第6节 函数y=Asin(ωx+φ)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

金榜题名创新高考总复习数学 第六节函数y=Asin(wx十p) [课标要求]l.结合具体实例，了解y=Asin(ox十p)的实际意义；能借助图象理解参数w,p,A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利 用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型， 夯实·必备知识 知识整合 【常用结论】 1.简谐运动的有关概念 函数y=Asin(wx十p)+k的图象平移的规 已知函数y=Asin(wx十o)(A>0,w>0), 律：“左加右减，上加下减” x≥0 自我训练 振幅 周期 频率 相位 初相 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 T= 2π 1 f= 2π x十g e “√”或“X”) (1)函数f(x)=Asin(wx十p)(A≠0)的最 2.用“五点法”画y=Asin(wx十9)(A>0,w>0)一 大值为A,最小值为一A. () 个周期内的简图时，要找五个特殊点 x十g (2)将函数y=3sin2x的图象向左平移牙个 0 3元 2 2π 单位长度后所得图象的解析式是y= 0一 2 2 2π一9 3sin(2x+) () y= (3)把y=sin(x一晋)的图象上各点的横坐 Asin(ar+o) 标缩短为原来的)，所得图象的函数解析式 3.函数y=sinx的图象经变换得到y= Asin(auxr十p)(A>0,w>0)的图象的两种 途径 为y=n(2x-》} 步 (4)如果y=Acos(wx十o)的最小正周期为 画出y=sinx的图象 画出y=sinx的图象 T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间 向左（右）1回个单 平移 位长度 横坐标变为原来的品倍 得到y=sin(x+p)的 步 得到y=sin ox的 的距离为号 () 图象 2 图象 横坐标变为 原来的品倍 向左（右） 盖个单 2.y=2sin 平移 - 的振幅、频率和初相分 位长度 得到y=sin(wx+p) 步骤 得到y=sin(wx+p) 别为 ( 的图象 的图象 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 A2,4r 1元 B.24x3 得到y=Asin(ux+p) 骤 得到y=Asin(wx+p) 的图象 的图象 D.2,4π，- 3 82 第四章三角函数与解三角形 3.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似 4.将函数f(x)=sinx图象上每一点的横坐 满足关系式f0=2sin(受-}，其中f0 标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右 的单位为m,t的单位是h,则12点时潮水 平移需个单位长度得到函数g()的图象， 的高度是 m. 则g(x)= 研磨·高考题型 >》 车■ 题型一 函数y=Asin(ax十p)的图象及 [尝试解答] 变换 [例1](1)(2025·湖南岳阳高三质检)已知 曲线C:y=2sinx,C:y=2sin(2x+号} 则下列说法错误的是 ( A把C上各点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平 行移动否个单位长度，得到曲线C, B,把C上各点的横坐标缩短到原来的号 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平 [思维升华] 行移动个单位长度，得到曲线C (1)由y=sin ax的图象到y=sin(w.x十9) C.把C向左平行移动个单位长度，再把 (>0,p>0)的图象的变换：向左平移2个单 得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来 位长度而非个单位长度。 (2)如果平移前后两个图象对应的函数 的2倍，纵坐标不变，得到曲线C 的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为 同名函数，仙为负时应先变成正值。 D.把C向左平行移动个单位长度，再把 [即时训练] 得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来 (1)(2025·山东德州模拟)为了得到函数 的2倍，纵坐标不变，得到曲线C g(x)=cos2x的图象，可以将函数f(x)= cos(2x+)的图象 (2)将函数f(x)=sin(ox+)(w>0)的图 A向左平移弩个单位长度 象向左平移受个单位长度后得到曲线C,若 C关于y轴对称，则w的最小值是( B.向右平移个单位长度 A.6 C.向左平移个单位长度 6 c号 0.2 1 D.向右平移若个单位长度 83 金榜题名创新高考总复习数学 (2)(2025·陕西西安质检)已知函数f(x) [思维升华 =2sin(wx十p)的图象向左平移石个单位长 确定y=Asin(x十o)十b(A>0,w>0)的 步骤和方法 度后得到函数y=sin2x十√3cos2x的图 (1)求A,b.确定函数的最大值M和最 象，则的可能值为 小值m,则A=M与m,b=M牛m 2 2 A.0 R哥 (2)求仙.确定函数的最小正周期T,则 c晋 D音 T 题型二 由图象确定y=Asin(w.x十p)的 (3)求9.常用方法如下： 解析式 ①代入法：把图象上的一个已知，点代入 (此时要注意该点在上升区间上还是在下降 [例2](1)（多选）(2025·邢台模拟)函数 区间上)或把图象的最高点或最低点代入， f(x)=Asin(wx+o)+k(A>0,0>0,0<o ②五点法：确定9值时，往往以寻找“五 <π)在一个周期内的图象如图所示，则 点法”中的特殊，点作为突破口， [即时训练] (1)(多选)(2025·安徽马鞍山质检)已知函 数f(x)=2sin(ox+p)(。>0,lp<受)的 部分图象，则 A.Λ=4 B.w=2 C9-晋 D.k=1 12 (2)已知函数f(x)=Asin(w.x十p)+B (A>0,B>0,w>0,g<变)在一个周期内 的图象如图所示，则函数f(x)的表达式为 A.w=2 BP-晋 C.点(，0)是f(x)图象的一个对称中心 D.f()的图象向左平移登个单位后所对应 12 的函数为偶函数 (2)已知函数f(x)=sin(x+p) [尝试解答] (o>0,p<)的部分图象如图所示，则 y=(x+)取得最小值时x的取值集合 为 84 第四章三角函数与解三角形 题型三三角函数图象、性质的综合应用 (2)(2024·新课标I卷)当x∈[0,2π]时， [例3](1)（多选）筒车是我国古代发明的一 曲线y=sinx与y=2sim(3x-)的交点个 种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还 在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家 数为 徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车 A.3 B.4 的工作原理（图2）.一半径为2米的筒车水 C.6 D.8 轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米， [尝试解答] 已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如 果当水轮上点P从水中浮现时（图3中点 P。)开始计时，则下列结论正确的是( ) 图1 图2 图3 [思维升华 A.点P再次进入水中时用时30秒 (1)研究y=Asin(w.x十p)的性质时可将 B.当水轮转动50秒时，点P处于最低点 ωx十p视为一个整体，利用换元法和数形结 C.当水轮转动150秒时，点P距离水面 合思想进行解题， 2米 (2)方程根的个数可转化为两个函数图 D.点P第二次到达距水面(1十√3)米时用 象的交点个数 时25秒 (3)三角函数模型的应用体现在两方面： [尝试解答] 一是已知函数模型求解数学问题；二是把实 际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数 的有关知识解决问题 [即时训练] (1)某地农业监测部门统计发现：该地区近 几年的生猪收购价格每四个月会重复出现. 