第2节 同角三角函数基本关系式及诱导公式-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

当是是奇数时，设k=2n十1(n∈Z),则 1.C① 所以此扇环彩砖雕的面积为 (2)答案D 225°+n·360<号<270+n· 解析由ina =c0sa>0, tan asin a 0D-号m0A-×经×2-号 【ana cos a cos a 360°(n∈Z), <0,得cosa>0,sina<0,所以a是第四 此时受为第三象限商 音×1=受m㎡ 象限角，故运D. 综上所迷：受为第一象限角或第三象 即时训练(1)ABC设扇形半径为r 第二节同角三角函数基本关系式 圆心角孤度数为a, 及诱导公式 限角， 2r+ar-6, 则由题意得1 2ar2=2, 夯实·必备知识 知识整合 ≤0，所以号为第三象限角.故选C 解得 /r-2, 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a (2)ACDa是第三象很的角，则a∈ a-4 a-1, -cos a cos a -cos a sin a -sin a (2x+x,2张x+)k∈Z, 可得当圆的半径为1时，圆心角的孤度 tan a 一tnna 数为4：当圆的半径为2时，圆心角的孤 自我训练 所以号∈（号x+晋，号x+受） 度数为1. 1.(1)×(2)×(3)×(4)× (2)D设扇形的半径为r,弧长为l,由 已知得2r十1-8， 2.DaD-号 当k-3mn∈Z,号∈(2m+5,2m+受) 研磨·高考题型 n∈Z,在第一象限： 扇形面积为S-言-是(8-2r)r一 当k-3m+1”∈么.号 （4-rr≤[4-r)+r-4. [例】(A周为n0=青，片以号 cos 8 (3m十x2十答)n∈Z,在第三象限： 当且仅当4一r一r,脚r一2时等号成立， 此时1一4，剥圆心角a=上=2，故选D. 当k-3m+2,”∈2，号∈ 周为im0+cos0-1,所以号cos0+ [例3](1)B ()+()=1,故 3 (2x+受2mx+)n∈z.在第四 co30-1,解得cos0-±亏· 象限： P在单位圆上，根据三角函数值的定义， P的横坐标的值即为cosa,故co80= 月为m0=言>0,0E(0.x).所以0e 所以号可以是第一，第三或第四象限角 孕收建瓜 (0,受)：所以c0m0=是故选A 故选A(CD. 即时训练(1)C若a是第一象限角， (2)CD已知角a的终边经过点 (2)ACD 则90°一a的终边在第一象限，90°十a的 由m0-m0 P(一4m,3m)(m≠0)， 终边在第二象限，360°一a的终边在第四 一3 所以sina一 3m -2,可得sin0-cos0Xnn0-m-3 m+5 象限，180°十a的终边在第三象限，故C 是第四象限角。 √(-4m)+(3m)月 'sin20+cos20-1, 3m 一4加 (2)答案二135 -225 T5mT cos a (》+( -1, 解析周为一2025°-一6×360°+135°， /(一4m)+(3m) 所以一2025°角的终边与135°角的终边 一1加 解得m一0戏m一8. 相同。 -5 ,sin0>0,cos0<0,经检验，当m=0 所以一2025°角是第二象限角，与一2 3 当m>0时，sina一方，osa一 5 时，0s0=4仁20>0，不合题意 025°角终边相同的最小正角是135°， m十5 又135°-360°=-225°， 3 此时2sina十cosa=2X m-8, 故与一2025°角终边相同的最大负角是 5 (-)÷ 此时in0=后，cos0=一 12 sin 0+ 13 -225 95 [例2](1)答案 2对ncos0-- 当m<0时，sina一 a-- 69故A项正确，B项错 解析由巴知得。一子，R=10cm 误，CD项正确，故选ACD, 时2ina十csu=2×(-子）+号 所以1-eR-号×10-1g(am 即时调练(1)答案 解析0为第二象限角，则sin0>0,cos0 S=R=×号×102 1 所以2na十c0sa的值可能为号或 <0 -50x(cm2). 3 一子故选Cm 若tn0= 2,则有 (2)答案受 sin 0+cos0-1, 即时训练(1)C由题意得点P(一8m, CD AB 解析设国心角为a,则a一O品一1 -3),r=√64m+9, 解得 所以cosa一 一8m cos0--25 3 /64m+9 所以OA十A解得OA-1m,所以 1 OD-2 m. 所以m>0,解得m一 所以sin0+cos0 5 468 (2)答案 (1+cas0)(1-co80) (2)答案 (1-cs0)日 [-3-] 解析 周为0∈(0，受入则sim0>0… (1+cos0)1-cas0) 解析 ◆f)=sim(2025+） (1+cos0)2 cos 0>0. sin(2025x+x)-2, 1-cos20 √/1-cos20 又月为m0-0号-之，则cos0 1-cos 0 1+cos0 f(r)-cos2r+sin r-2=-sin2+ cos 0 sin0 sin 0 sin x-1, 2sin0, 1-cos 0 1+cos 0 cos20+sin20-4sin20+sin20-5sin20 sin 0(1+cos 0)-sin (1-cos -1, (1-cos0)(1+co50) 又simx∈[-1,1]，所以f(x)∈ 解得血0一华我如0- 巨（合· 5 2sin dcos 0 2cos 0 2×(-25 5 [-] 所以sin0-cos0=sin0-2sin0=-sin0 sin20 sin 国为关于的方程sm(205+） 5 =一4.