第8节 正弦定理、余弦定理-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第七节三角函数中有关ω的范围问题 即时训练答案3 即时训练答案 解析由题可得∫(x)=cos(r十p), (停] 研磨·高考题型 解析因为f(x)一尽cosw.x十inx [例门C因为f(x)-in(mr十)(a∈ 由∫()=-(”)且∫(x)在 1=2sin(ur+答）-1w>0. N",0<g≤x)是R上的奇画数， 所以g一x,k∈Z,当k-1时，g一元 (登营)上单调， 令ar十受=4，则y-2sin1一1，国为rf 所以f(r)-sin(amr十r)-一sin cur, 得∫(x)的围象关于点（管，0）中心 又[-0] (o号)所以（管 对称， 令y=0,得加1=号，由题意可知西教y 可得ore[一爱晋]： 2 因为直线r一子与直线x=0关于直线r -2n1-1在区间（各，0中）上有 因为)在区网[一爱·开]上是单调 =吾对称，结合（工）的圈象对称性， 数 且仅有3个零点，所以<2x≤ 所以)在区同[一音音]上是单调 所以了)在(0，号)上单两：得 2，所以<< 函数， 第八节正弦定理、余弦定理 <受 又四>0，所以0<仙≤3，故仙的最大值 夯实·必备知识 故 为3. 晋>- 知识整合 [例3]B 周为u>0,所以当x∈ 1.+-2bccos A +a2-2cacos B 由m∈N·,可得四的最大值为5 [o受]时， a2+b2-2abeos C 2Rsin B 2Rsin C 即时训练B令2张x十受<ar一吾≤ sin A:sin B:sin C mr-∈[-÷罗-] 自我训练 1.(1)×(2)/(3)×(4)X 2a+受teo>0,得 又国为画数f八r)=sim(r一子)w> +受e 2.B3.吾4.4E 0)在[]上雅线关[号] 研磨·高考题型 [例1门解：(1)由余弦定理有a2+一产 所以受<-<平，解得受<< -2 abeos C,对比已知a2+b-c2 ab. 即时训练C因为「(r)一cos(r十 2km十3≥x,k∈2. g)(w>0,g∈(0，x)为奇函数， 可得cosC-心+2-2-Eab巨 2ab 2ub 2 可得，4+号<w≤2张+号kE乙 所以f(0)=0,即g=受，所以f(x)= 图为C∈(0，x),所以sinC>0, 一sin c.r, 因为+号<2+号k∈乙.所以≤ 当x∈ [-晋]时， 言k∈么所以长0长Z ∈[-譬] 又因为sinC-eos B,即cosB-立： 又2k+音0长么.所以≥-音e 注意到B∈(0x), 2 Z,所以≥0，k∈Z. 所以 解得3≤m< 所以B-子 所以=0，光时有青<w≤号故选B 告<管<吾 [例2]答案 (停] 号故选C ②由1了得B=导asC-号.ce (0,x):从而C-子，A=元-音-子 解析函数f(x)=cos r- 尽simw.x [例4灯Dg)-os(2ar-号) -晋 当x∈[0，x)时， -2os(ar+受） 2wr-子∈(-晋，2wm-晋）小 而mA=血登=如（停+吾）=号 因为x∈(0,2x)m>0, y一0sr在y轴右方的车点为r-登， ×号+×-+ 所以ar+登∈（受，2xm+吾） 警警竖些… 由正弦定理有“ 由于虽数f(x)在区间(0,2π)上有且仅 有2个极值点，所以f（x)在(0,2π)上有 固为函数g(x)的图象在区间[0，π)内有 且仅有2条对称楠， 5个零点， 则2x<2+吾≤3x, 所以竖<2x吾<号 解得∈（] 解格器<<器 -35 由三角形面积公式可知，△ABC的面积 可表示为 474 Sa=absin C= 在△ACD中，由余弦定理的非论可得， a (sin A-sin B)=(cb)(sin C+ cos∠ADC-AD+CD-AC sinB)及正弦定理，得a(a一b)一(c一b) 2AD·CD ·(c+b), 2 25+x2-49 即a2+b-c2-ab. 10x 由已知△ABC的面积为3+√3，可得 在△ABD中，由余弦定理的推论可得， 六由余孩定理得0sC-a+一 3+52=3+3 2ab 8 cOs∠ADB-AD+BD2-AB 2AD·BD 所以c=2E. 25+x2-25 即时训练(1)D 因为a=1,c .A 10x 又Ce0,xC-子 2 文∠ADC+∠ADB=x, .△ABC为等边三角形 -45°， 所以cos∠ADC=-cos∠ADB, 所以有25十x一49 若选②，则△ABC为等腰直角三角形.抢 所以由正弦定理可得inC-csin A 25+x2-25 a 10x 10x 理如下： ×9 整理可得x2一12，解得x一2，所以BC "heos A+acos Bb. 1 2· =4√3. a.2+c2-22 法二Ad-+0, 2ac 2c =c=csin C. 又周为0°<C<180°，c>a,A=45°， 所以C-60浅120. (2)答案26 则亦-+花+2店.0. snc-lc-受 ,△ABC为等腰直角三角形， 解析由正弦定理得品A品C 即25=(25+49十2×5×7× 即时训练(1)D由余弦定理知cosC -2+a2-c2 3. 5 cos∠BAC), 2ab sn(A+B,脚iAn3A 5sin A=3sin 3A=3sin Acos 2A+3cos A 解得6∠BAC-号. 因为c2-ab.C-60°， ·sin2A 所以BC=AB+AC-2AB·AC· 2ab =3sin A(2 cos2A-1)+6sin A cos A cos∠BAC 所以(a-b)2-0,所以b=a, -12sin A cosA-3sin A. =25+49-2X5×7×3=48. 