第11节 圆锥曲线中的综合问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

[例2]A知图，：·=0， 因为点P在两条直线上， 即时训练(1)答案 16 所以一=1， 4 解析直线1的倾斜角a=60°， -为为=1 .BA⊥BP令k=k, 这表明，点A,B布在直线 -yoy '∠ADO=∠AOD. =1上， ∴kp=-一km=一k, 又BALBP,∴km=-方· 即直我AB的方程为受-%y=1 依短意m·=仁 1 又%-号+1，代入整理得孕一) 由AF=-os。4 得p=4(1-co8a)=2. (y+1)=0, ◆- 解得/2=一1， :AB=2p=4=16 sin'a 33 y=-1, 即直线AB过定点（一1，-1）. (2)答案3+22 [例4门(1)A如图，不坊令直线AB的领 即时训练D由辅国中的站论，可得 1·m= 斜角为aa∈(0，受) 解析因为P=2,所以A可十BF一 只- 由辅同的离心率的取值范国 所以2AF+|BF (停) 1 =(2AF+BF)·（A+BF】 9<<<<号 1 3 a =3++ (任)< :A3=3Fi. ≥3+√-3+ 所以号<<-号<- “F为AB的三等分点， 令BF=1,则1AF1=21, 当且仅当BF=EAF,即AF=号 1 2 十1，BF=√2+1时，等号成立， 图此，2AF|+|BF1的最小值为3+ 中-号<·<- .1 =p 22. [例3]C设B(11)(1>0,y1>0), AB==号p (3)答案64 解析依题意，抛物线y2=16x,p=8. 由题意得，址点B的切线1的方程为 又AB=p = 9 sin a 年sin a 又1的领斜角a=吾 +yy=1, =82 令y=0,可得C(号0）令r=0,可得 =22 3 所以S△nB= 2sin a -=64. 2sin (o). 又Sw-号1Aa. 第十一节圆锥曲线中的综合问题 所以△(OCD的面积S= 1 2 点。-号A 研磨·高考题型 29 IyI 423·1p→p=2. [例1门解(1)设F(c,0),由题设有c= 又点B在精国上，所以号+疗=。 =受。-，解得=2 a a B=号 所以b=√3， 所以S=L 十业2 (2)D不妨令A(xA,A)在第一象限， 故铅周方程为号+苦-1 B(nya)在第四象限，则yAym一一p (2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y L.4=2, =-8,所以p=2E. -(x-4),A(y),B(), =3 当且收当易-兴即有=1 又国为AF=3到BF,所以卷 2时 Iy BI 即|y=3yg,代入yAyB=一8， 等号成立， 可得3y哈=8，由于B在第四象限，则 所以△OCD面积的最小值为2 26 即时训练答案（一1，一1） yB=- 3 由3士412，可得3+4)子 解析设P(z%),A(为)，B为)， 所以y1=26, y=k(x一4)， 则PA,PB的方程分到为华-y-1 所以5Am-之0F1·1%-物 32k2x+64k°-12=0， 则4=1024-4(3+4k2)(64k2-12) 42y=1. -8,3 3 >0,解得-<< 510 又4-6到， 32k2 3十4k2 设直线AN:y-2x+2).BM:y 又|AB|=√+|-3 8mk 石N(停，0)务以直线BN:y 4-2(r-2), 1+42) -4X4m2 1+4k2 ”s(-) 所以十名(2+2) =个+4V2一m+ 1+4k2 xg一2 以x-21-2为 (y2+3)_出2+3y -1/31m+R (ty1-1)3为t一9 1+4k2 +为 9 C到直线AB的距离为：d 52-5 3 1 =3 1-k(1十2)+m-[-(y十为)] 21+2为 √1+ 所以一0=十22一5 3y 所以x=4.故存在定直线x=4,使直线 =|”一十为-k红2+m| 1+图 =(2r-5)+3y2 AN与直线BM的交，点G在定直线上. 2x±-5 [例2]解(1)因为a2=4,所以a=2, √1+ k(x1-4)(2x2-5)+3(x2-4) 又6=1，所以c2=a2-=3,解得c 2x2-5 =√3， 所以S△A √1+ =k21y-5(x1十x)+8 22g-5 所以精国E的的高心幸：- 4m1+E_68m=35为 1+4k2 1+4k2 2 x4-5x (2)设直线AB的方程为y=x+m +42+8 定值 =k 〔y=kx十m, 2ry-5 联立 得(1+4k2)2十 蜂上所连，△ABC的面款是为定值3 128k2-24-160k2+24+32k9 即时训练解(1)由F(4.0),设M 3十4k2 8mk.x+4m2-4=0, (1),N(2),直线MN:x=y 2xg-5 授A(11),B(22),C(为) +4, =0, 8mk 4m2一4 故y1=0,即AQ⊥y轴. 