第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

(2)答案 (1+050)(1-c0s0) (2)答案 (1-cos0)2 [-3-] 解析 周为9∈(0，艺）小则sim0>0, 1+cos0)(1-os0) 解析 令f)=r(2025+） (1+cos0)2 cos >0. sin(2025x+x)-2, 1-cos20 /1-cos20 又因为tan0= sin cos 8 2,则cos0 则f(x)=cos2x+sinr-2=一sin2x+ 1-cos 0 1+cos 0 sin 0 sin0 sin x-1. 2sin =1-co80 1++cos 0 cos20+sin20=4sin20+sin0=5sin20 所以)-(m-)广- sin 0(1+cos 0)-sin 0(1-cos 0) =1, (1-os0)(1+c0s0) 又sinx∈[-1,1]，所以f(x)∈ 解得加0=怎发m0= (会去)， 2sin dcos 0 2cos 0 2x() [-3-] 所以sin0-cos0=sin0-2sin0=-sin0 sin20 sin 0 因为关于的方程m(205+） 5 =一4.故选A. sin(2025m+x)-2-a=0有实数解，/ T例2](1)C 4 (2)答案18 :sin(r十a)=- 写sin e[-,-] 解析由sin(3π十0)= 3,可得sing 所以。的取维范国为[-3一早] 3 cos(x-2a)=-cos 2a=-(1-2sin 第三节两角和与差的正弦、 cos(π十0) =2x()广-1= 六eos9Lcos(x+)-1可 余弦和正切公式 cos(0-2) (2)B 因为血(e+吾)是， im(0-受)os(0-)-sim(+0) 夯实·必备知识 知识整合 所以（管a）-m[登-（答）] -c0s0 cos 1.(1)cos acos B+sin asin p (2)cos acos B c0s9(-c0s0-1) -cos0+cos 0 -sin asin B (3)sin acos -cos asin =m(+吾)-号 1 1 =1+cos0+1-cs0 (4)sin acos B+cos asin 延伸探究 2 自我训练 答案一 1+cos8)(1-cos0) 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 2 1=o80sm018. 2.CaB4晋 解析因为cos(若+a）=-子 即时训练(1)答案②③回 研磨·高考题型 所以sn(+a）-sin(受+吾+a)】 解析用为加音-兽。 [例1门()A国为0<a<<K,os =ms(悟+a)=- 对于①，当n=2,∈Z时，n(m十智) 。=号mg 即时调练(1)A原式= n(2x+）-血经-血(x+晋) sim(0-)cos(5+0）eos0 所以m。=-() cos Osin(-0) 5.cos = √/1-sin月 (-sin 0)(-sin 0)cos 0-sin 0. cos (-sin 0) 当=2k+1,k∈Z时，in(x+号) =-λ√-(=-意： (2)答案一号 sm(2km十x+智）=sin(x+智） 则cos(a十B)=cos acos B-sin asin B= 解析因为tana=一2， 所以ina十5c0s(2x一a) 加(2x+号)=如音-号，故①不满 是×(-)-×--器故 3sin(受t+a)+in。 足要求 选A, (2)D由sin(a十)=2 sin asin8得 sin a+5cos a tan a+5 对于②，co(2m+晋）-c0s吾- 2 sin acos B+cos asin B=2sin asin -3cos a sin a -3十tana 故@满足要求： in acoscos sin2=2→，1+， sin asin B tan a'tan 8 对于③，sin(2nx+登）=sin号= [例3](1)A因为cos(0-x)=-cos0 =2,进而可得ana中an2=2今an otan 故③满足要求： tan atan月 -25,时m5 tana十tan3 时于0.o[(2m+1g-看] g=2,所以tan(a+D==tan otan月 又因为0为第二象限角，则sin0 =0s(x-）=-0s= 9 3 1- =一6，故选D. 不满足要求： 1+cos 0 即时训练(1)A 1-cos 0 由an(a+牙) 此 1-m(受-)√1+如(0- 时于0.m[(2a+1)-音] ana十l=9, 1-tan a 1+cos 0 /1-cos 0 1-cos 0 1+cos 0 要求 解释1ama=子 469 (2)C周为a,e(0,受)满足sine (2)答案 26-1 6 (2)答案8 ,0osg3⑩ 5 解析cos20°cos40°c0580° 10 解析图为m叶m(0+专）-号， =sin20°cos20°cos40°cos80 sin 20 所以c0sa=个-sma-=2 5 sin 8= 即cos0+cos0cos开 2sin 40'cos 40cos 80 10 s1n20 √1-co8= 10 所以受os0-号in0- 3 1 sin 80'cos 80* 由此可得cos(a十3)=cos acos3 所以(sg-之血）-g。 