因此B一A,所以B-A-C一60° 由于B=2A,所以A为锐角，sinA>0, 35 即△ABC是等边三角形.故选D. 所以12coA-8,0sA-】 所以BC-4尽 (2)A 周为05A_b 3 即时训练(1)C由题意，设三角形为 eos B a 由正弦定理得nA“mB一n2A b △ABC,b-1,c-2, 由正弦定理得o84-sinB 由三角形的几何性质c一<a<c十b, cos B sin A' b .1<a<3, 所以sin Acos A=sin Beos B, -2sin Acos A' :三角形是锐角三角形，a>b,c>b, 即sin2A-sin2B. b 则a=2c0sAb-2ac0sA=2X3× 6 ,只需要A,C为锐角， 3 “cosA=+c2-a 由兰-巨，可得≠6，所以A≠B 2. >0,即5-u2>0, 又A,B∈(0，x),A+B<π [例2](1)C a=2/17,b=52. cosC-2+->0,即0-3>0， 2ab 所以2A-元一2B,即A+B-三： cosA 4 联立解得：<a<5,故选C 所以C-受，故△ABC是直角三角形， .由a2-6+2-2cosA, (2)D由题知，△ABC的面积为 可得c2-8②c-18-(c-92)(c+2) 之从sinB-asinA-cnO. 第九节解三角形 =0, 所以abin C-b((bin B--anA 研磨·高考题型 解得c一9（负值舍去）. [例1]解(1)：AB-2,AC-4.△ABC cos A-5 csin C), 的面积为23， asin C-bsin B-asin A-csin C. mA=-osA=子， 所以由正弦定理得ac--a2一c2, .S△C- AB·AC·sin∠BAC- 2 即a2+c2-2=-ac, “△ABC的面积为之besin A- 所以c0sB=42十2-： 1 2×2X4Xin∠BAC-2B. 2ac =一2' 5Ex9Ex号-2n. 周为B∈(0，x,所以B-答 ia∠c-号 (2)B法-：设BC=2x,剥BD=CD [例3】解由血4+mC-b生及正孩 又∠BAC为能角∠BAC-号， sin B :D是BC的中点， 定理得 a十c-b+C,即a2+ac-b+bc, ∴A市-之(i+a0, b .a2-b2+ac-bc=0, 亦-迹+ ,(a-b)(a十b十c)=0,.a=b. :=4+16+2A应.A花=3 若选①，则△ABC为等边三角形.推理 如下： .AD1-尽，即AD- 475第四章三角函数与解三角形 [思维升华】 [尝试解答] 利用三角函数的最值与对称轴或周期的 关系，可以列出关于仙的不等式（组），进而求 出w的值或取值范围 [即时训练] (2025·上海质检)若奇函数f(x)=cos(wx +g(w>0,ge(0,x)在区间[-哥若]上 恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值 范围是 ( [思维升华] A.[2,6) a[2) 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为 c[3, D.[) 2,根据三角函数的零点个数，可以研究“山 的取值， 题型四三角函数的零点与w的关系 [即时训练] [例4幻(2025·开封统考)若函数g(x)= (2025·广东佛山模拟)已知函数f(x)= c0s2ax-号)在区间[0，x)内有5个零点· √3 cos wxr+sinw.x-1(w>0)在区间 则ω的取值范围是 ) (0,)有且仅有3个零点，则如的取值范围 B3w≤E 12 为 cw器 35 D. 请完成课时作业（三十二）、必刷小题7 第八节 正弦定理、余弦定理 [课标要求]1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利 用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题， 夯实·必备知识 >》 知识整合 续表 1.正弦定理、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是 a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 (1)a=2Rsin A, b= 定理 正弦定理 余弦定理 cos A=te2-a2 2bc 变形 (2)sin A-2R' cos B=c2ta2-b2 2ac a2= 内容 a b smB-条nC-录 sin A sinBsin C-2R2- cos C=a2tb2-c2 2ab (3)a:b:c C2= 87 金榜题名创新高考总复习数学 2.三角形解的判断 (5)三角形中的射影定理 A为锐角 A为钝角或直角 在△ABC中，a=bcos C+ccos B;b=acos C +ccos A;c=bcos A+acos B. (6)三角形中的面积S=√(p一a)(p一b(p一c) 图形 (p=2(a+b+o) 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a=b 自我训练 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 解的个数 一解 两解 一解 一解 “、/”或“×”) 3.