2.04, -59)2+(80-59)2]-349. ×86.5+151.8=7. 故居民月均用水量的中位数为2.04， (3)由(1)可知这两个品种极差和中位数 [例3]解(1)记甲厂提供的10个轮胎 (2)由已知公式得2(y一)2-0,2+ 都相等， 宽度的平均值为工1，乙广提供的10个轮 0.62+1.82+(-3)2+(-1)2+ 由(2)可知r>y,号， 胎宽度的平均值为14， 则A品种桃树平均产量高，泼动小， (-L.6)2+(-1)2+72-84.8. 5-0195×2+194×2+196×2+193 所以应该遍种A品种桃树」 2(y-) R2-1 第三节 一元线性回归模型及其应用 -1- ×2+197×2)=195(mm):=0195 3y-2 夯实·必备知识 0.9062>R, ×4+194+196+193×2+192×2) 所以线性回归模型v-3.2x一151.8拟 194(mm). 知识整合 1.(1)有关系(2)正相关负相关 合程度更好 (2)甲厂10个轮胎宽度在[194,196]内 (3)一条直线 (3)由(1)可知，第八组数据的利涧应为 的数据为195,194,196,191,196,195， 2.(1)正相关 负相关(2)强弱 116(万元)， 则平均数为 3.(2)预测值 195+191+196+194+196+195=195, 此时2xy:-78880-86.5×16=77496, 自我训练 又2r子-56528，r-84,y-117- 16 1.(1)/(2)/(3)×(4)/ 所以方差一 ×[0+(-1)2+1+ 6 2.A3.B4.4.68 =115, （-1)+1+0]-号 研磨·高考题型 [例1](1)C根据散点的第中程度可 所以b 包%-8y 77496-8×8M×115 -82 56528-8×8f 乙厂10个轮胎宽度在[194,196]内的 知，花解长度和花萼长度有相关性，故A 数据为195,196,195,194,195,195. 错误： =2.7,所以4=115-2.7×84= 则平均数为 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣 111.8, 195+196+195+191+195+195-195, 长度和花尊长度呈正相关，故B错误，C 所以重新采集数据后，线性回归方程为y 6 正确： -2.7x-111.8. 514