第1节 随机抽样、统计图表-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

2)由题意：爵的方程为(：-5士产)） (kx1十m)x2十(k红2十m)z -2k -3+及√+1)(+1 k(4+1) +(”2)-)+ m(x十x=2k+ 一8k 2k 4 4(m2-1)m2-11 3√k+1)(k+1D 即x2+y2-(十x2)x-(十y)y 因为N十霜一一 十工12十y1为-0. 可得m一妆十 =3× 由对称性可知：若存在定点，则必在x 轴上. 1所以-子 ++ 文由△>0，可得16(4h2一m2+1)>0,所 令y-0,有x2-(工1+x2)x+工1十 ≤3X =3×√=1， 以1-4k>0,解得<0或>1， y1y2=0. 综上可得，直线！的斜率的取值范围是 由(1)可知x1+4=1(十y2)+8 -8 [-o）u1.+o 当且仅当：一子一士号时取到等号 -3-1 即时训练解(1)由已知可得， 综上，|QT的最大值为1 x1x=(1y+4)(1y2+4)=产yy2十 (+)+16-9+16 Sm,Pm·PE1·mEPE 第九章统计与成对数据的统计分析 --12-16 -吉PR·1PE,·22-E 第一节随机抽样、统计图表 32-1 所以PFI·PF-3. 代入方程后有：十二+ 8 夯实·必备知识 由余孩定理得，PF,十PF一FE? 知识整合 =0, -2IPF1l·IPF|·cos∠FPF2 1.总体个体样本样本容量 8 所以(PFI+PF21)2 2.抽签法随机数法 即(x-4)+3与x+2)=0 -IPF 12+PF212+2PF1.IPF2 3.分层随机抽样层 十2=0：即工=一2.故国过定 =2|PFI·IPFg|·cos∠F1PF±+ 4.(1)条形图扇形图折线图频率分 x2-4=0 IF1FI+2PF1|·IPFI 布直方图(2)①极差②组距组数 点(-2,0) -21PFI·|PF21·(1+cos∠F1PFz) ③数据 +FF1* 自我训练 1.(1)×(2)(3)×(4)/ =2×3×(1-3)+(2)2=16. 2.B3.C4.A 所以PF1I+|PF|-2a-4, 研磨·高考题型 所以a=2,6=2-c2-1. [例1门(1)A从第5行第6列开始向右 数C的方程为号+y-L 读取数据，第一个数为253，第二个数是 313,第三个数是157，下一个数是860， (2)①当【的斜率为0或不存在时， 不符合要求，下一个数是736，不符合要 [例3] 解四由题意知，精圈子十左行 QT=0. 求，下一个是253，重复，别第四个数是 ②当L斜率存在且不为0时 1(a>b>0)的左焦点坐标为（一√尽，0）， 007,第五个数是328，第六个数是623. 根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的 设：y一kx十m,则OT:y-一方 1 (2)C因为从高一、高二、高三抽取的人 (y=k.r十m, 数恰好是从小到大排列的连续偶数， 距离之和为√++（分-0） 联立 所以设高三抽取的人数为2a,则高二抽 7+y2-1. 取的人数为2（一2，高一抽取的人数为 消元得：(1十4)x2+8mx+4m2一4 2a-4, 即2a=4,所以a=2, =0. 因为样本客量为60，所以2a十2a一2 2a-4-60→2a-22. 又图为c=√3，可得b=√a2一c=1, △-64k2m2-4(1+4k2)(1m2-4) -16(4k2+1-m2)-0, 设我校高二年级的人数为x, 所以超国C的方程为号+少-1. 则m2=4k2+1. 银搭分层抽样得：0-60→x (2)当直线！的斜率不存在时，结合椭国 8km Akm 2000.故选C. 的对称性可知，1十k围=0，不符合 2(1+4k2) 1+4k 即时调练(1)BA选项中，挑选出50 题意， y=kx十m, 联立 1解得x= km 故设直线1的方程为y-kx十m(k≠0)， 十即 名最优秀的医生去参加培训，每个人被 y=一r 抽到的概率不相等，故A错误： A(ri).B(). B选项中，从10部手机中逐个不放回地 (y=kr+m. IT-- 是m k2+11 联立方程组 随机抽取2部进行质量检脸，是简单随 +-… 所以|QT|=小+k·|xr一x0l 机抽样，故B正确： 可得(42+1)x2+8mx+4(m2-1) -1+. 舞+ C选项中，由于被抽取的样本的慈体个 =0, 数是无限的，所以不是简单随机抽样，故 则十年4-0 一8km 一个+·km· 3 C错误： 4k2+1 (k2+1)(4+1) D选项中，一次性袖取前10箱，每箱被 所以n+k+兰 =3√1+k, 抽到的凝率不相等，所以不是简单髓机 V(k+1)2(42+1) 抽样，故D错误。 512 (②)D根据题意知，按比例分配的分层 (2)BC由图可知，从2018年到2019 天体育活动时间的众数是55，故B正确： 随款抽样的比例为碧一哥， 年，我国新能源汽车年产量在下降，故 由10×0.01-0.1<0.5,10×0.01+10 A错： ×0.02-0.3<0.5,10×0.01+10× 所以孩高校抽取的志愿者总人数为 2017一2022年我国新能源汽车年产量的 0.02+10×0.03=0.6>0.5,故中位数 3 1600+600+200)×0-360. 