第4节 简单的三角恒等变换-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

(2)C周为a,e(0,受)满足sine (2)答案 26-1 6 (2)答案8 ,0osg3⑩ 5 解析cos20°cos40°c0580° 10 解析图为m叶m(0+专）-号， =sin20°cos20°cos40°cos80 sin 20 所以c0sa=个-sma-=2 5 sin 8= 即cos0+cos0cos开 2sin 40'cos 40cos 80 10 s1n20 √1-co8= 10 所以受os0-号in0- 3 1 sin 80'cos 80* 由此可得cos(a十3)=cos acos3 所以(sg-之血）-g。 sin 20 sin asin月= 10 即m(+音)-： -8in160 1 in20°- 8 因为0e(0,受) 即时训练(1)答案 1 又国为a十3E(0,,所以e十B=只.故 所以叶音∈（后号） 解析法一：由倍角公式c0s2a=1一2 选C sira,得sim2a=1-cos2e 2 所以sm(0+晋）√1-o(0+若) [例2](1)答案 上-m(2a-晋）1-(a+) 原式= 2 解析 由tanA1anB=tanA+tanB +1, 14-号[m(%晋)计 2 可样温告=-1， 所以m=m[(+晋)一音] sin(0+吾）os吾-co(+君)m吾 ms(2a+号）-ms2a】 即tan(A+B)=-1. --(2o2aos号-os2a 又因为A十B∈(0，π)， 3 6 所以A+B=3x】 4· 即时训练(1)C tan B-tan(a十3)一 =a品=告号-a 法二：sim(。-若)+sim(a+若）- 则C-子mC-号 故选C, 。-(号血。s）'+(9ne (2)答案[/10，十∞) (2)答案 53+12 解析f八.r)=sinr-3cosx=√而sin(d 26 一p)(其中tan9=3), 解析：0<a<受 √/10sin(x-9)∈[-√10，√10， 所以f(.x)∈[-1o,√/10， 音<a+晋<号 (2)答案-cos日 解析原式 故a≥o sm(e+吾）-最. (2m号w号+os子)(m号-m子) 即时训练(1)答案4 √or号 解析原式=c0s10°3sin10 osa=ms[(a+吾)-晋]- (sm号-os号） sin10cos10° as(a+)os吾+in(e+吾)n晋 =co52 0 2(s1o-9n10） sin 10'cos 10 -最×9+指×出 26 os号ms0 4(sin 30"cos 10-cos 30"sin 10) 第四节 简单的三角恒等变换 cos 2 2sin 10'cos 10 -45im(302-102=4. 夯实·必备知识 sin 20 国为0<Kx,所以0<号<音， 知识整合 (2)答案1 1.(1)2sin acos a (2)cos a-sina 所以o号>0 解析原式=tn10°tan20°十tan60 2cos'a-1 1-2sin'a 所以原式=一cos0. (tan20°+tan10°) 自我训练 [例2]答案一43 =tan10"tan20°+√3tan(20°+10)(1 1.(1)×(2)√(3)/(4)× 厚isin 12-3 2.AA4言 解析 原式 cos 12 tan20°1an10) 2(2cos12°-1)sin12 =tan10°an20°+1-tan20°tan10°=1. 研磨·高考题型 [例3](1)B因为cos(a-3)cosa十 25(号m12 c0s12） [例1](1)C原式=√(sin20°-cos20)3 ne-s如。=子， cos 12 2cos 24sin 12 N /1-(1-2im20) 所以cos[(a-B)-a]=cos(一B) 23sin(-48°) -23sin48 2cos 24'sin12'cos 12sin 2cos 3 =cos =5 -|sin20°-cos201+√/sim220 =cos20°-sin20°+sim20° -28im48”--43 故选B. =cas 20%. 2 sin 48" 470 [例3]Dsin(2a-若）=m[z(e+晋）】 a9e(受 所以函数y=血T十c0上的定义找 tan不 ]=-os2(e+晋) x<a+2m,且-是<变-a<0, 为{rx≠经，k∈z =1-2os心(+）=1-2x号=号 a十日-受-a十2x,解得2公+日-受 (2)A因为-1≤cos as≤1，y=si㎡x 3cos +2=-cos'r -3cos x+3= [例幻答案 即时调练B设∠POB=a,矩形PN MQ面积为S, 解析因为cosa= 2w7 故当cosr=一1时，函鼓y=sin2x 7 因为扇形AB的半径为R,圆心角为号， 3c0sr十2取最大值，且yamx=-1十3十 所以c0s2a=2c0s2a-1=7 所以QM=PN=Rsin a:ON=Reos a, 3=5.故选A 又国为明均为能角通一。 oM=QMtan-吾-号Rsin a, [](1)AD f(r)=sin .r(sin r-cos r) =sin?r-sin xcos 所以in。