明工十=一1十=1十4e 代入32-y=12,整理拼：(3-1)y +241y+36=0, 即时训练解(1)由题意得 因为原点O为△ABC的重心，所以3= =。-·所以-b 一(x1十x2),y当=一(y1十)， 由#c(号) 2=a2+2, 片以m红=X二 剧为+为兴为 36 设M(1当)V(T22),P(%), -友×知十m十k红2十m 由|MF|=√(x1-4)2+y=24+6, x1十2 同理，|NF=212+6. x()+2m 1 则 =X 六TMF+TNF2+6+2+6 8mk 24(y1+2)+12 a 1+4k 12y为+121(y+)+36 (3)国为原，点O为△ABC的重心，所以 作差得”二当-促·十西 -4812 g· 1十 当直线AB的鲜率不存在时，必有 3r+12 C(-2,0)或C(2,0), 144 当C(一2,0)时，直线AB的方程为x= 十+6 1:当C(2,0)时，直线AB的方程为r= 又MN的斜率k=”二兰 2 器宁为定位 a -1, 将x=一1或者x=1代入椭圆方程，均 另法：由|MF|=√(1-4)2+听= ,kp=兰 求得AB=3, +I1I, 同理，|NF|=√F+1|边|. 62 又点C到直线AB的距离均为3，因此 所以wp一。=l s6度=×万X3-9 由于1为<0，不妨设4>0，地<0， 1 (2)图为2a=4, 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的 雨（分） 所以a=h=2,A(-2,0),B(2.0), 方程为y=kx十m, 1 ,当二当 设直线1：x=1十y,f≠0，M(1y), 8mk +IM业 N(r22). 由(2)知1十=一 1十4， 由(-为)2=(y十为)2-4为为 r=1+1y(1≠0)， 24)24×36_144(P+1) 联立 得(2-1)y2 -4m2-4 x2-y2=4 1十4长3” +21y-3=0, n--(国十)-为-（列 8mk 得为-”=12+ 3-1 (4=162-12>0,12-1≠0，t≠0， -2m 1 -21 所以十为 +为)一1+4k 所以TMF+TNF可=√+ 因为C(x,”)在椭间上，代入椭圈方 12+1 1为行 -3 8mk 1 程可得1十) .31= +(0广= 3为 V+1 36 为 所以1yy= 3(当十业) 3r2-1 2 化简得4m=1十4k2, 定值。 511 (2)由题意：圈的方程为(：一1十)月 (kr1十m)x2十(k2十m).x =2k -3+区√+1)(4+1 k2(4k+1) 2 x12 +(y4整)-)+（为） m(x1十x》=2k -8km2 -2k 2 4 TIX2 4(m2-1)m2-11 V(2+1)(4k2+1) 即x2+y2-(x1十)r-(1十2)y 因为点精十霜=一 2,可得m2=长十 十x12十y1yg=0. 由对称性可知：若存在定点，必在工 1 1,所以k≥一 ++5 =3× 轴上， 又由△>0.可得16(4k2一m2+1)>0,所 令y=0,有r2-(x1+)r十+ <3X 以4k2一4k>0,解得k<0或>1， y132=0. 综上可得，直线（的斜率的取值范围是 由(1)可知x1+x2=1(+y2)十8 -8 31 [-o)u4.+ 当且当一号一士号时取到华号. 即时调练解(D由已知可得， 编上，|QT|的最大值为1， x1g=(1y+4)(t2十4)=产y2十 t(y1+为)+16- +16 S,=Pm·PR·m∠EPE 第九章统计与成对数据的统计分析 =-128-16 =PE,PE2g2=区 第一节随机抽样、统计图表 3r2-1 327+2012 所以PF1I·PF2|=3. 8 夯实·必备知识 代入方程后有：2 32-1 由余孩定理得，PF2+1PF2P一FF产 知识整合 =0. =2IPFI·IPF2|·cos∠FPF2, 1.总体个体样本样本容量 8 所以(PF1+PF21)产 2,抽签法随机数法 即(r2-4)+3r+2)=0, =PF+PF22+2PF.PF2 3.分层随机抽样层 令 口十2=0：即x=一2.故圆过定 =2|PF·IPF,I·cos∠FPF2+ 4.(1)条形图扇形图折线图频率分 x2-4=0 FFI2+2|PF|·PF2 布直方图(2)①极差②组距组数 点(-2,0). =21PF1·1PF2I·(1+cos∠FPF2) ③数据 +|FF2 自我训练 1.(1)×(2)/(3)×(4)J =2×3×(1-号）+(25)2=16， 2.B3.C4.A 所以PF11+PF2|=2a=4, 研磨·高考题型 所以a=2,=a2-2=1. [例1门(1)A从第5行第6到开始向右 北C的方程为号+少=1 读取数据，第一个数为253，第二个数是 313,第三个数是457，下一个数是860， (2)①当1的补率为0或不存在时， 不持合要求，下一个数是736，不符合要 工例3] 1QT=0. 