第9节 直线与圆锥曲线的位置关系-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

(2)B直线l:x=1为抛物线y=一4x 法二：（应用射影定理法）由题易得OF 的准线，点P到准线的距离等于点P到 (2)C由抛物线定义可得：6+号=8， 焦点F的距离，过焦点F作直线工十y 解得p一，所以抛物线C的标准方程为 台 4一0的垂线， r2一8y.故选C. 如图所示，当，点P为所作直线与抛物线 PFI-P.IPF2-IOFI.FQI. 的交点时，d1十d2的值最小，为点F到直 即P-号×6，解得p-3或p-0 线x十y一4=0的距离。 (合去)， 所以C的准线方程为x= 2 (2)答案16 4-3-2-1012345x [例3](1)D因为四边形ABCD是 解析易知焦点F的坐标为(4,0)，准线 矩形， 的方程为x=一4，如图，抛物线准线与 -3 所以由抛物钱与国的对称性知，弦AB x轴的交点为A,作MB⊥I于，点B,NC -4 为抛物线y2一2p.r(p>0)的通径， -5 ⊥1于点C, 因为國的半径为1，抛物线的通径为2p: ,F(-1,0), ÷(4+d)n--1+o-l-5 所以有（侵》广+护-1：解释-2华 2 (2)ABC如图所示，分别进点A,B作 [例2])答案9-9：或2- 抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点 9 E,M,连接EF,设抛物线C的准线交r 轴于点P,则|PF一p.因为直线1的纤 解析，点(3，一4)在第四象限，，，抛物 率为，所以其倾斜角为60 线开口向右或向下， AF∥MB∥NC, 设抛物线的标准方程为32=2px(p>0)》 E 或r2=-2p1y(p1>0). 则-MoGN OF 把点(3，-4)的坐标分别代入y2=2pt 和x2=-2p1y中，得(-4)2=2p·3,32 由3-2.得州-号， =-2p1·(-4), 则p-92%-号 9 又1CN1-4.OF1-4. “所求抛物线的标准方程为y=1 DV 所以BM4-号，BM-婴 3 国为AE∥x轴，所以∠EAF-60°， 或2- 由抛物线的定义可知，AE1一AF到， Mr-aM-号-号 (2)答案y-2x 则△AEF为等边三角形， 所以NF|=16. 解析如图，连接DF,设准线与x轴的 所以∠EFP-∠AEF-60°，则∠PEF 交点为M, -30. 第九节直线与圆锥曲线的位置关系 所以AF|=|EF|=2|PF1=2p=8,得 夯实·必备知识 p一1，故A正确： 知识整合 因为|AE|=EF1=2|PF|,且PF 1.>= ∥AE, 所以F为AD的中点，则DF-F,故B 自我训练 正确： 1.(1)/(2)×(3)√(4)/ 抛物线C:y2一2pr(p>0)的焦点为F 图为∠DAE-60°，所以∠ADE=30°， 2.C3.C4.B (号0)准线1--号 所以|BD|-2|BM1-2|BF1,故C 研磨·高考题型 由批物线的定义可得|AF引一|AD, 正确： 又∠DAF一60°，所以△DAF为等边三 国为IBDI=21BF, [例1门①AB直我y一缸-Ek+- 角形， 所以|DF=|AF=2,∠DFM=60°， 所以BF-吉DF1-吉1AF-号 r-四+恒过定点（巨，号）又点 所以在Rt△DFM中，|DFI=2MFI= 故D错误 2p-2, 则p一1，所以抛物线C的方程为y 即时训练(1)答案 (巨，号)在精圈上，故直线与箱圈可能 -2x. 解析法一：（解直角三角形法）由题易 相变也可能相切 即时训练(1)B由题可知，抛物线开 口向上，设方程为r=2py(p>0), 得OF-台，PFl-p,∠OPF-∠PQF, (2)双曲线的一条浙近线为y一a工 设抛物线的焦点为(0，号)，则准线为 所以tnn∠OPF=tan∠PQF 图为直线y=工与双曲线无公共点，故有 OFPFI 长+(-9) 所以2一=一号，解得=6, 解得p-3(p=0舍去)， --2-1≤1， a 所以抛物线C的方程为x”-12y 所以C的准线方程为工一一是 所以e2≤2，所以1<e≤E 508 即时训练(1)C设椭國方程为mx2十 又直线l过点P(2,1), #y2-1(m≠n>0), 所以 所以直线1的方程为6.r一y一11-0， 直线x十y十4=0代入椭园方程，消去y 16 得：(m十n)2+81.x+16n-1-0, +为-十)-4二-8 经检验此时！与双曲线有两个交点，故 选A. △一64一4(16一1)(m十n)一0，整理， 解得k一石或k一一后（舍去）， (y=kx十m, 得m十1=16mn, 所以直线PQ为y一√石x一2， (2)解联立」 又e一2，焦点在x轴上， 所以凸+-2， 3+-1, 所以1一-4，联立解得：m一0n一 1 x1g=4, 得(3k2+12+6mkx+3(m2-1)-0. 所以PQ一1+·1一|一厅· 由题设知△=36rk一12(3k2+1)(m 言故箱周方程为后+苦-1，别刷长物长 /(1十x2)-4x1x2=2/1M. -1)>0,即m2<3+1①， 即时训练答案2 设Mx1y),N(y),则工1十工= 为2/⑥，救选C ②答案（--) 解折在脑国号十护-1中a-3,6- 362+155-3(m2-) 一6mk 3k2+1 1,则c=√a-F=2E,故点 :P为弦MN的中点， /y=tx+2, 3mk 解析由2一y2-8 去y得：(-1) F(-2E,0)· 2 3张+·从而” 设点A(工y),B(西为)，由题意可 2十41.x十12=0，由于l与C的右支交于 krp十m- 3+1' 不同的两点， 如重线B的方框角y一号(2@) 则直线！