如表所示是今年前四个月的统计情况. 月份x 1 2 3 4 收购价格y/(元/斤) 6 6 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格 (单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系 为 (2)已知关于x的方程2sin(2x+）-m=0 在（受x)上有两个不同的实数根，则m的 取值范围是 请完成课时作业（三十一） 85即时训练(1)B因为画数y=sinx在 (2)C记曲线C的品数解析式为g(x), 则 (吾0)上单调运增，且-吾<无 则g(r)- n[(r+)+号] “1pl<受∴m=2g=晋 <-<0, sim[r+(登m十子)小图为画教gx) 故fr)-2(2x+吾)小 所以a-n(-无）<in(-资)-a 的国象关于y轴对称，所以受十吾 故选B. 则f(年）=2xm(2×冬+若）-5. (2)C∫(x)在x=x时取得最大值，即 kx+受k∈，得w=2张+号(eD. [例3]DDf(x)-2cms(年-3x）可 sim(ox+子）1，可得wx+冬-受十 因为。>0.所以ean-子 化为f(x)=2o(3x-于），放单调增 2kπ，k∈Z, 区间： 所以m=号+2k,k∈Z. 即时训练1D对于A(x+等) 2kxx≤3-平≤2x,k∈Z. 因为要求@的最大值，所以这里可只考 co[2(x+号)+音]-cos(2x+)- 虑m>0的情况， -cos2r≠g(r),A错误 5 令k=0,-子≤≤登令k-1,是≤x 又国为)在[0，后]上单调运增，所 对于B/(r-登)=co[2(x-号)十 以贤+音<登，解得0<<3 晋]-0(2x-晋)≠g).B错送： [-受] 吉人一1时-吕所以m的最大雀为 对于C/(x+吾)-co[2(x+晋)十 所以∫(x)的单调遍增区间是 吕，选C 吾]-o(2:+号)≠8r).C错接： [-音][登]故选D 第六节 函数y=Asin(wx十p) (2)答案 [一+]ke 对于D/(-吾)=co[2(x-吾)十 夯实·必备知识 解析)n(等-2)的单调递减 自我训练 登]-cos2r-g),D正确，故递D 1.(1)× (2)×(3)×(4)/ (2)A y-sin 2r+cos 2r- 区间是g(x)=n(2r-吾)的单调递 2.C3.1 4sim(2x-） 增区间 2sin(2r+), 研磨·高考题型 由2kx-吾<2x-号<2kx+登，k∈Z. 函数f(r)一2sin(r十g)的图象向左 [例](1)D对于A.C上各点横坐标 得k-是<r<a+爱e乙 平移否个单位长度后得到画数的图象解 缩短到原来的号倍，得到y一2sin2红，吾 故所给函数的单调递减区间为 析式为： [km-意+登)ke乙 向左平移吾个单位长度，得到y f(x+吾)=2sim(or+g+g)小 延伸探究 2sim2(x+吾）=2sim(2x+冬），正确： m-2 解◆A-[x+]k.B 对于B.C上各点的横坐标缩短到原来 所以有 +=2x+(kz)9 =[0,x] 的号倍，得到)y一2sm2红，弄向右+移晋 -2π(k∈Z), anB-[]u[豐x] 显然只有选项A符合，故选A ∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为 个单位长度，得到y-2n2(-警） [例2](1)BD由图象可知，A=2,k= []u[竖 2n(2:-受）)=2sm(2.