第7节 离心率的范围问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

[例习D方框六二1表 则|FA1=hc 则圆心(2,3)到渐近线的距离 =b, 厅十a2 示双曲线，则(m-5)(2m-8)>0,解 d=l2x2-3到=5 得m>5或m<4.故选D. 所以|OA|=√OF2-F2A下= 22+7 2-=a, (2)答案 所以孩长1AB1=2V-=，√1- 解析由题意可设双曲钱方程为号 所以S,=之b -46 因为△AE,:的面积为立c,SA 5 荐=1(a>0,b>0),樵距设为2c, 3+5 -2S△wF:' (2)答案 2 由题意可知所求双曲线的两焦点为 解析因为直线1过点(0，b)和双曲线E F1(-4,0),F2(4,0),故2c=8,c=4, 的右焦点F(c,0), 又双曲线上的点到点F,(一4,0)， F,(4,0)的距离的差的绝对值等于6， 所以2+=，降g-3故台=后。 a 设直线1的方程为二十名=1，即缸+ 故2a=6a=3,所以=c2-a2=7, 所以双曲线C的渐近线方程为y=士 cy-bc=0, 收双由线准方程为号一苦-1 √3x 由直线1与国x2十y2=a2相切，可得 [例4](1)C :双曲线三 =1 I-bc 即时训练(1)D由题意可知该双曲线 =4, √0+c2 的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在 (0>>0)的新近线方程为y=士么r, a 整理得22-a2(2十c2), 该双曲线上， 又2=2-a2,所以(2-2)2=a2(22 设读双曲线的标准方程为二 =1 六由双曲线 a 京=1(a>b>0)两条 -a2). 近线的夫为，了得-m吾 即c-3u2C十a=0, (a>0,b>0), 2a=4, a=2. 所以（后）广-3（台）'+1-0即 则4232 ，解得 a =1.1 b=. 3e2+1=0, 战孩双南我的据准方程灵号-苦一1 .双曲线的离心率为e= 解得2-3+5或2=3二5 2 2 (2)C箱圈C的焦，点坐标为(0，士2)， -2B.故选C 31 又>1，所以2>1，所以2=3+5 2 设双陶线的标准方程为兰 =1(a> (2答案是 第七节 离心率的范围问题 0.b>0). 解析由题可知A,B,F三点横坐标相 由双曲线的定义可得 研磨·高考题型 2a=W12+(3+2)2-√12+(W5-2)1 等，设A在第一象限，将x=c代入 [例1门(1)C不妨设PF11=m,|PF2 =(6+②)-(6-√2)=22. =n(m>H). 描圆的长半轴长为1·双曲线的实半轴 a=2, c=2,b=e2-a2=√2， 得y-±发即A(告)B(,-后）) 长为a世，两曲线的半焦距均为c, 由橘国及双曲线的定义得m十m=2a1,m 圆此双南线的方程为学一营- 故1AB-2g=10AF,1-2-5 一n=22,于是m=41十42n=41一ag a [例3]（1)A由二-兰-1得双曲线的 又在△PF1F中，由余弦定理得 又|AF,|-|AF2|=2a,得|AF,|= |AF|+2a=2a+5=13,解得a=4,代 m2+n2-2 mncos60°=4c2→(a1+a2)月 南延我方程为=士台 人公=5得=20， +(a1-a2)2-(a1+aa)(a1-a2)=42, a ,双曲线的离心率为2， =a+ 故2=a2+2=36,即c=6,所以e= C a V1+ =2,解得 3 63 由基未不等式得4一言+量≥隔 b=8 42· % →%≥号当且仅当1=号 2 双曲线的渐近线方程为y=士江.故 时，等号成立， 选A. 所以柄园与双曲线离心率之叔的景小值 (2)答案y=土3x 解析由题意知，双曲线C的渐近线方 程为y=士女， 案(.] 知图，由双曲线的对称性，不妨取y一 即时训练(1)D由题知e=,5, 解析由右焦，点为F(2√6,0)，点A的坐 即b.x-ay=0: 导--1+号-6 标为(0,1)，可得1AF=24+1=5. a 因为△APF的周长不小于18，所以|PA 解得么一2. 十PF1的最小值不小于13， 所以双曲线的一条新近线不妨取y 设F:为双曲线的左焦，点，可得引PF= 2x,即2x一y=0, PF2+2a, 506 PA+PF=PA+PF,+2a, 将r=一c代入 =1,可得y= 所以5e2-a2·a≥22，即25(2 当A,P,F2三点共线时，PA+PF2 a2)·a2≥4c, +2a取最小值，最小值为AF2|十2a,脚 a 5+2a, 即4d-25c+25<0,解得<2<5， 所以5+2a≥13，即a≥4. 