极差为705,8-79.1=626.1（万辆），故 位于[50,60)内，故C正确， [例2](1)D对于选项A,因为互联网行 B对： 由于10×0.01+10×0.02-0.3，故200 业从业人员中，“90后”占比为56%， 2022年我国汽车年总严量为 名学生中每天体有活动时间低于50分 其中从事技术和运营岗位的人数占的比 0,256≈2751.03（万辆），故C对： 705.8 钟的人数约为200×0.3=60人，故D正 分别为39.6%和17%， 确，故选BCD, 则“90后”从事技术和运营岗位的人数占 2019年我因汽本年落产量为别品 (2)BD取d1=1,2==士1=x与=2 总人数的56%×(39.6%+17%)≈ 2587.5(万辆)， x6=9, 31.7%. 则工g工4的平均数等于2，标准差 127 “80前”和“80后”中必然也有从事技术 2018年我国汽车年总产量为0.0布≈ 为0,11x…6的平均数等于3，标准 和运营黄位的人，剧惑的占比一定超过 2822.22(万辆)， 三成，故迭项A正确： 差为√俘-故A,C均不正： 所以2019年我国汽车年总产量低于 对于选项B,因为互联网行业从业人员 2018年我国汽车年总产量，故D错. 根据中位数的定义，将工1，·…x6按 中，“90后”占比为56%， 例3]解(1)由频率分布直方图，可得： 从小到大的顺序进行排列，中位数是中 其中从事技术岗位的人数占的比为 (0.0024×2十0.0036十x十0.0060+ 间两个数的算术平均数，由于1是最小 39.6%, 0.0012)×50-1, 值r行是最大值，故xg:的中位 则“90后”从事技术岗位的人数占总人数 解得x=0.0044. 数是将x2,x3,x,按从小到大的顺序 的56%×39.6%≈22.2%. “80前”和“80后”中必然也有从事技术 (2)由频率分布直方图中的数据，可得用 掉列后中间两个数的算术平均数，与工1· 电量落在区间[100,250)内的频率为： 2…,的中位数相等，故B正确： 岗位的人，则总的占比一定超过20%，故 极据极差的定义，知，·工·后的极 选项B正确： (0.0036+0.0060+0.0044)×50= 对于选项C,“90后”从事运营岗位的人 0.70, 差不大于·工2，…，工6的极差，故D 数占总人数的比为56%×17%≈9.5%， 所以用电量落在区间[100,250)内的户 正确 即时训练(1)BD对于A中，由年龄 大于“80前”的总人数所占比3%，故选 数为0.70×100一70. 的扇形统计图，可得90后的考生有3200 项C正确： 即时训练解(1)由频来分布直方图 得成绩在10来到12米之间的频率为 ×45%-1440人， 选项D,“90后”从事技术岗位的人数占 00后的考生有3200×40%一1280人，可 总人数的56%×39.6%≈22.2%， 1-(0.025+0.075+0.2+0.15)×2- 得1440一1280=160人，所以A不正确： “80后”的总人数所占比为1%，条件中 0.1, 对于B中，由频率分布直方图性质，可得 未给出从寧技术岗位的占比，故不能判 因为有4名学生的成绩在10米到12米 断，所以珐项D错误.故选D. 之间， (0.01+0.02+a+a+0.01)×10-1, (2)CD东北地区通电的村、通宽带互 则参加“掷实心球”项目测试的人数为 解得a=0.03,则前三个矩形的面积和 联网的村、有电子商务那远站，点的村的 (0.01十0.02十0.03)×10=0.6，所以笔 占比高于中郎地区，但道天然气的村的 0.7-40. 试成绩的60%分位数为80分，所以B 占比低于中部地区，故A错误： (2)由测试数据与成绮之间的关系表，知 正确； 两部地区通电的衬，通宽带互联网的衬、 测试成绩在[8,12]为倪秀， 对于C中，设面试成绩的最低分为工，由 有电子商务配送站点的村的占比低于其 由频率分布直方图得测试成绩在[8,12] 前三个矩形的面积和为0.6，第四个矩形 他三个地区，但通天然气的材的占比高 的频率为 的面积为0,3，别80+8器×10-866 于其他三个地区，故B错误： 1-(0.025+0.075+0.2)×2=0.4, ≈87分，所以C不正确： 中部地区除通天然气的村的占比低于西 所以估计从该市初二年级男生中任意选 部地区，其他三项数据均不低于西部地 对于D中，根据频来分布直方图的平均 取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概单 区，故中部地区的发展情况相较于西部 数的计算公式，可得考试的平均成铃为： 为0.4. 地区较好，故C正确： r-55×0.1+65×0.2+75×0.3+85× 东部地区徐通天然气的村的占比低于西 第二节用样本估计总体 0.3十95×0.1=76分，所以D正确.故 部地区，其他三项数据均不低于其他三 选BD. 夯实·必备知识 个地区，故东部地区的发展情况相较于 (2)答案①③ 知识整合 其他三个地区较好，故D正确. 