三角形中常用的面积公式 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角 （①S=,(h表示边a上的高： 的余弦值之比。 (2)在△ABC中，若sinA>sinB,则a>b. (2)S= alsin C-acsin BesinA: (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个 元素可求其他元素. () 3)S=2(a+b+c)(r为三角形的内切圆 (4)当6+c2-a2>0时，△ABC为锐角三 半径). 角形 () 【常用结论】 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b, 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A+∠B+∠C=π. c,已知A=号a=5,b=1,则c等于 (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之 ( 差小于第三边 A.1 B.2 C.√5-1 D.3 (3)aABesin A>sin B,cos A<cos B. 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; c,A=60°，a=2√3，b=2,则B= tan(A+B)-tan C:sincos C 4.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, 2 b,c,若b=2√3，c=8,A=30°，则△ABC的 cos AB-sin C. 2 面积为 研磨·高考题型 >》 题型一利用正弦定理解三角形 [思维升华] [例1](2024·新课标I卷)记△ABC的内 利用正弦定理可解决两类三角形问题： 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC 一是已知两角和一角的对边，求其他边或角； =2cos B,a2+b-c=2ab. 二是已知两边和一边的对角，求其他边或角. (1)求B: [即时训练] (2)若△ABC的面积为3十3，求c. (1)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C [尝试解答] 的对边，a=1.c=号A=45,则C等于 A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 88 第四章三角函数与解三角形 (2)(2025·上海模拟)在△ABC中，设角 题型三三角形的形状判断 A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,若a [例3](2025·临沂模拟)在△ABC中，已知 3,c=5,B=2A,则边长b= 题型二利用余弦定理解三角形 sinA+sinC_b+S且满足条件①a(sinA sin B a [例2](1)已知△ABC的内角A,B,C所对 sin B)=(c-b)(sin C+sin B);2bcos A 的边分别为a,b,c,a=217,b=5√2，cosA +acos B=csin C中的一个，试判断△ABC 的形状，并写出推理过程. =青，则△ABC的面积为 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一 A.36√2 B.183 个解答计分 C.27 D.36 [尝试解答] (2)(2025·宝鸡统考)在△ABC中，AB= 5,AC=7,D为BC的中点，AD=5,则BC 等于 A.23 B.4√3 C.22 D.42 [尝试解答] [思维升华] [思维升华] 判断三角形形状的两种思路 利用余弦定理可解决两类三角形问题 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边 (1)已知两边和它们的夹角，求其他边 的相应关系，从而判断三角形的形状。 或角 (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角 (2)已知三边求角. 的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意 由于这两种情形下的三角形是唯一确定 应用A十B十C=π这个结论 的，所以其解也是唯一的 [即时训练] [即时训练] (1)(2025·黑龙江哈尔滨质检)在△ABC (1)(2025·江苏扬州质检)已知锐角三角形 中，若C=60°，c2=ab,则△ABC的形状是 边长分别为1,2，x,则x的取值范围是 () A.等腰直角三角形 A.(1,3) B.(1,5) B.直角三角形 C.(3,5) D.不确定 C.等腰三角形 (2)(2025·红河模拟)在△ABC中，角A, D.等边三角形 B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为 (2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 (bsin B-asin A--inC,)则B等于 别是a,b,c,若0、A-么=2，则该三角形 cos B a 的形状是 ( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 2π 0. 请完成课时作业（三十三） 89