第8节 抛物线-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

PA+PF=PA+PF,+2a, 将r=一c代入 =1,可得y= 所以5e2-a2·a≥22，即25(2 当A,P,F2三点共线时，PA+PF2 a2)·a2≥4c, +2a取最小值，最小值为AF2|十2a,脚 a 5+2a, 即4d-25c+25<0,解得<2<5， 所以5+2a≥13，即a≥4. 故在R1△AFE中，AF 又e>1,所以∈ 因为c=26,所以r==26≤6 +c, aa 2 :∠AEF<45°，|AF<FE, 第八节 抛物线 夯实·必备知识 即时训练 A△MF,F的面积为 化简整理，得2a2-2+ac>0, 知识整合 EF·w ∴2-e-2<0,∴.-1<e<2 1.相等焦点准线 又e>1,.1<e<2. 即时训练C设椭圆C的右焦，点为 2.x轴y轴(0,0)1 因为△MF,F:的内切国丰径为： F,连接AF,如图所示， 自我训练 1.(1)×(2)×(3)√(4)/ 所以△MFF:的西积可表示为号(2a十 2.B3.A 2)· 研磨·高考题型 [例1](1)A因为圆O:.+y2=4与y 所以号·2xw=号(2a+2 1 轴交于A,B两点(A在B的上方)， 由椭园的性质得，AF∥BF,∠FAF 所以A(0,2),B(0,-2), 解得w=“安 又因为过B作圆O的切线/， 2 周为w<6,所以告<b 所以切线1的方程为y=一2. 即裤国上存在点A,满足∠FAF=吾， 因为动点P到A的距离等于P到【的 两边平方得（生）<. 即以FF为直径的国与椭圆有公共点， 距离， 所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点 又因为2=a2-c2,整理得52+2ac 设精圆C的半焦距为c(>0), 所以只常c≥b,即c2≥a2-2,即e 为(0,2)，准线为y=一2， 3a2≤0. 所以P的轨迹方程为x2=8y.故选A. 因为=石，不等式两边同时膝以口，得 (2)D如图所示，过点M作准线【的垂 52+2-3<0,标得-1<<号 又0C1,所以号<1 线，是足为E, 所以椭圆C的离心率的取值范国为 又辅国C的离心率e∈(0,1)， 所以猫国C的离心率的取值范围 [ 为(o] 例3]D如图所示，因为线段PF的中 yA4,-2 垂线过F2, [例2](1)D设椭闭E的长半轴长、短 半轴长，半焦距分别为a,b,,由题意知a 由抛物线定义，知MF=ME, =1,b=√1-m2,c=m, 0 当M在相物线上移动时，IME十|MA 辅国E上存在点P满足OP=m,等价 的值在变化，过点A作y抽的垂线，交担 于以O为原点，以心为半径的圆与描圈 物线于点M, 有交点，得c≥b .FF:=PF2=2c. 显然当M移动到M时，A,M,E三点共 所以2≥：=2·解得后≥2， 又Qr1=2-e 线，MEI+|MA最小， 且|PF2|≥QF2I, 此时AM∥x轴，把y=一2代入y= 故2r≥a2 6,即3>，故> 8得=之 所以箱圆E的离心率的取值范国 所以当|MA|十|MF|取最小值时，点M 为[号) 又01片以g<4 的坐标为（分-2） (2)B由题意可知|AE|=|BE1,即 即时训练B依避意得直线AB:石十 即时训练(1)C由题设，抛物线焦点 △ABE为等腰三角形， -1… F(1,0),准线为x=一1，故d=|PF1, 即ar十ay-ub=0,义a>2, 所以4=2h-aL=(a-2 a2+√a+ h=-26-ah- b(a+2) Va+丽 √+丽 -10 所以山十山2= b(a-2)+b(a+2) Va+b √a+ 如图：d+|PA|=|PF|+|PA|≥ △ABE是锐角三角形。 2ab 4 |AF|=3,仅当F,P,A共线且P在F, .∠AEB<90°，.∠AEF<45, c≥5 A两点之间时等号成立，故速C 507 (2)B直线1：.x=1为抛物线y2=一4.x (2)C由抛物线定义可得：6+号=8. 法二：（应用射影定理法）由题易得OF 的准线，点P到准线的距离等于点P到 焦点F的距离，过焦点F作直线x十y 解得P=4,所以抛物线C的标准方程为 分 4=0的线， x2=8y.故选C. 如图所示，当，点P为所作直线与批物线 PF1=p,|PF12=OF·IFQ, 的交点时，d山十d的值最小，为点F到直 线x十y一4=0的距离 即pP-号×6，解得p-3或p-0 (舍去)， 3 所以C的准线方程为x=一豆 2 (2)答案16 古-$-2当扣23451 [例3](1)D因为四边形ABCD是 解析易知焦点F的坐标为(4,0)，准线 矩形， 【的方程为x=一4，如图，抛物线准线与 -3 所以由抛物线与国的对称性知，弦AB x轴的交点为A,作MB⊥【于，点B,NC 4 为抛物线y2=2pz(p>0)的通径， -5 ⊥I于点C, 因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p, F(-1,0), (d+d)m=1-1+0-4=5v2 所以有（）'+=1解得p=2 2 (2)ABC如图所示，分别过点A,B作 [例2](D答案y=9:成2= 抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点 9 E,M,连接EF,设批物线C的准线交z 一4y 轴于点P,则PF引=力.国为直线1的韩 解析，点(3，一4)在第四象限，，抛物 率为√5，所以共倾斜角为60. 线开口向右或向下， AF∥MB∥NC, 设抛物线的标准方程为y2=2pr(p>0) 或x2=-2p1y(p1>0). 