故在R1△AFE中，AF 又e>1,所以∈ 因为c=26,所以r==26≤6 +c, aa 2 :∠AEF<45°，|AF<FE, 第八节 抛物线 夯实·必备知识 即时训练 A△MF,F的面积为 化简整理，得2a2-2+ac>0, 知识整合 EF·w ∴2-e-2<0,∴.-1<e<2 1.相等焦点准线 又e>1,.1<e<2. 即时训练C设椭圆C的右焦，点为 2.x轴y轴(0,0)1 因为△MF,F:的内切国丰径为： F,连接AF,如图所示， 自我训练 1.(1)×(2)×(3)√(4)/ 所以△MFF:的西积可表示为号(2a十 2.B3.A 2)· 研磨·高考题型 [例1](1)A因为圆O:.+y2=4与y 所以号·2xw=号(2a+2 1 轴交于A,B两点(A在B的上方)， 由椭园的性质得，AF∥BF,∠FAF 所以A(0,2),B(0,-2), 解得w=“安 又因为过B作圆O的切线/， 2 周为w<6,所以告<b 所以切线1的方程为y=一2. 即裤国上存在点A,满足∠FAF=吾， 因为动点P到A的距离等于P到【的 两边平方得（生）<. 即以FF为直径的国与椭圆有公共点， 距离， 所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点 又因为2=a2-c2,整理得52+2ac 设精圆C的半焦距为c(>0), 所以只常c≥b,即c2≥a2-2,即e 为(0,2)，准线为y=一2， 3a2≤0. 所以P的轨迹方程为x2=8y.故选A. 因为=石，不等式两边同时膝以口，得 (2)D如图所示，过点M作准线【的垂 52+2-3<0,标得-1<<号 又0C1,所以号<1 线，是足为E, 所以椭圆C的离心率的取值范国为 又辅国C的离心率e∈(0,1)， 所以猫国C的离心率的取值范围 [ 为(o] 例3]D如图所示，因为线段PF的中 yA4,-2 垂线过F2, [例2](1)D设椭闭E的长半轴长、短 半轴长，半焦距分别为a,b,,由题意知a 由抛物线定义，知MF=ME, =1,b=√1-m2,c=m, 0 当M在相物线上移动时，IME十|MA 辅国E上存在点P满足OP=m,等价 的值在变化，过点A作y抽的垂线，交担 于以O为原点，以心为半径的圆与描圈 物线于点M, 有交点，得c≥b .FF:=PF2=2c. 显然当M移动到M时，A,M,E三点共 所以2≥：=2·解得后≥2， 又Qr1=2-e 线，MEI+|MA最小， 且|PF2|≥QF2I, 此时AM∥x轴，把y=一2代入y= 故2r≥a2 6,即3>，故> 8得=之 所以箱圆E的离心率的取值范国 所以当|MA|十|MF|取最小值时，点M 为[号) 又01片以g<4 的坐标为（分-2） (2)B由题意可知|AE|=|BE1,即 即时训练B依避意得直线AB:石十 即时训练(1)C由题设，抛物线焦点 △ABE为等腰三角形， -1… F(1,0),准线为x=一1，故d=|PF1, 即ar十ay-ub=0,义a>2, 所以4=2h-aL=(a-2 a2+√a+ h=-26-ah- b(a+2) Va+丽 √+丽 -10 所以山十山2= b(a-2)+b(a+2) Va+b √a+ 如图：d+|PA|=|PF|+|PA|≥ △ABE是锐角三角形。 2ab 4 |AF|=3,仅当F,P,A共线且P在F, .∠AEB<90°，.∠AEF<45, c≥5 A两点之间时等号成立，故速C 507第八章 圆锥曲线 (2)(2024·新课标I卷)设双曲线C: [即时训练] 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 (1)已知双曲线C:一京 多=1(a>0,b>0) 的离心率为√5，C的一条渐近线与圆(x一2)+ F,,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B 两点，若|F1A|=13,|AB=10,则C的离 (y一3)2=1交于A,B两点，则|AB等于 心率为 [尝试解答] A R25 C3 5 D.4/5 5 [思维升华] 2)(2025·海口模拟)设双曲线E-常 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线 的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c =1(a>0,b>0)的离心率为e,直线l过点 