第10节 圆锥曲线中常见结论及应用-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

即时训练(1)C设糖国方程为m.x2十 又直线1过点P(2,1), y2=1(m≠n>0), 所以 所以直线1的方程为6x-y一11=0， 直线r十y十4一0代入椭园方程，消去y +=a+)-5,=8 经检脸此时【与双曲线有两个交点，故 得：(m十n)z2十8m.x十16n-1-0, 选A. △=642一4(16n一1)(m十n)=0,整理， 解得k=√6我k=一√6（舍去）， (y=kx十m, 得m十n=16n. 所以直线PQ为y-√6x-2, (2)解联立 又c=2,焦点在x轴上， 所以5+=2. 3+y=1, 1 x1x2=4, 得(32+1).x2+6mkx+3(m2-1)=0, 所以一】=4，联立解得：m一0n 所以PQ=√1+k·|x1一x1|=√T· 由题设知△=36m2一12(3k2十1)(m 言，故精周方程为后+苦-1，则长仙长 √V(m1+2)2-41x2=2√1M. -1)>0.即m2<3k2+1①， 即时训练答案2 设M(1),N(T2为)，则G十2 为2√/o.故选C 一6加k 2答案（-.- 解桥在能周写+少=1中a=3,6= 32+1n5=36m2-1D 3k2+1 1,则c=2-=22,故点 :P为弦MN的中点 y=1r+2, 解折由2-y=8 去y得：(2一1) F(-22,0), 3mk 2 设点A(y),B(为)，由题意可 Γ32+从而 x2十41x+12=0,由于1与C的右支交于 p十m32+ 不同的两点， 如，直线AB的方程为y=得（十，）， 则直线与双曲线C的两个文点横坐标 脚x=3y-2√2， 又由题意知A(0,一1)，k≠0，m>立： 均为正，且不等， 4=16r2-48(r2-1)>0. 联立x=3y-2区可得12y-46y x2+9y2=9, ∴kw=+1=-m+362+1 3mk 4 -1=0,△=16×6+4×12=144>0. 于是-1>0， :APLMN,别-m+3+1= >0 由书达定理可得1十为=，】 3mk 3为边= 2m=3k2+1②， 起②代入①得2m>m,解得0<m<2. 解得 <<-1, 所以|AB 又m> 所以：的取值范调是（一。-）小 =/+3·W(+为)一y4 故m的取值范国是（受2） [例2]解(1)设点M的坐标为(x,y), =√(）)-4×(-)=2 第十节圆锥曲线中常见结论及应用 因为kM 六w [例3]解(1)因为高心率= ② 研磨·高考题型 所以·kN与4 所以a=2c, 周因为a2=+2,所以6=c. 因为四边形MFNF:的面积为32，所以 2c.① 26c=32,所以b=c=4,a=4V2, 在△F,PF2中，根据椭圆的定义及焦点 所以E的方程为2一兰-1(4士1》 此错国C的艳准方程为豆+若-1. 三角形的面积公式，知S△F所，一仔an (2)当直线PQ的斛率不存在时，显然不 (2)由题意得，直线1的斜率存在. ∠FPF=a+c) 符合题意： 2 设A(1当)，B(x为)，则 中=a+e.2 又a2=+c2,③ +浩- 联立①②③得c=3,4=6,b=33, 两式相减得立+道=0， 所以孩椭国的长抽长为2-2×6=12. 32 16 、即时训练D泛双油线G的方程为二 设P(),Q(2·2),直线PQ的方 程为y=kx-2, 州以的产-一·员 r1x2 因为AB的中点坐标为（一2,1）， 上若=1ua≥04>0时 (y=kr-2, 联立 ，得(4-2)2+4b.x 所以兰器-1.所以直我/的件华为， 则有好十候==行=4-1=3 设椭图C1中41=2,6=1， 8=0, 故直线{的方程为y一1=x十2，即x一y 又四边形AFBF,为矩形， +3=0. 由△=16k2十32(4-k2)>0且4- 所以△AF1F2的面积为 即时训练 (1)A设A(当)，B(.M) ≠0， 房 解得2<8且2≠4， --1 3 片1an45-an4 则 即房=所=1. x1十x4=k2-4 所以a暖=-候=3-1=2. 则 8 x1=-4' 两式相减得直线的斜率为k一当二堂 rI-x3 收双确我G的务心李一导√侵 因为线段PQ的中点D在第一象限，且 3(n+2_3X2=6, 飒坐标为4， 1+2 509 [例2]A知图，：·=0， 因为点P在两条直线上， 即时训练(1)答案 16 所以一=1， 4 解析直线1的倾斜角a=60°， -为为=1 .BA⊥BP令k=k, 这表明，点A,B布在直线 -yoy '∠ADO=∠AOD. =1上， ∴kp=-一km=一k, 又BALBP,∴km=-方· 即直我AB的方程为受-%y=1 依短意m·=仁 1 又%-号+1，代入整理得孕一) 由AF=-os。