则-oCN OF 把点(3，一4)的坐标分别代入y2=2pr 和x2=-21y中，得(-4)2=2p·3,3 由3动=2本.得-是 =一21·（一4）， 则20=92=2 9 又CN1=4,OF1=4, 所求抛物线的标准方程为少=碧： 所以BM-=号BM-号， 4 因为AE∥x轴，所以∠EAF=60°， 或- 由抛物线的定义可知，AE=AF引， INr=aN=号，-号 (2)答案y2=2x 则△AEF为等边三角形， 所以|NF|=16. 解析如图，违楼DF,设准线与x轴的 所以∠EFP=∠AEF=60°.则∠PEF 交点为M, =30°， 第九节直线与圆锥曲线的位置关系 所以|AF1=|EF|=2|PF1=2p=8,得 夯实·必备知识 p=4,故A正确： 知识整合 因为IAE=|EF|=2|PF|,且PF 1.>= ∥AE, 所以F为AD的中点，则D亦=FA,故B 自我训练 正确； 1.1)/(2)×(3)、W(4)/ 批物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F 图为∠DAE=60°，所以∠ADE=30°， 2.C3.C4.B (台，0）准线14r=-号 所以|BD|=2|BM|=2|BF1,故C 研磨·高考题型 由抛物线的定义可得|AF引=|AD, 正确： 又∠DAF=60°，所以△DAF为等边三 周为BD=21BF, 例】AB直线y=灯一+ 角形， 所以DF1={AF=2,∠DFM=60°， 所以BF=DF=1AF=号， r一②)+恒注定点（巨，受）又点 所以在Rt△DFM中，DF=21MFI= 故D错误 2p=2, 则p一1，所以抛物线C的方程为y 即时训练(1)答案 =- (厄，号)在箱圈上，故直线与格国可能 =2x. 解析法一：（解直角三角形法）由题易 相交也可能相切 即时训练(1)B由题可知，抢物线开 b 口向上，设方程为x2-2py(p>0), 得OF=专，PF=p,∠OPF=∠PQr, (2以双询线的一条渐近线为y一。1， 设抛物线的焦点为(0，号），则准线为 所以tan∠OPF=tan∠PQF. 因为直线y=工与双曲线无公共点，故有 y=-乞 +(-9) 所以 解得p=3(p=0舍去)， 小=二“三2一1≤1 a 3 所以抛物线C的方程为x°=12y. 所以C的准线方程为工=一 所以e2≤2，所以1<e≤2 508第八章 圆锥曲线 第八节 抛物线 [课标要求]1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质（范围、 对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 3.设抛物线方程为y2=2px(p>0),准线x= 1.抛物线的概念 与x轴相交于点P,过焦点F(0)的 把平面内与一个定点F和一条定直线1(1 直线l与抛物线相交于A(x,y),B(x2,y2) 不经过点F)的距离 的点的轨迹叫 两点，O为原点，a为AB与对称轴正向所成 做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直 的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB|= 线（叫做抛物线的 注意：定，点F不在定直线I上，否则动点M 1+Rx-xAB1+是M-, 的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直 |AB|=x1+x2十p,lAB= 2p 线l的一条直线， sin a 2.抛物线的标准方程和简单几何性质 自我训练 标准 y=2pr y2=-2px x2=2py =-2py 1,判断下列结论是否正确.（请在括号中打 方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) “/”或“X”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线！的 图形 距离相等的点的轨迹是抛物线 ) (2)方程y=4x表示焦点在x轴上的抛物 线，焦点坐标是(1,0) 范围 t≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R v0,x∈R (3)标准方程y=2px(p>0)中的p的几何 焦点 (. (0.) 意义是焦点到准线的距离。 () 准线 (4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2= y 方程 士2py(p>0),也可以写成y=a.x2,这与以 对称轴 前学习的二次函数的解析式是一致的. ( 顶点 2.已知抛物线y2=4x上一点P到y轴的距 离心率 离为2，焦点为F,则PF= 【常用结论】 A.2 B.3 1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. C.5 D.22 2.抛物线y2=2p.x(p>0)上一点P(xo,yo)到 3.直线y=k(x一1)+2与抛物线x2=4y的位 置关系为 焦点F号0)的距离PF=x,十台，也称为 A.相交 B.相切 抛物线的焦半径. C.相离 D.不能确定 183 金榜题名创新高考总复习 数学 研磨·高考题型 》 题型一抛物线的定义及应用 题型二 抛物线的标准方程 [例1](1)(2025·江西模拟)设圆O:x+y [例2](1)抛物线过点(3，一4)，则抛物线的 =4与y轴交于A,B两点(A在B的上 标准方程为 方)，过B作圆O的切线I,若动点P到A (2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 的距离等于P到！