第5节 三角函数的图象与性质-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

金榜题名创新高考总复习数学 [尝试解答] 工即时训练] (2025·江苏泰州质检)如图，在半径为R、 圆心角为的扇形AB弧上任取一点P,作 扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上， 点M、V在OB上，则这个矩形面积的最大 值为 Q [思维升华] (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变 0 函数名称、变结构，尤其是角之间的关系：注 意公式的逆用和变形使用， A.(2-√3)R B.R 6 (2)形如y=asin x十bcos x化为y= √a+bsin(x十p),可进一步研究函数的周 期性、单调性、最值与对称性 请完成课时作业（二十九） 第五节 三角函数的图象与性质 [课标要求]1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.3.借助 图象理解正弦函数，余弦函数在[0,2x]上的性质及正切函数在（一，受）上的性质. 夯实·必备知识 >》 知识整合 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 k∈Z) 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 函数 y=sin y=cosr y=tanr (1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象 中，五个关键点是：(0,0)，（受1小 图象 （经.-1.2m,0). (2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象 定义域 红x≠kx十受 中，五个关键点是：(01)，(0小 值域 R 02x,1). 周期性 2x 78 第四章三角函数与解三角形 续表 自我训练 函数 y=sin r y=cos r y=tanr 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 奇偶性 奇函数 “/”或“×”) 单调递 2k 增区间 2kx+ 受kx十 (1)函数y=sinx,x∈[0,2π]，y=cosx, 单调递 x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点. 减区间 2 () 对称 中心 (x+乏，0） (经.o) (2)函数y=sinx图象的对称轴方程为x= 对称轴 工-x+受 2kx+受(k∈). (×) 方程 【常用结论】 (3)函数y=tanx在整个定义域上是增 1.对称性与周期性 函数 (×) (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心，相 2.(多选)已知函数f()=sin(x-(x∈R), 邻两对称轴之间的距离是号个周期，相邻的 下列结论正确的是 对称中心与对称轴之间的距离是号个周期。 A.函数f(x)的最小正周期为2π (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 B函数f(x)在区间0，上单调递增 个周期。 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 2.与三角函数的奇偶性相关的结论 D.函数f(x)是奇函数 (1)若y=Asin(wx十o)为偶函数，则o=kπ 3.下列函数，最小正周期为2π的是 +受(k∈)：若为奇函数，则p=kx(k∈Z). A.y=sim号 B.y=sin 2x (2)若y=Acos(wx十g)为偶函数，则p=kx C.y=sin D.y=sin 2x (k∈)：若为奇函数，则9=kx十(k∈). 4.不等式cosx≥ (3)若y=Atan(wx十p)为奇函数，则p=kπ 2(∈[一，x])的解集为 (k∈Z). 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一三角函数的定义域和值域 (2)函数y=2sin(-晋）(0≤x<9)的最 [例1(1)函数y=cosx- 的定义城为 大值与最小值之和为 A.2-3 B.0 C.-1 D.-1-√3 [尝试解答] B[kx-否，kx+吾]k∈D C[2km-晋，2kx+若](k∈2) D.R 79 金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] [思维升华 三角函数值域的不同求法 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函 (1)把所给的三角函数式变换成y= 数一般可化为y=Asin wx或y=Atan wx的 Asin(ar十p)的形式求值域. 形式，而偶函数一般可化为y=ACosωx的 (2)把sinx或cosx看作一个整体，转换 形式 成二次函数求值域. (2)周期的计算方法：利用函数y (3)利用sinx士cosx和sin xcos x的关 Asin(wx+o),y=Acos(ax+p)(w>0)的周 系转换成二次函数求值域 期为2红，函数y=Atan(ax十g)(u>0)的周 [即时训练] (1)(2025·昆明模拟)函数y=sinr+cosx 期为工求解。 