4 得p=4(1-co8a)=2. (y+1)=0, ◆- 解得/2=一1， :AB=2p=4=16 sin'a 33 y=-1, 即直线AB过定点（一1，-1）. (2)答案3+22 [例4门(1)A如图，不坊令直线AB的领 即时训练D由辅国中的站论，可得 1·m= 斜角为aa∈(0，受) 解析因为P=2,所以A可十BF一 只- 由辅同的离心率的取值范国 所以2AF+|BF (停) 1 =(2AF+BF)·（A+BF】 9<<<<号 1 3 a =3++ (任)< :A3=3Fi. ≥3+√-3+ 所以号<<-号<- “F为AB的三等分点， 令BF=1,则1AF1=21, 当且仅当BF=EAF,即AF=号 1 2 十1，BF=√2+1时，等号成立， 图此，2AF|+|BF1的最小值为3+ 中-号<·<- .1 =p 22. [例3]C设B(11)(1>0,y1>0), AB==号p (3)答案64 解析依题意，抛物线y2=16x,p=8. 由题意得，址点B的切线1的方程为 又AB=p = 9 sin a 年sin a 又1的领斜角a=吾 +yy=1, =82 令y=0,可得C(号0）令r=0,可得 =22 3 所以S△nB= 2sin a -=64. 2sin (o). 又Sw-号1Aa. 第十一节圆锥曲线中的综合问题 所以△(OCD的面积S= 1 2 点。-号A 研磨·高考题型 29 IyI 423·1p→p=2. [例1门解(1)设F(c,0),由题设有c= 又点B在精国上，所以号+疗=。 =受。-，解得=2 a a B=号 所以b=√3， 所以S=L 十业2 (2)D不妨令A(xA,A)在第一象限， 故铅周方程为号+苦-1 B(nya)在第四象限，则yAym一一p (2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y L.4=2, =-8,所以p=2E. -(x-4),A(y),B(), =3 当且收当易-兴即有=1 又国为AF=3到BF,所以卷 2时 Iy BI 即|y=3yg,代入yAyB=一8， 等号成立， 可得3y哈=8，由于B在第四象限，则 所以△OCD面积的最小值为2 26 即时训练答案（一1，一1） yB=- 3 由3士412，可得3+4)子 解析设P(z%),A(为)，B为)， 所以y1=26, y=k(x一4)， 则PA,PB的方程分到为华-y-1 所以5Am-之0F1·1%-物 32k2x+64k°-12=0， 则4=1024-4(3+4k2)(64k2-12) 42y=1. -8,3 3 >0,解得-<< 510金榜题名创新高考总复习数学 第十节圆锥曲线中常见结论及应用 [重点解读]椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时 需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做 到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎 刃而解。 研磨·高考题型 >》 题型一 椭圆、双曲线的常用结论及其 [即时训练] 应用 如图，F,F,是椭圆C:子十y=1与双曲线 命题点1焦点三角形 [例1】(2025·临川模拟)已知椭圆C, C,的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第二、 四象限的公共点.若四边形AF,BF2为矩 形，则C,的离心率是 1(a>>0),其左、右焦点分别为F F:,其离心率为e=2,点P为该椭圆上一 点，且满足∠FPF,=苓，已知△F,PF,的面 A.√2 B.3 积为3(a十c),则该椭圆的长轴长为( A.2 B.4 c. D C.6 D.12 命题点2周角定理 [尝试解答] [例2](2025·石家庄模拟)已知双曲线C: 京一=1(>0，b>0),过原点0的直线 - 交C于A,B两点（点B在右支上），双曲线 右支上一点P(异于点B)满足BA·BP=O, 直线PA交x轴于点D,若∠ADO=∠AOD, 则双曲线C的离心率为 A.2 B.2 C.3 D.3 [思维升华] [尝试解答] 焦点三角形的面积公式：P为椭圆（或双 曲线)上异于长（或实）轴端点的一点，F,F 为其左、右焦点且∠FPF2=0, 则椭圆中S△pr,R=b·tan2, 双曲线中S△PF,B b2 0 tan 2 188 第八章 圆锥曲线 [思维升华 [思维升华 周角定理：已知，点P为椭圆（或双曲线） (1)已知点P(x。