求，下一个是253，重复，则第四个数是 ②当L针率存在且不为0时 007,第五个数是328，第六个数是623. 1(a>b>0)的左焦点坐标为(-√3,0)， 1 (2)C因为从高一、高二、高三抽取的人 根据精圆的定义，可得点M到两焦点的 设ly=kr十m,期OTy=一方 (y=kx十m, 数格好是从小到大排列的连续偏数， 距离之和为√++（-0） 联立 所以设高三抽取的人数为2，则高二抽 +y2=1. 取的人数为2一2，高一抽取的人数为 +=4 消元得：(1+4k)x2+8kmr+4m2-4 2a-4. 即2a=4,所以a=2, =0. 因为样本客量为60，所以2a十2a一2+ 2a-4=60-→2a=22. 又固为c=√3，可得=√a2一=1. △=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4) 设我校高二年级的人数为x, 所以格圈C的方程为号+了=1 -16(4k2+1-7m2)=0, 则m”=42十1. 60 (2)当直线（的斜率不存在时，结合精圈 8km Akm 银据分层物样得：0=2。 2(1+4k2) 1+4k2 2000.故选C. 的对称性可知，kn十m=0,不符合 [y=kx十m, 即时训练(1)BA选项中，挑选出50 题意， 故设直线（的方程为y=kx十m(k≠0）， 联立 1解得x= km y=一 2十即 名最优秀的医生去参加培训，每个人被 A(y),B(2). 抽到的概率不相等，故A错误： B选项中，从10部手机中逐个不放回地 (y=kx+m. T■ +. k2+1 联立方程组 随机抽取2部进行质量检验，是简单随 所以|QT|=√1+·xr-0 机抽样，故B正确： 可得(42十1)x2+8km.x+4(m2-1) =个+k· C选项中，由于被袖取的样本的总体个 =0, + 数是无限的，所以不是简草随机抽样，故 一8km =/小+·km·(e+1D(4k2+D 3 C错误： 4k+1” D选项中，一次注抽取前10箱，每箱被 所以十k=兰+兰 =3/1+· k2m2 抽到的概率不相等，所以不是简单随机 V(k2+1)2(4k2+1) 抽样，故D错误 512金榜题名创新高考总复习数学 [例4](1)已知A,B是过抛物线y2=2px [思维升华] (p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混 是坐标原点，且满足AB=3FB,SAaB= 淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解 1AB1,则1AB的值为 时，焦，点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝 3 角，不能一律当成锐角而漏解。 A号 [即时训练] C.4 D.2 (1)斜率为√3的直线经过抛物线y2=2px (2)已知抛物线方程为y2=2p.x(p>0),O (p>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两 为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛 点，A在第一象限且|AF1=4,则|AB|= 物线于A,B两点，A,B的纵坐标之积为 -8,且|AF=3BF,则△OAB的面积是 (2)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与 () 抛物线交于A,B两点，则2|AF|十BF|的 A.42 B.4 最小值为 c D. 8V3 (3)(2025·长沙模拟)已知抛物线C:y= 3 [尝试解答] 16x,倾斜角为石的直线1过焦点F交抛物 线于A,B两点，O为坐标原点，则△ABO 的面积为 请完成课时作业（七十） 第十一节 圆锥曲线中的综合问题 [课标要求]1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见热点题型有求值、证明问题， 定点、定值问题，范围、最值问题，探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大。 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一求值与证明问题 [尝试解答] [例1】(2024·全国甲卷)已知椭圆C:。 