tan x 的定义域为 (3)对称轴、对称中心的求法：对于可化 (2)(2025·四川泸州质检)函数y=sin'x 为f(x)=Asin(wz十p)(或f(x)=Acos(wz 3cosx十2的最大值为 十0)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只 A.5 1 6. 需令ur十9=受十x(k∈Z)(或令or十9 C.-1 D.1 kπ(k∈Z)),求x即可；如果求f(x)的对称中 题型二 三角函数的周期性、对称性与奇 心的横坐标，只需令x十9=kπ(k∈Z) 偶性 [例2](1)（多选）(2025·合肥模拟)已知函 (或令ox十g=受十x(k∈Z)小，求x即可.对 数f(x)=sinx(sinx一cosx),则下列说法 于可化为f(x)=Atan(wx十o)形式的函数， 正确的是 如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令 A.函数f(x)的最小正周期为元 wx十9= (k∈Z),求x即可. 2 B点（一晋0）是y=f)图象的对称中心 [即时训练] C.点（管）是y=x)图象的对称中心 (1)(多选)下列函数中，最小正周期为元 D.直线x= 是y=()图象的对称轴 的是 ( A.y=cos |2x B.y=cos xl (2)已知函数f(x)=cos(x+开十是奇 C.y=cos 2+ D.y=an(2x-） 函数，且∈[-受，]，则9的值为 (2)已知函数f(x)=2sin(wx十p） [尝试解答] ω>09<受)的最小正周期为元，其图象 关于直线x=对称，则f)= 题型三 三角函数的单调性 命题点1求三角函数的单调区间 [例3](1)(2025·河南质检)已知函数f(x) =2cos(年-3x小xe[-吾，引，则f(x)的 单调递增区间是 80 第四章三角函数与解三角形 A[-受o] [尝试解答] a[-平] c[--[】 [-[瞪到 (2)函数f(x)=sin(-2x的单调递减区 间为 [尝试解答] [思维升华] (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y=Asin(wx十p)或y=Acos(wx 十9)（其中w>0)的单调区间时，要视“wx十 ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω <0,可先借助诱导公式将山化为正数，防止 把单调性弄错， 延伸探究若例3(2)中的函数不变，求其 (2)已知三角函数的单调区间求参数 在[0，π]上的单调递减区间. 先求出函数的单调区间，然后利用集合 间的关系求解」 [即时训练] (1)(2025·四川眉山质检)令a=sim-哥)： b=sin(一爱)，判断a与b的大小关系是 A.a>b B.a<b C.a=b D.无法判断 (2)(2025·云南大理质检)已知函数f(x) 命题点2根据单调性求参数 [例4]已知f(x)=sin(2x-9) =sim(or+)在x=x时有最大值，且fx) 0<<)在0，]上单调递增，且f(x) 在区间[0，否]上单调递增，则的最大值是 在0，)上有最小值，那么？的取值范围是 A号 B吉 A.[晋引 B[答) c号 DE c[引 D[引 请完成课时作业（三十） 81[例3]Dsin(2a-若）=m[z(e+晋）】 a9e(受 所以函数y=血T十c0上的定义找 tan不 ]=-os2(e+晋) x<a+2m,且-是<变-a<0, 为{rx≠经，k∈z =1-2os心(+）=1-2x号=号 a十日-受-a十2x,解得2公+日-受 (2)A因为-1≤cos as≤1，y=si㎡x 3cos +2=-cos'r -3cos x+3= [例幻答案 即时调练B设∠POB=a,矩形PN MQ面积为S, 解析因为cosa= 2w7 故当cosr=一1时，函鼓y=sin2x 7 因为扇形AB的半径为R,圆心角为号， 3c0sr十2取最大值，且yamx=-1十3十 所以c0s2a=2c0s2a-1=7 所以QM=PN=Rsin a:ON=Reos a, 3=5.故选A 又国为明均为能角通一。 oM=QMtan-吾-号Rsin a, [](1)AD f(r)=sin .r(sin r-cos r) =sin?r-sin xcos 所以in。= 2 图此sin2a=2 sin co-1,5 2 =-竖m(2r+晋）+ 7 所以sin(2a-3)=sin2ac0s3 T=受=：故A正瑰： cos 2asin B ae(0,) 当1=-晋时，2x+千=0， -4×是7×器-号 7 因为a为锐角，所以0<2a<m, 当a=晋，即∠AOP=晋时，S取最大值 此时sin(2x+于）=0， 又cos2a>0, 怎，故选B 则函数关于成（一晋，）对称，故B 所以0<2a<受， 错误： 第五节 三角函数的图象与性质 又3为锐角， 当音时，2十-受此时 所以-受<2a-K受， 夯实·必备知识 知识整合 sin(2a+平)=， 又in(2a-m=原. 1.(1)(π，0)(2)（元，-1） 2 则画数关于直线=营对称，故C储误： 2.[-1,1[-1,1门2π元奇函数 所以2a-=受 偶函数[2km一开，2kπ][2kr,2kx十x] (π.0) x=kπ 即时训练(1)C sin(2a-） 自我训练 此时sin(2x+子）=-l, 1.(1)× (2)×(3)X [受-(2a-看)门-m(5-2） 则函数关于直线=受对称，故D正喷 2.ABC 3.C cms(2a-）=o[2(。