sin 20 sin asin月= 10 即m(+音)-： -8in160 1 in20°- 8 因为0e(0,受) 即时训练(1)答案 1 又国为a十3E(0,,所以e十B=只.故 所以叶音∈（后号） 解析法一：由倍角公式c0s2a=1一2 选C sira,得sim2a=1-cos2e 2 所以sm(0+晋）√1-o(0+若) [例2](1)答案 上-m(2a-晋）1-(a+) 原式= 2 解析 由tanA1anB=tanA+tanB +1, 14-号[m(%晋)计 2 可样温告=-1， 所以m=m[(+晋)一音] sin(0+吾）os吾-co(+君)m吾 ms(2a+号）-ms2a】 即tan(A+B)=-1. --(2o2aos号-os2a 又因为A十B∈(0，π)， 3 6 所以A+B=3x】 4· 即时训练(1)C tan B-tan(a十3)一 =a品=告号-a 法二：sim(。-若)+sim(a+若）- 则C-子mC-号 故选C, 。-(号血。s）'+(9ne (2)答案[/10，十∞) (2)答案 53+12 解析f八.r)=sinr-3cosx=√而sin(d 26 一p)(其中tan9=3), 解析：0<a<受 √/10sin(x-9)∈[-√10，√10， 所以f(.x)∈[-1o,√/10， 音<a+晋<号 (2)答案-cos日 解析原式 故a≥o sm(e+吾）-最. (2m号w号+os子)(m号-m子) 即时训练(1)答案4 √or号 解析原式=c0s10°3sin10 osa=ms[(a+吾)-晋]- (sm号-os号） sin10cos10° as(a+)os吾+in(e+吾)n晋 =co52 0 2(s1o-9n10） sin 10'cos 10 -最×9+指×出 26 os号ms0 4(sin 30"cos 10-cos 30"sin 10) 第四节 简单的三角恒等变换 cos 2 2sin 10'cos 10 -45im(302-102=4. 夯实·必备知识 sin 20 国为0<Kx,所以0<号<音， 知识整合 (2)答案1 1.(1)2sin acos a (2)cos a-sina 所以o号>0 解析原式=tn10°tan20°十tan60 2cos'a-1 1-2sin'a 所以原式=一cos0. (tan20°+tan10°) 自我训练 [例2]答案一43 =tan10"tan20°+√3tan(20°+10)(1 1.(1)×(2)√(3)/(4)× 厚isin 12-3 2.AA4言 解析 原式 cos 12 tan20°1an10) 2(2cos12°-1)sin12 =tan10°an20°+1-tan20°tan10°=1. 研磨·高考题型 [例3](1)B因为cos(a-3)cosa十 25(号m12 c0s12） [例1](1)C原式=√(sin20°-cos20)3 ne-s如。=子， cos 12 2cos 24sin 12 N /1-(1-2im20) 所以cos[(a-B)-a]=cos(一B) 23sin(-48°) -23sin48 2cos 24'sin12'cos 12sin 2cos 3 =cos =5 -|sin20°-cos201+√/sim220 =cos20°-sin20°+sim20° -28im48”--43 故选B. =cas 20%. 2 sin 48" 470第四章三角函数与解三角形 第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [课标要求]1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公 式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. 夯实·必备知识 ■ 知识整合 自我训练 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 (1)公式Ca-m:cos(a-B)= “/”或“X”) (1)存在a,3∈R,使得sin(a-B)=sina sin3成立. () (2)公式Ca+m:cos(a十B)= (2)对于任意a,3∈R,sin(a十3)=sina十sin3 都不成立 ( ) (3)公式S。-m:sin(a-B)= (3)tan(受-)能根据公式ian(a一B)直接 (4)公式S。+m:sin(a+)= 展开求值. () (4)公式asin x-十beos x=√a+bsin(x+g) (5)公式To-m:tan(a-)=ana-tan9 中o的取值与a,b的值无关. () 1+tan atan 2.