= 2 图此sin2a=2 sin co-1,5 2 =-竖m(2r+晋）+ 7 所以sin(2a-3)=sin2ac0s3 T=受=：故A正瑰： cos 2asin B ae(0,) 当1=-晋时，2x+千=0， -4×是7×器-号 7 因为a为锐角，所以0<2a<m, 当a=晋，即∠AOP=晋时，S取最大值 此时sin(2x+于）=0， 又cos2a>0, 怎，故选B 则函数关于成（一晋，）对称，故B 所以0<2a<受， 错误： 第五节 三角函数的图象与性质 又3为锐角， 当音时，2十-受此时 所以-受<2a-K受， 夯实·必备知识 知识整合 sin(2a+平)=， 又in(2a-m=原. 1.(1)(π，0)(2)（元，-1） 2 则画数关于直线=营对称，故C储误： 2.[-1,1[-1,1门2π元奇函数 所以2a-=受 偶函数[2km一开，2kπ][2kr,2kx十x] (π.0) x=kπ 即时训练(1)C sin(2a-） 自我训练 此时sin(2x+子）=-l, 1.(1)× (2)×(3)X [受-(2a-看)门-m(5-2） 则函数关于直线=受对称，故D正喷 2.ABC 3.C cms(2a-）=o[2(。-晋)门 研磨·高考题型 (2)答案子 =1-2m(。-晋)=1-2x(5）- [例门(1)C由co5x一 ≥0，得cos1 解析由已知，得平十g=m十受k∈ 2 吾故选C 所以9=红十草（∈刀 2… (2答案后 又周为g[-受，受]： 2km-若≤r≤2kx十若(k∈ZD. 解析“sim(等-a）】 (2)A因为0≤x9, 所以当k=0时9=开符合题意. =o[受-(3-a)] 则-骨<智-音<g, 即时训练(1)ABCA中，y=cosI2x 一cos2x,最小正周期为π： B中，由图象知y=|cosx的最小正周期 =cos(晋+a）=号 片以m(号-晋)[-g] 为r o(5-2a）-1-2im2(餐-a） 脚y∈[-5,2]，所以y十ym=2 C中，y=c0s(2x+否)的最小正周期T =1-2x(层)广- 即时训练a答案{女x≠受kEz - [例5司A”ee(受x 解析因为函数y=sinx与y=cosx的 D中y=tan(2:-牙)的最小正周湖T 定义城为R, .sina≠0， 多 (1-cos2a)(1+sin3)=sin2acos月， 若委使函数y=血十c0兰有意义，必 (2)答案√3 .'.2sin2 a(1+sin B)=2sin acos acos B. 须使tanx有意义，且tanr≠O, 解析画数f(x）=2sin(x十9》 sin a(1+sin 8)=cos acos B. ,.∴sina=cos acos3 sin asin3=cos(a十l, 所以有 +受乙解得≠受 (m>0p<受)的最小正周期为，共 r≠kx,k∈7 ∴cos(a+m=cos(是-a k∈Z 国象关于直线=晋对你， 471第四章三角函数与解三角形 题型三角的变换问题 [思维升华] [3](1)cos(a-B)cos a+sin(a-B)sin a= (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般 寻则os于 表示为两个“已知角”的和或差的形式 (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般 A号 B 表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式， c n-昌 或者应用诱导公式把“所求角”变成“已 知角” (2)(2025·潍坊质检)已知cos0+cos (3)常见的角的变换：2a=(a十B)十(a一) (0+5）=号.0e(o,)则sn0 +22,晋+a=受-（后-小a a= [尝试解答] (a+m-B=(a-+a,(T+a+(年-a) 年 [即时训练] (1)(2025·江苏南京模拟)已知角α，3满足 tana=-2,tan(a十3)=l,则tanB= A一号 B.1 C.-3 D.3 (2)已知。为锐角，且cos(a+)=则 cosa的值为 请完成课时作业（二十八） 第四节 简单的三角恒等变换 [课标要求]能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并 进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）. 夯实·必备知识 >》 知识整合 2.半角公式（不要求记忆） 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 1-cos a 1+cos a COS (1)公式S2.:sin2a= 2 2 (2)公式C2。:cos2a= =士 tan 2 1-cos a 1+cos a 符号由号所在象限 (3)公式Tz。:tan2a= 2tan a 1-tan 2a' 决定 75 金榜题名创新高考总复习数学 【常用结论】 (3)存在角a,使得sin2a=2sina成立. 1.二倍角公式的变形公式 (1)1-cosa=2sim号，1+cosa=2cos2 2 (升幂公式)》 2.c0s15°等于 ( ) (2)1土sina= 2 .(升幂公式)》 1+c0s30 B -c0s30 2 (3)sin'a- 1-cos 2a 1+cos 2a 2 .cos a= 2 C.