-晋)门 研磨·高考题型 (2)答案子 =1-2m(。-晋)=1-2x(5）- [例门(1)C由co5x一 ≥0，得cos1 解析由已知，得平十g=m十受k∈ 2 吾故选C 所以9=红十草（∈刀 2… (2答案后 又周为g[-受，受]： 2km-若≤r≤2kx十若(k∈ZD. 解析“sim(等-a）】 (2)A因为0≤x9, 所以当k=0时9=开符合题意. =o[受-(3-a)] 则-骨<智-音<g, 即时训练(1)ABCA中，y=cosI2x 一cos2x,最小正周期为π： B中，由图象知y=|cosx的最小正周期 =cos(晋+a）=号 片以m(号-晋)[-g] 为r o(5-2a）-1-2im2(餐-a） 脚y∈[-5,2]，所以y十ym=2 C中，y=c0s(2x+否)的最小正周期T =1-2x(层)广- 即时训练a答案{女x≠受kEz - [例5司A”ee(受x 解析因为函数y=sinx与y=cosx的 D中y=tan(2:-牙)的最小正周湖T 定义城为R, .sina≠0， 多 (1-cos2a)(1+sin3)=sin2acos月， 若委使函数y=血十c0兰有意义，必 (2)答案√3 .'.2sin2 a(1+sin B)=2sin acos acos B. 须使tanx有意义，且tanr≠O, 解析画数f(x）=2sin(x十9》 sin a(1+sin 8)=cos acos B. ,.∴sina=cos acos3 sin asin3=cos(a十l, 所以有 +受乙解得≠受 (m>0p<受)的最小正周期为，共 r≠kx,k∈7 ∴cos(a+m=cos(是-a k∈Z 国象关于直线=晋对你， 471 即时训练(I)B国为函数y=sinx在 (2)C记曲线C的函数解析式为g(r), 则〈 (受，0）上单调递增，且-受<-品 则g(x)- im[(x+)+] <受=2，g= <-<0. in[r+(受w+晋)门国为高数gr 故fx)-2si如(2x+音）： 所以a=血(-希)<如(-)=6. 的图象关于y轴对称，所以受如十受 枚选B. 则f(年）=2sim(2×平+)=3. (2)C∫(r)在x=π时取得最大值，即 [例3)DDf)=2os(年-3x）可 sin(m十哥）=1，可得十号=受十 周为w>0,所以仙m=了 化为f(x)=20os(3r-开）故单调增 2kx,k∈Z, 所以m=号+2，∈2. 即时训练I)D对于A,f(x+琴) 区间： 2km<3-至<2，k∈乙， 因为要求四的最大值，所以这里可只考 o[2(+号)+晋]-os(2r+w) 虑w>0的情况， c0%2x≠g(x),A错误： 令k=0,-吾<≤是◆-1，是≤ 5 又周为fr)在[0，后]上单调递增所 对于B.f(-号）=co[2(x-吾)十 < 以贤+吾<受，解样0<<3， 吾]=c0s(2x-吾)≠g(r),B错送： 13 re[] 当为=1时，创=。，所以如的最大值为 对于C,f(+若）=os[2(r+晋) 所以f(x)的单调递增区间是 只就选C 晋]-co(2:+晋)≠gr),C错误： [-][登·]故选D 第六节 函数y=Asin(w.r十g) (2)答案 +]ke 对于D(-)=o[2(x-若) 夯实·必备知识 解析 八r)=sn(答-2：)的单调递减 自我训练 音]-ms2r-8).D正确，故选D 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ (2)A y=sin 2.r+3 cos 2x= 区间是g(x)=sim(2r-吾)的单调递 2.c314.sim(2x-号） 增区间 2sin(2r+吾） 研磨·高考题型 由2km受<2x-吾<2km+登，k∈乙， 函数∫(.x)=2sin(ur十g)的图象向左 [例1门(1)D对于A.C上各点横坐标 得k-意<Kka+受ke五 缩短到原来的号倍，得到y=2sm2,再 手移日个单位长度后得到画数的困象解 故所给函数的单调递减区间为 析式为： [m-是k+登)kez 向左平移石个单位长度，得到y f(x+答）=2sim(ar+g+p） 延伸探究 2sin2(x+音）=2sim(2x+号），正确： (w=2, 解◆A=[意+]，kB 对于B.C上各点的横坐标缩短到原来 所以有 器+g=2+号（∈9 =[0,x], 的号倍，得到y=2sn2x,吾向右半移晋 =2kπ(k∈Z), AnB=[o]u[竖] 个单住长度，得到y=2sim2(x一管） 是然只有选项A符合，故选A. f(x)在[0，π]上的单调递减区间为 [例2](1)BD由图象可知，A=2,k= [o][豐 2sn(2:-警）=2sin(2:-受+2a) 3十(-卫=1，故A错送，D正确： 2 [例B由r∈[0，号]，可得2r-9 2sin(2r+子)小正确： 又由周象可得T=2×(管+音)= [-号-] 对于C.G向左平移等个单位长度，得 2π 六物=，又m>0心m=2,故B正确： 又由0<g<受，且fx)在[0，号]上单 到y2m(+晋）：再把各点横坐标缩短 ∴f(x)=2sin(2x+p)+1 调递增， 可得行-≤受，所以晋<<受 到原来的号倍，得到y=2m(2+子） 又(-)=3 正确： 当e(0.)时2-ge(-g-小 2m[2(-)+p]+1-8 对于D.G向左平移吾个单位长度，得 由)在(0，爱)上有最小值，可得 sin(-若+g）=l,又0<y<w: 到y-2n(十看）小再把各点横坐标缩短 > 到原来的受倍，得到y=2sm(2:+晋) g-号 所以<平综上，≤< 错误，故选D. fx)=2sim(2r+行）+1，故C错误. 472