计算cos43°cos13°+sin43°sin13的值为 (6)公式Ta+m:tan(a十)= tan a+tan B 1-tan atan B)' 2.辅助角公式 A B② asin a+bcos a=√a+bsin(a十p),其中sing C③ ·2 D.cos57° a+6 a+b 3.若cos&=- 青。是第三象限角，则 【常用结论】 两角和与差的公式的常用变形： sin(a+)等于 (1)sin asin B+cos(aB)=cos acos B. A品 B.-7② 10 (2)cos asin B+sin(a-B)=sin acos B. (3)tana士tanB=tan(a±3)(1干tan atan B). c号 (4)tan atan B=1-tan af tan tan a-tan B tan(aB) tan(a-β) 4.若将sinx-√3cosx写成2sin(x-p)的形 式，其中0≤<π，则p -1. 73 金榜题名创新高考总复习数学 研磨·高考题型 >》 题型一两角和与差的三角函数公式 (2)(2025·江西抚州模拟)已知锐角a,B满 [例1】（1D(2025·海南质检)已知0<a<受 足sina=5, cas3Y0则a+B等于 Kx,osa=号sn广号则cos(a+0 () A B平或 A-能 R需 c D.Z c器 3 D. 题型二 两角和与差的三角函数公式的逆 (2)(2025·长沙模拟)已知tana十tanB=3, 用与辅助角公式 sin(a十3)=2 sin asin3,则tan(a十B)= [例2](1)(2025·新乡模拟)在△ABC中， ( 若tan Atan B=tanA十tanB+l,则cosC= A.4 B.6 c.- (2)已知函数f(x)=sinx-3cosx,不等式 D.-6 f(x)≤a对任意实数x恒成立，则实数a的 [尝试解答] 取值范围是 [尝试解答] [思维升华] [思维升华] (1)使用两角和与差的三角函数公式，首 (1)运用两角和与差的三角函数公式时， 先要记住公式的结构特征。 不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及 (2)特别要注意角与角之间的关系，完成 变形，公式的逆用和变形应用更能开拓思路， 统一角和角与角转换的目的. 增强从正向思维向逆向思雏转化的能力. [即时训练] (2)对asin x+bcos x化简时，辅助角g (1)(2025·榆林模拟)已知tan(a+平）=9， 的值如何求要清楚， [即时训练] 则tana等于 A.5 B.一5 (1)sin10° 3 sin 80 C. D. 3 (2)化简：tan10°tan20°+tan20°tan60°+ tan60°tan10°= 74 第四章三角函数与解三角形 题型三角的变换问题 [思维升华] [3](1)cos(a-B)cos a+sin(a-B)sin a= (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般 寻则os于 表示为两个“已知角”的和或差的形式 (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般 A号 B 表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式， c n-昌 或者应用诱导公式把“所求角”变成“已 知角” (2)(2025·潍坊质检)已知cos0+cos (3)常见的角的变换：2a=(a十B)十(a一) (0+5）=号.0e(o,)则sn0 +22,晋+a=受-（后-小a a= [尝试解答] (a+m-B=(a-+a,(T+a+(年-a) 年 [即时训练] (1)(2025·江苏南京模拟)已知角α，3满足 tana=-2,tan(a十3)=l,则tanB= A一号 B.1 C.-3 D.3 (2)已知。为锐角，且cos(a+)=则 cosa的值为 请完成课时作业（二十八） 第四节 简单的三角恒等变换 [课标要求]能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并 进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）. 夯实·必备知识 >》 知识整合 2.半角公式（不要求记忆） 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 1-cos a 1+cos a COS (1)公式S2.:sin2a= 2 2 (2)公式C2。:cos2a= =士 tan 2 1-cos a 1+cos a 符号由号所在象限 (3)公式Tz。:tan2a= 2tan a 1-tan 2a' 决定 75