,y)为椭圆（或双曲线） 上异于顶点的任一点，A,B为长轴（或实轴） 上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线 端点，则椭圆中kpA·bB=一 ,双曲线中 方程为椭圆中”+=1，双曲线中 b2 b2 kpA·kpB一Q y=1. 62 周角定理的推广：已知A,B两点为椭圆 (2)若点P(x,y)是椭圆（或双曲线）外 (或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为 一，点，过点P(x。,y)作椭圆（或双曲线）的两 椭國（或双曲线）上异于A,B的任一点，则椭 条切线，切，点分别为A,B,则切，点弦AB的直 圆中kN·kB= ,双曲线中·m= 线方程是椭圆中乙0+=1，双曲线中 a b* [即时训练] y义1 已知直线：y=红与精圆：号+ =1 (a>b>0)交于A,B两点，M是椭圆上异于 A,B的一点.若椭圆E的离心率的取值范 围是 2 32 ,则直线MA,MB斜率之积的 [即时训练] 取值范围是 点P为直线：y= 4x+1上一动点，过P A. 2- 2 B(-- 作双曲线-y=1的切线PA,PB,切点 C 2 2 n(-号-) 分别为A,B,则直线AB过定点 命题点3 切线、切点弦方程 题型二 抛物线的常用结论及其应用 与抛物线的焦点弦有关的二级结论 [例3]椭圆C:号+y=1,0为坐标原点， 若倾斜角为a(a≠0，)的直线1经过抛物 点B为C,在第一象限中的任意一点，过B 作C,的切线1，l分别与x轴和y轴的正半 线y2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交 轴交于C,D两点，则△OCD面积的最小 于A(xy),B(x2y2)(y>y2)两点，则 值为 (①)焦半径1AF=x十号=1-osa A.1 B.3 C.√2 D.2 BF1=x,十光-1+6os& [尝试解答] (2)焦点弦长|AB1=x1十x2十p= 2p sin'a (3)S△0AB= 一(O为坐标原点)， 2sin a (4)x1x2= 4y3y=一p2, 1 2 (5)AFT+IBFT- (6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA 为直径的圆与y轴相切. 189 金榜题名创新高考总复习数学 [例4幻(1)已知A,B是过抛物线y2=2px [思维升华] (p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混 是坐标原点，且满足AB=3FB,SAO4B= 淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解 AB1,则AB的值为 时，焦，点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝 3 角，不能一律当成锐角而漏解. A号 B号 [即时训练] C.4 D.2 (1)斜率为√3的直线经过抛物线y2=2px (2)已知抛物线方程为y=2px(p>0),O (p>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两 为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛 点，A在第一象限且|AF1=4,则|AB|= 物线于A,B两点，A,B的纵坐标之积为 -8,且|AF=3BF1,则△OAB的面积是 (2)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与 () 抛物线交于A,B两点，则2AF1十|BF1的 A.4√2 B.4 最小值为 c D 83 (3)(2025·长沙模拟)已知抛物线C:y2= [尝试解答] 16x,倾斜角为石的直线1过焦点F交抛物 线于A,B两点，O为坐标原点，则△ABO 的面积为 请完成课时作业（七十） 第十一节 圆锥曲线中的综合问题 [课标要求]1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见热点题型有求值、证明问题， 定点、定值问题，范围、最值问题，探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一求值与证明问题 [尝试解答] [例1](2024·全国甲卷)已知椭圆C: 1a>b>0)的右焦点为F,点M1,2)在 y C上，且MF⊥x轴. (1)求C的方程； (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点， N为线段FP的中点，直线NB交直线MF 于点Q,证明：AQ⊥y轴. 190