的方程或不等式，利用c2=a2十6和e=C转 (0,b)和双曲线E的一个焦点，若直线1与 a 圆x2+y2=a2相切，则e2= 化为关于e的方程（或不等式），通过解方程 请完成课时作业（六十六） (或不等式)求得离心率的值（或范围） 第七节 离心率的范围问题 [重点解读]圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转 化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁， 研磨·高考题型 > ■ 题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率的 [尝试解答] 范围 [例1](1)(2025·德阳模拟)已知F,,F2为 椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个 公共点，∠FPF2=60°，则椭圆与双曲线离 心率之积的最小值为 ( A.2√3 B.1 [思维升华] c 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的 D.2 定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于 a,b,c的不等式或不等式组求解，要注意椭 02西·襄阳模拟)已知双曲线 圆、双曲线离心率自身的范围 号1(a>0,6>0)的右焦点为F(26,0 [即时训练] 点A的坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上 (2025,宁波模拟)已知椭圆C,号+芳-1 的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲 (a>b>0)的左、右焦点分别为F(一c,0), 线C的离心率的取值范围为 181 金榜题名创新高考总复习数学 F2(c,0),若椭圆C上存在一点M,使得 A,B满足FA⊥FB,且A,B,O三点共线， △MF,F,的内切圆的半径为)，则椭圆C的 则椭圆C的离心率的取值范围为() 离心率的取值范围是 A.(0,1) A(,别 Bo】 c[ D[ n[传 题型三 利用几何图形的性质求离心率的 范围 题型二 利用圆锥曲线的性质求离心率的 范围 [例3] 设正，分别是椭圆后+芳 =1(a>b [例2] (1)(2025·张掖模拟)若椭圆E:x2+ >0)的左、右焦点，若在直线x=④上存在 =1(0<m<1)上存在点P,满足|OP 1-m 点P,使线段PF,的中垂线过点F2,则椭圆 =m(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率的 离心率的取值范围是 取值范围为 Ao2引 B.[z) A0,] B.o.] c.o. c[ [尝试解答] (2)已知点F是双曲线一y 63 =1(a>0, b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点， 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A,B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双 曲线的离心率e的取值范围是 [思维升华] A.(1,+o∞)》 B.(1,2) 利用几何图形中几何量的大小，例如线 C.(2,1+√2) D.(1,1+√2) 段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的 [尝试解答] 关系 [即时训练] (2025·合肥模拟)双曲线 y a2=1(a>2, b>0)的焦距为2c(c>0),已知点A(a,0), B(0,b),点(2,0)到直线AB的距离为d1, [思维升华] 点(-2,0)到直线AB的距离为d2,且d1+ 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大 角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的，点 d,≥5c,则双曲线离心率的取值范围为 到焦点距离的范围等，建立不等式（不等式 组)求解. A[92] [同 [即时训练] 已知0为坐标原点，F是椭圆C:号+若-1 c[而 D.[V3,23] (a>b>0)的左焦点.若椭圆C上存在两点 请完成课时作业（六十七） 182