与双曲线C的两个交点横坐标 即x=/5y-2√E, 又由题意知A(0,一1)，k≠0，m>立· 均为正，且不等， 4=162-48(2-1)>0, 联主2E可得12y-4万y 1x2+9y2=9, kp=+1--m+3+1 p 3mk 于是>0 -1=0,4=16×6+4×12=144>0, :AP⊥MN,则-m+3+1= 由书达定理可得片+为一压，】 3mk >0 3·y3= 2m-3k+1②， E<-1 - 把②代入①得2m>m2,解得0<m<2, 解得一 1 所以|AB| 所以：的取值范爵是（一。-）小 =/+3·√/(+为)-4为 故m的取值范国是（分2）： [例2]解(1)设点M的坐标为(x,y), -√()-x(-)-2 第十节圆锥曲线中常见结论及应用 因为w产m齐 y [例3]解 (1)因为离心率e-二 2 研磨·高考题型 所以w·w一与一 所以a-2c, 国为a2=b+2,所以b=心 [例1D由=得-，中a a 化简得一兰-1 图为四边形MFNF的面积为32，所以 2c.① 2bc=32,所以b=c=4a=42, 在△F,PF。中，根据椭固的定义及焦点 所以E的方程为r2- -1(x≠土1). 故相圆C的标准方程为克+后-1 三角形的西积公式，知S△F,所，一an (2)当童线PQ的斜率不存在时，显然不 (2)由题意得，直线1的斜单存在. ∠EPE-B(a+0 2 符合题意： 设A().B(2),则 +器-… 5=5u+e.@ 又2=+c2,③ 联立0①②③得e=3,a=6,b=35, 两式相减得+一道-0， 所以该椭园的长轴长为2a一2×6一12 32 16 设P(x1)Q(形为)，直线PQ的方 即时调练D量双曲我6的方根为号 程为y=kx一2， g=1(a2≥0,4>0). 2--1.4-)r+ (y-kr-2, 图为AB的中点坐标为（一2,1）， 联立 所以曾器-1，将以直线的韩车有 则有+房---4-1-3. 设箱画C中，a1-2,b-1, 8=0, 故直线1的方程为y一1=x十2，即x一y 又四边形AFBF为矩形， 由△-162十32(1-k2)>0且4-2 十3=0. 所以△AF1F,的面积为 即时训练 (1DA设A(五1)，B(1为)· ≠0， 解得2<8且≠4， --1 3 6片tan45-n1G 则 即场=所=1. 十x4--4 所以喝=-候=3-1=2. 则 8 工=2-4 两式相减得直线的纤率为一当二当 TI-2 就双南找G的高心本一后√写 因为线段PQ的中点D在第一象限，且 纵坐标为4， 3(+42-3X2-6, ”+y2 1 509第八章 圆锥曲线 (2)(多选)已知抛物线C:y=2px(p>0)的 [思维升华] 焦点为F,直线L的斜率为√3且经过点F,与 应用抛物线的几何性质解题时，常结合 抛物线C交于A,B两点（点A在第一象 图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线 限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF 的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现 =8,则以下结论正确的是 ( 了数形结合思想解题的直观性， A.p=4 B.DF=FA [即时训练] C.BD=2 BF D.|BF|=4 (1)已知O为坐标原点，抛物线C:y=2px [尝试解答] (p>O)的焦点为F,P为C上一点，PF与x 轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若 |FQ1=6,则C的准线方程为 (2)已知F是抛物线y2=16x的焦点，M是 抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点 N,若3FM=2M,则1NF1= 请完成课时作业（六十八） 第九节 直线与圆锥曲线的位置关系 [课标要求]1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长 公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题 夯实·必备知识 ■ 知识整合 【常用结论】 1.直线与圆锥曲线的位置判断 1已知M,N是椭圆C:号+芳 =1(a>b>0) 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 上的两点，点O为坐标原点，且P是M,N (或x),得到关于x(或y)的一元二次方程， 的中点，则kMN·kop=一 则直线与圆锥曲线相交台△ 0;直线 与圆锥曲线相切台△ 0;直线与圆锥 2.若曲线为双曲线，其余条件不变，则k心· 曲线相离台△ 0. 2.弦长公式 3.若曲线为抛物线，P(xo,y。)为弦MN的中 已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率 点：k=卫（开口向右），k=一卫（开口 为k(k≠0)， ya yo 则AB|=√(-x2)+(y-y2)月 向左)，k=(开口向上)，kn=一（开 =√1+k21x1-x2 口向下). =√/1+k√(x1十x2)-4x1x2' 自我训练 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 或1AB11+1y一为 “/”或“X”) (1)过点(1,2)的直线一定与椭圆+y=1 1++-4 相交， 185 金榜题名创新高考总复习数学 (2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直 3.