士 /1+cos30 D.士 1-c0s30 tan'a- 1-cos 2a 1+cos 2a (降幂公式) 2.半角正切公式的有理化 3.已知函数f(x)=sin 经+x小sin(r+x,则 tan 2 sin a1-cos a 1+cos a sin a ） 自我训练 B.③ 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 A号 4 “”或“×”) c D.3 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范 2 围是任意角 4若os0+)=-,则cos20的值为 (2)半角的正切公式成立的条件是α≠ (2k+1)π(k∈Z). ( 研磨·高考题型 》》 卫 题型一三角函数式的化简 [即时训练] [例1](1)W1-sin40+ 1-c0s409 2 的化简 (1)化简sin'(a-石)+sin(a+否）-sina 结果为 = A.-sin20° B.-cos 20 (2)(2025·广州模拟)已知0<0<π，则 C.cos20° D.sin20° (1+sin 0+cos ( (2)化简：c0s20°cos40°cos80°= [尝试解答] √2+2cos0 题型二 三角函数式的求值 命题点1给角求值 [例2] √3tan12°-3 (4c0s212°-2)sin12°= [尝试解答] 76 第四章三角函数与解三角形 命题点2给值求值 [思维升华] [例3] (2025·济宁模拟)已知cos(a+）) (1)给值求值问题一般是将待求式子化 简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值， 停，则sn(2a一吾引等于 然后根据角的范围求出相应角的三角函数 值，代入即可. A-号 B号 (2)给角求值问题一般所给出的角都是 非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观 c-号 0. 1 察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系， [尝试解答] 解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转 化为特殊角并且消除特殊角三角函数而 得解 (3)给值求角问题一般先求角的某一三 角函数值，再求角的范围，最后确定角，遵照 以下原则： 已知正切函数值，选正切函数：已知正、 余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围 是(0，引选正、余弦皆可：若角的范国是 (0,π)，选余弦较好：若角的范围为 命题点3给值求角 (一受，）选正孩较好。 [例4]已知a,3均为锐角，cosa= 2 7,sin B [即时训练] 33,则cos2a=2a-月 (1)(2025·山东德州质检)已知sin(a-) 14 [尝试解答] 号 c (2)(2025·成都模拟)已知os(a+) 号a∈o,引则os-2a) 题型三 三角恒等变换的综合应用 [例5] (2025·广州模拟)若a,8∈（受，x 且(1-cos2a)(1+sin3)=sin2acos3,则下 列结论正确的是 A2a+月-受 B.2a-9- C.a+g- D.a-P-号 77 金榜题名创新高考总复习数学 [尝试解答] 工即时训练] (2025·江苏泰州质检)如图，在半径为R、 圆心角为的扇形AB弧上任取一点P,作 扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上， 点M、N在OB上，则这个矩形面积的最大 值为 () [思维升华] (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变 函数名称、变结构，尤其是角之间的关系：注 意公式的逆用和变形使用. A.(2-3)R B.R 6 (2)形如y=asin x十bcos x化为y= √a十bsin(x十p),可进一步研究函数的周 b 期性、单调性、最值与对称性， 请完成课时作业（二十九） 第五节 三角函数的图象与性质 [课标要求]1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.3.借助 图象理解正弦函数，余弦函数在[0,2x]上的性质及正切函数在（一受受）上的性质， 夯实·必备知识 >》 知识整合 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 k∈Z) 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 函数 y=sinr y=cosr y=tan r (1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象 中，五个关键点是：(0,0)，（受，1 图象 经.-12m,0. (2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象 定义域 R R (红x≠十受 中，五个关键点是：(01)，（受0小 值域 R (0小2x1. 周期性 2x 78