解析对于①，男生应抽取10×30十20 30 1.p%大于或等于 即时训练(1)BC每周都消货新式茶 2.(2)中间平均数(3)最多 饮的消费者占比1一9.1%>90%，A =6人，故①正确： 自我训练 错误； 对于②，某人将一枚质地均匀的硬币连 每天都消费新式茶饮的消费者占比5， 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 续抛摔了10次，正面朝上的情形出现了 4%十16.4%>20%，B正确： 2.B3.A4.丙 6次，则正面朝上的频率为0,6，但是无 月均消费新式茶饮50~200元的消赍者 研磨·高考题型 论掷硬币多少次，硬币正面朝上的概率 占比30.5%+25.6%>50%，C正确： 工例1](1)BD由频率之和为1得：10 均为0.5，故②错误： 月均消费新式茶饮超过100元的消壹者 ×(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)=1. 对于③，这组数据从小到大捧列依次为： 占比1-14.5%一30.5%<60%，D错 解得a=0.015,故A错误： 1,2,2,2,3、3、3,4、5、6,图为10×75%= 误，故选BC 由频率分布直方图可估计200名学生每 7.5,所以75%分位数为1，故③正确， 513第九章 统计与成对数据的统计分析 第一节 随机抽样、统计图表 [课标要求]1.了解获取数据的基本途径.2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解 分层随机抽样.3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性。 夯实·必备知识 >》 知识整合 ④列频率分布表： 1.总体、个体、样本 ⑤画频率分布直方图. 调查对象的全体（或调查对象的某些指标的 【常用结论】 全体)称为 ,组成总体的每一个调 1.利用按比例分配的分层随机抽样要注意按 查对象（或每一个调查对象的相应指标）称 比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整 为 在抽样调查中，从总体中抽取 数，可以进行一定的技术处理，比如将结果 的那部分个体称为 ,样本中包含的 取成整数等 个体数称为 简称样本量， 2.在按比例分配的分层随机抽样中，以层数是 2.简单随机抽样 2层为例，如果第1层和第2层包含的个体 和 是比较常用的两种 数分别为M和N,抽取的样本量分别为m 方法 和，第1层和第2层的样本平均数分别为 3.分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若 ,样本平均数为则。=N十 干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子 总体，在每个子总体中独立地进行简单随机 MYNn开+n y 抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一 3.频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的 起作为总样本，这样的抽样方法称为 频率除以组距，不要和条形图混淆. ,每一个子总体称为 自我训练 4.统计图表 (1)常见的统计图表有 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 等 “/”或“×”) (2)作频率分布直方图的步骤 (1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的 ①求 机会与先后顺序有关， ) ②决定 与 (2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样. ③将 分组； () 193 金榜题名创新高考总复习数学 (3)在按比例分配的分层随机抽样中，每个 的目的是 个体被抽到的可能性与层数及分层有关 A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 (4)在频率分布直方图中，小长方形的面积 C.通过观察获取数据 越大，表示样本数据落在该区间的频率 D.通过查询获得数据 越大 ( 4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况， 通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些 2.某市教育局想了解全市所有学生对电影《长 人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计， 津湖之水门桥》的评价，决定从全市所有学 得到样本的频率分布直方图如图所示，则α 校中选取3所学校按学生人数用分层抽样 的值为 的方法抽取一个样本，若3所学校学生人数 频率 之比为2：3：4，且学生人数最少的一个学 组距 0.045 校抽出120人，则这个样本的容量为( A.560 B.540 C.450 D.400 0.010 0.005 3.