已知直线l:y=x一1与抛物线y2=4.x交于 线与抛物线相切 ( A,B两点，则线段AB的长是 (3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲 A.2 B.4 线有公共点 C.8 D.16 (4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短 的弦. 4.过点M1,1D的直线与椭圆+号=1交于 之.直线y=kx+2与椭圆写+号 A,B两点，且点M平分弦AB,则直线AB 2 =1有且只有 的方程为 一个交点，则k的值是 A.4x+3y-7=0 B.3.x+4y-7=0 A.6 B.-6 C.± 3 D. 3 C.3x-4y+1=0 D.4x-3y-1=0 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 [即时训练] [例1](1)（多选）直线y=kx-2k+5与 (1)(2025·广州模拟)已知以F1(一2,0)， 21 F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x十y十4=0 椭圆等十号-1的位置关系可能为( 有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为 A.相交 B.相切 A.3√2 B.26 C.相离 D.有3个公共点 C.210 D.42 (②)（多选）已知直线y=x与双曲线号 y (2)已知直线l:y=tx十2和双曲线C:x2 y=8,若1与C的右支交于不同的两点，则 =1(a>0,b>0)无公共点，则双曲线的离心 t的取值范围是 率可能为 ( 题型二弦长问题 A.1 B.√2 [例2]已知O为坐标原点，A(1,0),B(一1， cs D.3 0),直线AM,BM的斜率之积为4，记动点 M的轨迹为E. [尝试解答 (1)求E的方程： (2)直线1经过点(0，一2)，与E交于P,Q 两点，线段PQ的中点D在第一象限，且纵 坐标为4，求PQ. [尝试解答] [思维升华] (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直 线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线 平行. (2)直线与抛物线只有一个交点包含直 线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平 行（或重合）. 186 第八章 圆锥曲线 [思维升华] [思维升华] (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 两点的弦长都可以用弦长公式求 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥 (2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简 曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次 捷的弦长公式|AB引=x1十x2十p. 方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式 (3)设直线方程时应注意讨论是否存在 求解。 斜率。 (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点 [即时训练] (弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将 已知椭圆号+了=1，过左焦点下作倾斜角 这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对 所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和 为否的直线交椭圆于A,B两点，则弦AB的 直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少 计算量 长为 [即时训练] 题型三 中点弦问题 (1)(2025·聊城模拟)过点P(2,1)的直线1 [例3] (2025·衡水模拟)已知椭圆C, 与双曲线x2-首=1相交于A,B两点，若 兰=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F, P是线段AB的中点，则直线l的方程是 ( R,离心率为受，短轴顶点分别为M,N,四 A.6x-y-11=0 B.6x+y-13=0 边形MF,NF2的面积为32. C.2x-3y-1=0 D.3.x-2y-4=0 (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知椭圆C:号+y=1,A为椭圆的下 (2)直线l交椭圆C于A,B两点，若AB的 顶点，设椭圆C与直线y=kx+m 中点坐标为(-2,1)，求直线1的方程. [尝试解答] （≠0，m>)相交于不同的两点M,N,P 为弦MN的中点，当AP⊥MN时，求m的 取值范围。 请完成课时作业（六十九） 187