y =1>6>0)的右焦点为F,点M1,)在 C上，且MF⊥x轴. (1)求C的方程： (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点， N为线段FP的中点，直线NB交直线MF 于点Q,证明：AQ⊥y轴. 190 第八章 圆锥曲线 [思维升华] 题型二 定点与定值问题 (1)求值问题即是根据条件列出对应的 [例2] (2025·南京 方程，通过解方程求解。 模拟)已知椭圆E:子 (2)圆锥曲线中的证明问题，主要有两 类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的 +y=1,A,B,C是 位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过 椭圆E上三个不同的 某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明 点，原点O为△ABC的重心 直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或 (1)求椭圆E的离心率； 不等) (2)如果直线AB和直线OC的斜率都存 [即时训练] 在，求证kAB·kc为定值： 已知双曲线C若-若-1(a>0,6>0)的离 (3)试判断△ABC的面积是否为定值，若 是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 心率为√2，过点E(1,0)的直线1与C左、右 [尝试解答] 两支分别交于M,N两个不同的点（异于 顶点) (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP 与直线MN斜率之积(O为坐标原点)： (2)若A,B为双曲线的左、右顶点，且 |AB=4,试判断直线AV与直线BM的交 点G是否在定直线上，若是，求出该定直 线，若不是，请说明理由。 [思维升华] (1)求解直线或曲线过定点问题的基本 思路： ①直线或曲线过定点问题，解法：引入参 变量建立直线或曲线方程，再根据其对参变 量恒成立，令其系数等于零，得出定点 ②由直线方程确定其过定点时，若得到 直线的点斜式方程y一y=k(x一x),则直 线必过定点(x,y);若得到直线的斜裁式方 程y=kx十m,则直线必过定，点(0，m). (2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型 及解题策略： ①求代数式为定值.依题设条件，得出与 代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即 可得出定值， ②求点到直线的距离为定值.利用点到 直线的距离公式得出距离的解析式，再利用 题设条件化简、变形求得 ③求某线段长度为定值.利用长度公式 求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、 变形即可求得. 191 金榜题名创新高考总复习数学 [即时训练] [思维升华] (2025·广州模拟)已知双曲线C:号-盖-1， 圆锥曲线中求解取值范围与最值问题的方法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显 直线I过C的右焦点F且与C交于M,N 体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质 两点。 来解决。 (1)若M,V两点均在双曲线C的右支上， (2)代数法：若题目的条件和结论能体现 求证：MF十NF为定值： 一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再 求这个函数的最值（范围），求函数最值（范 (2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？ 围)的常用方法有配方法、判别式法、基本不 若经过定点，求出定点坐标：若不过定点，请 等式法及函数的单调性法等 说明理由。 [即时训练] (2025·泉州模拟)已知椭圆C,号+若-1 62 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-√3,0)， E(5,0,点P在C上，且c0s∠FPE=-3 △FPF2的面积为2. (1)求C的方程； (2)O为坐标原点，若直线1与C相切与点 题型三范围与最值问题 Q,OT垂直l,垂足为点T,求|QT|的最 [例3)已知F(,0)是椭周C号+若-1 大值 (a>b>0)的一个焦点，点M(3,2)在椭圆 C上. (1)求椭圆C的方程： (2)若直线1与椭圆C相交于A,B两点，且 ka十ks=一2(0为坐标原点)，求直线1 的斜率的取值范围. [尝试解答] 请完成课时作业（七十一）、 必刷小题16、必刷大题17 192