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜， 5060708090100分钟 是具有我国自主知识产权、世界最大单口 A.0.02 B.0.2 径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼” C.0.04 D.0.4 研磨·高考题型 >》 题型一抽样方法 年级的人数为 [例1](1)某工厂利用随机数法对生产的 A.1000 B.1500 700个零件进行抽样测试，先将700个零件 C.2000 D.1000 进行编号，001,002，…，699,700.从中抽取 [尝试解答] 70个样本，下面提供了随机数表的第5行 到第6行数据，若从随机数表中第5行第6 列开始向右读取数据，则得到的第6个样本 编号是 84421253313457860736 2530073286 2345788907 2368960804 3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345 A.623 B.328 C.253 D.007 (2)(2025·江西景德镇模拟)某校高一、高 [思维升华] 二、高三共有学生6000名，为了了解同学们 (1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样 对某授课软件的意见，计划采用分层抽样的 本总体的个体数有限：②等可能抽取。 方法从这6000名学生中抽取一个容量60 (2)在按比例分配的分层随机抽样中，抽 的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰 样比= 样本容量各层样本容量 好是从小到大排列的连续偶数，则该校高二 总体容量各层个体总量 194 第九章统计与成对数据的统计分析 [即时训练] (2)(多选)(2025·合肥模拟)为了解我国农 (1)下列抽样方法是简单随机抽样的是 业、农村、农民的基本情况，将全国第三次农 业普查的部分数据整理得到如下的柱状图 A.某医院从200名医生中，挑选出50名最 (单位：%)，则下列说法正确的是 优秀的医生去参加培训 口东部地区口中部地区口西部地区口东北地区 B.从10部手机中逐个不放回地随机抽取2 100% 部进行质量检验 80% C.从空间直角坐标系中抽取10个点作为 60% 40%f 20%1 样本 通天然 通电的村 通宽带互 有电子商类型 D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次 气的村 联网的村 务配送站 点的村 性抽取前10箱进行质量检查 △.东北地区的四项数据均比中部地区高 (2)(2025·枣庄模拟)杭州亚运会共有3.76 B.西部地区的四项数据均比其他三个地 万“小青荷”志愿者参与服务.据统计某高校 区低 共有本科生1600人、硕士生600人、博士 C.中部地区的发展情况相较于西部地区的 生200人申请报名做志愿者，现用按比例分 发展较好 配的分层随机抽样方法从中抽取博士生30 D.东部地区的发展情况相较于其他三个地 人，则该高校抽取的志愿者总人数为( 区的发展较好 A.300 B.320 [尝试解答] C.340 D.360 题型二 统计图表 [例2](1)(2025·成都模拟)某调查机构对 全国互联网行业进行调查统计，得到整个互 [思维升华 联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从 统计图表的主要应用 事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论 (1)扇形图：直观描述各类数据占总数的 错误的是 ) 比例 80前3% 90后从事互联网行业岗位分布图 (2)折线图：描述数据随时间的变化 技术 ■39.6% 运营 17% 趋势 市场 13.2% 90后 80后 41% 设计 12.3% (3)条形图和直方图：直观描述不同类别 56% 职能 ■9.8% 产品■6.5% 或分组数据的频数和频率， 其他■1.6% [即时训练] 注：90后指1990年及以后出生，80后指 (1)(多选)新式茶饮是指以上等茶叶通过萃 1980一1989年之间出生，80前指1979年及 取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚 以前出生 果、柠檬等小料调制而成的饮料.如图为 A.互联网行业从业人员中从事技术和运营 2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇 岗位的人数占总人数的三成以上 形图及月均消费新式茶饮金额的条形图. B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过 2022年消费者购买新式茶饮的频次 总人数的20% 每天多次 C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后 很少 5.4% 9.1% 一定比80前多 每天一次 周多次 D.