-受+2a) 3十(-D-1,故A错误，D正确： 2 [例B由x∈[0，]可得2红-9 2in(2x+牙入小正确： 又由困象可得T=2×(径+意)-， ∈[-号-] 对于CG向左平移受个单位长度，得 2 -，又>02，故B正确： 又由0<g<受，且f)在[0，号]上单 到y2如（十受），再把各点精坐标缩短 .f(x)=2sin(2x+p)+1 调递增， 可得行-≤受，所以晋≤<受 到原来的号倍，得到y-2n(2x十登) 又f(-)-3, 正确： 当(o)时2(p-小 2an[2(-)+p]+1=3, 对于D.G向左平移答个单位长度，得 由)在(0，要)上有最小值，可得只 sin(-吾+g）-1,又0<9<x, 到)厂2（十若），再把各点横坐标缩拉 到原来的立倍，得到y-2n(2x+吾）： g多 所以上，≤ 错误，故遮D. ∴)-2sn(2r+餐)+1，故C错误. 472 2答案f)=2n(学r+)+H 所以g=-吾+2x∈ (2)C国为岛数y-inx的最小正周期 为T一2x, 解析根据函数∫(x)的图象可得2A 3-(-1)=4,且3十(-1)=2B, 再由g<受得9一吾 函数y=2in(3红一答)的最小正周期为 所以A=2,B一1 所以fx)=sim(2x-吾 9 3 T- -,所以。-子 3 所以f(+吾）-sin(2x+吾) 所以在x∈[0,2π]上函数y= 2n(3-)有三个周期的图象， 当2红+音-受+2kx(k∈D 又周为（晋）=3， 在坐标系中结合五点法画出两函数图 象，如图所示： 可得2sm(分×吾+)+1=3. 即r一一吾+kxk∈D)时， yy=2sin(3x) 所以sm(号x+）-1 y一(x+音)取得最小值， 所以号x十g=受+2km,k∈乙，可得9 光时x的取值集合为女=红一音kcZ。 餐+2xez [例3](1)BCD 2x 由题意，角速度如一 又周为g<号所以g一高， 一器（孤度/物）， 由图可知，两西数图象有6个交点.故选C 又由水轮的半径为2米，且园心O距离 即时训练()答案y一血（受一受）十 所以fx)=2m(号x+)+1. 水面1米，可知半径OP。与水面所成角 6(答案不唯一) 即时训练(I)ACDA遮项，由困象可 解析设y-Asin(ar十g)十B(A>0,@ 得到画数最小正月期号T=登 为言，点P再次进入水中用时为 >0), x十2X 由题意得A-1,B-6,T-4, （-登）-受，故T-x 6 一40（秒），故A错误： 周为T-还，所以。一受 (0 因为m>0,所以红-，解得@-2.A 当水轮转动50秒时，半径(OP。转动了50 所以y-sim(受r+g）+6. 正确： ×斋-受（度）晋-吾-受点 图为当x=1时，y=6, B选项，持（受2）代入解析式得 正好处于最低点，故B正确： 所以6=sim(受十g)+6, 2sin(2×登+)-2 结合表中载据得受十甲一2kπ，k∈Z。 周为19<受，解得9-一受B辑误： 可取g一冬 C选项，/(r)=2si(2z-冬)： 所以y-sim(受r-受）+6 故/（若）-2sim(号-吾）-0， (2)答案(-2，-1) 建立如图所示的平面直角坐标系， 故点（晋，0）是f(x)图象的一个对称 设点P距离水面的高度H-Asin(aM十 解桥方程2sn(2:+音）-m-0可转 中心，C正确： p)+B(A>0a>0), 化为m-2sm(2x+音re(受，) [Hmx-A+B-3, 「A=2, D选项，(x)的图象向左平移登个单位 Hm=-A+B=-1 解将B=1· 设2z+吾-，尉1（语1警）】 后得到女()-2如(2+警-音) 又角选度。一語-需（蕴度/书），查1-0 六题目条件可转化为受一n11∈ 2sin(2x+受）-2os2 时，∠0P,=若，所以w=09=-吾， (管，号)有两个不同的实教根 因为g（r)-2cos2r的定义城为R,且 所以点P距离水面的高度H= 8 (-x)-2cos (-2x)-2cos 2x- 即直钱y一受和画数y=im1,1 g(x), 2sim(箭1-吾）十1，当水轮转动150秒 (语，培)的图泉有两个不月的文点， 故g(x)一2co52x为偶函数，D正确.故 时，将1=150代入，得H=2,所以此时 送ACD. 点P距离水面2米，故C正确： 作出y-受y=m1,∈（晋，）的 (2)答案 工r=k子，keZ 将H-1+√5代入H-2s对n 图象，如图中实线邮分所示， 解析根据所给图象，可得最小正周期 (希-吾)+1中 T-4x(登-音)- 得1-晋-2十或1--2 故=2红，所以m=2 + 因此f(x)-sin(2x十g),另外西数f(r) 由图象观察知，受的取值范国是 解得1=60k+15或t=60k+25(k∈N). 的图象经过点（径0）代入得2X×登+ 所以点P第二次到达距水面(1十√3)米 (-1-2 9-x十2kx(k∈Z), 时用时25秒，故D正确. 故m的歌值范固是（一2，一1）. 473