的距离，则动点P的轨迹 F,准线为I,点A是抛物线C上一点，ADL 方程为 ( l于D.若AF=2,∠DAF=60°，则抛物线C A.x=8y B.x2=16y 的方程为 C.y2=8.x D.y2=16.x [尝试解答] (2)已知A(4,一2)，F为抛物线y2=8.x的 焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|十 MF取最小值时，点M的坐标为 A.(0,0) B.(1,-2√2) C.(2,-2) D.(侵-2 [思维升华 [尝试解答] 求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法. (2)待定系数法：当焦点位置不确定时， 分情况讨论。 [即时训练] [思维升华]一 (1)抛物线C的焦点F关于其准线对称的 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准 点为(0，一9)，则抛物线C的方程为() 线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简 A.I2=6y B.x2=12y 捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形 C.x2=18y D.x2=36y 结合”是灵活解题的一条捷径。 (2)(2025·成都三模)若抛物线C:x2=2py [即时训练] (p>0)上的点P到焦点的距离为8，到x轴 (1)(2025·兰州模拟)F是抛物线y2=4x 的距离为6，则抛物线C的标准方程是 的焦点，点A(1,3),P为抛物线上一点，P ( 到直线x=一1的距离为d,则d+PA的 A.x2=4y B.x2=6y 最小值是 C.x2=8y D.x2=16y A.2 B.1+2 题型三 抛物线的几何性质 C.3 D.1+√/3 [例3] (1)(2025·兰州模拟)已知圆x2+y (2)已知点P为抛物线y2=一4x上的动 =1与抛物线y=2px(p>0)交于A,B两 点，设点P到l:x=1的距离为d1,到直线 点，与抛物线的准线交于C,D两点，若四边 x+y一4=0的距离为d2,则d1十d2的最小 形ABCD是矩形，则p等于 值是 A.2 R受 B号 25 C.2 D.2 C52 2 0. 184 第八章 圆锥曲线 (2)(多选)已知抛物线C:y=2px(p>0)的 [思维升华] 焦点为F,直线L的斜率为√3且经过点F,与 应用抛物线的几何性质解题时，常结合 抛物线C交于A,B两点（点A在第一象 图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线 限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF 的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现 =8,则以下结论正确的是 ( 了数形结合思想解题的直观性， A.p=4 B.DF=FA [即时训练] C.BD=2 BF D.|BF|=4 (1)已知O为坐标原点，抛物线C:y=2px [尝试解答] (p>O)的焦点为F,P为C上一点，PF与x 轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若 |FQ1=6,则C的准线方程为 (2)已知F是抛物线y2=16x的焦点，M是 抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点 N,若3FM=2M,则1NF1= 请完成课时作业（六十八） 第九节 直线与圆锥曲线的位置关系 [课标要求]1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长 公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题 夯实·必备知识 ■ 知识整合 【常用结论】 1.直线与圆锥曲线的位置判断 1已知M,N是椭圆C:号+芳 =1(a>b>0) 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 上的两点，点O为坐标原点，且P是M,N (或x),得到关于x(或y)的一元二次方程， 的中点，则kMN·kop=一 则直线与圆锥曲线相交台△ 0;直线 与圆锥曲线相切台△ 0;直线与圆锥 2.若曲线为双曲线，其余条件不变，则k心· 曲线相离台△ 0. 2.弦长公式 3.若曲线为抛物线，P(xo,y。)为弦MN的中 已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率 点：k=卫（开口向右），k=一卫（开口 为k(k≠0)， ya yo 则AB|=√(-x2)+(y-y2)月 向左)，k=(开口向上)，kn=一（开 =√1+k21x1-x2 口向下). =√/1+k√(x1十x2)-4x1x2' 自我训练 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 或1AB11+1y一为 “/”或“X”) (1)过点(1,2)的直线一定与椭圆+y=1 1++-4 相交， 185