互联网行业中从事技术岗位的人数90 16.4% 49.0% 一周一次 后一定比80后多 20.1% 195 金榜题名创新高考总复习数学 2022年消费者月均消费新式茶饮的金额 C.2022年我国汽车年总产量超过2700 500元以上口2.2% 万辆 401~500元☐3.2% 301~400元 ☐7.0% D.2019年我国汽车年总产量不低于2018 201-300元 17.0% 101-200元 年我国汽车年总产量 ☐25.6% 50~100元 ☐30.5% 题型三频率分布直方图 50元以下 14.5% [例3](2025·昆明模拟)从某小区抽取100 根据所给统计图，下列结论中正确的是 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的 ( 用电量都在50~350kW·h之间，进行适 A.每周都消费新式茶饮的消费者占比不 当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频 到90% 率分布直方图如图所示。 B.每天都消费新式茶饮的消费者占比超 频率组距 过20% 0.0060-… C.月均消费新式茶饮50~200元的消费者 占比超过50% 0.0036 D.月均消费新式茶饮超过100元的消费者 0.0024 占比超过60% 0.0012 (2)(多选)(2025·潍坊模拟)新能源汽车包 050100150200250300350月用电量kWh) 括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力 (1)求直方图中x的值： 汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等. (2)在被调查的用户中，求用电量落在区间 我国的新能源汽车发展开始于21世纪初， [100,250)内的户数： 近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界 [尝试解答] 第一.下面两图分别是2017年至2022年我 国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年 总产量的比例)情况，则 ( 】 2017-2022年我国新能源汽车年产量 (单位：万辆) 800 705.8 600 354.5 400 200 127 136.6 724 142 2017年2018年2019年2020年2021年2022年 2017-2022年我国新能源汽车占比 (单位：%) 30 25.6 20 10 122 5.3 0 2017年2018年2019年2020年2021年2022年 A.2017~2022年我国新能源汽车年产量逐 年增加 B.2017~2022年我国新能源汽车年产量的 极差为626.4万辆 196 第九章统计与成对数据的统计分析 [思维升华] (1)如果有4名学生的成绩在10米到12米 频率分布直方图的相关结论 之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数； (1)频率分布直方图中各小长方形的面 (2)若测试数据与成绩之间的关系如表： 积之和为1. 测试数据 (2)频率分布直方图中纵轴表示频 组距享 (0,6) [6,8) [8,12] (单位：米) 组样本的频率为组距X 距，即小长方形的 频率 成绩 不合格 及格 优秀 根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初 面积 二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成 (3)频率分布直方图中每组样本的频数 绩为优秀的概率。 为频率X总数。 [即时训练] 为了解某市今年初二年级男生的身体素质 状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分 学生进行“掷实心球”的项目测试.经统计， 成绩均在2米到12米之间，把获得的所有 数据分成[2,4)，4,6)，[6,8)，[8,10)， [10,12]五组，得到频率分布直方图如图 所示. 须率分布直方图 频率 组距 0.200 0.150 0.075 0.025 0 81012采 请完成课时作业（七十二》 第二节 用样本估计总体 [课标要求]1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征 估计总体集中趋势和总体离散程度. 夯实·必备知识 >>》 知识整合 2.平均数、中位数和众数 1.百分位数 （①)平均数=十十+，） 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一 (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大 个值，它使得这组数据中至少有 的数 到小的顺序排列，处在最 的一个数 据小于或等于这个值，且至少有(100一)% 据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数 的数据 这个值， 据的 (当数据个数是偶数时). 197