故这A sin(2025x十x)-2-u-0有实数解，/ (2)答案18 [例2](1)C'sin(π+a)-- 3,可得in0 oe[-3,-] 解析由sin(3x十0)一 。= 所以口的取值范西为[一3，一子]· 3 cos(x-2a)=-cos 2a=-(1-2sin 第三节两角和与差的正弦、 cos(x+0) -2x(台)广-1-云 六os0Lco(x+0)- 余弦和正切公式 c0s(0-2x) (2)B 图为血(+导)一是 im(0-)eos(0-x)-in(竖+0） 夯实·必备知识 知识整合 所以（管-…）-m[登-（各-）] -cos 0 cos 1.(1)cos acos 8+sin asin B (2)cos acos 8 cos 0(-cos 0-1) -cos 0+cos 0 -sin asin B (3)sin acos B-cos asin B -sm(+吾)-最 1 1 -1+cosB十1-cos0 (4)sin acos B+cos asin B 延伸探究 2 自我训练 (1+cos0)(1-cos0) 1.(1)V/(2)×(3)×(4)× 答案一吉 2 2 1-o0i证018. 2.C3B4号 解析周为o(答十a）--子 即时训练(1)答案②③⑤ 研磨·高考题型 所以m(经+a）-im(受+晋+a) 解析周力如号一。 [例】(1)A周为0<a<受<K,os -cos(答+a）-子 对于①，当1=2头，k∈Z时，m(m+号） 即时训练(1)A原式= m(2k+停）-m号-n(x+子） sim0-xcas(号+0）cos0 cos Osin(-0) √/1-sin月 (sin 0)(-sin 0)cos 0-sin 0. cos (-sin 0) 当-2必+1，k∈Z时，血(ux+号) =√-()= 2答案一号 in(2k+x+餐)-sim(x+) 则cos(a十B)=cos acos B-sin asin- 解析因为tana=一2， 如(2x+骨)-血音-故①不满 ×(-)-×--器故 所以sina+5cos(2r-a) 3sin(经+a）+sima 足要求： 选A (2)D由sin(a十B)-2 sin asin B得 sin a+5cos a tana十5 对于②.cos(2nm+吾）-c0s吾- -3cos a+sin a -3+tan a 2 sin acos 8+cos asin B-2sin asin B -2+5 3 故②满足要求： sin acoscos asin9-231十，L sin asin B tan a'tan 8 [例3](1)A周为cos(0-x)--cos0 对于③，sim(2mx十子）-n子- =2,进而可得ana十a里=2今tan otan 故③满足要求： tan atan B -25则-26 5· 时于@eor[(2+10g-吾] g=子所以m(a+)=巴 又因为日为弟二限角，则sim0 3 -6.故选D 0√-(2）-，因 =c0s(x-）=-0s吾= 不满足要求： 1+cos 0 1-cos 0 对于m[(2m+1Dx-晋] 即时训练1)A由am(e+受)）= 此 1-sm(受-0 1+如(0-) tana十l=9 1-tan a 1+cos 0 1-cos 0 1-c0s 0 1+cos0 要求 解得m。一号 469金榜题名创新高考总复习数学 (2)(多选)(2025·南昌模拟)已知角a的终 [思维升华 边经过点P(-4m,3m)(m≠0)，则2sina十 (I)利用三角函数的定义，已知角α终边 cosa的值可能为 ( 上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值； A号 已知角α的三角函数值，也可以求出点P的 坐标 c号 n-号 (2)利用角所在的象限判定角的三角函 数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终 [尝试解答] 边在坐标轴上的情况， [即时训练] (1)已知角a的终边过点P(一8m,一6sin30), 且cosa=一 5,则m的值为 B.- 2 c (2)(2025·贵州毕节质检)若ne>0, tan a tanc<0,则a是 ( cos a A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 请完成课时作业（二十六） 第二节同角三角函数基本关系式及诱导公式 [课标要求]1.理解同角三角函数的基本关系式na十cosa=1,ng=1ana(a≠受十kx,k∈☑， cos a 2.掌握诱导公式，并会简单应用。 夯实·必备知识 》 ■ 知识整合 余弦 cosa 正切 tan a 1.同角三角函数的基本关系 -tan a 口诀 奇变偶不变，符号看象限 (1)平方关系：sin2a十cos2a=1. (2)商数关系：ng=tmaa≠受十kr,k∈Z 【常用结论】 cos a 同角三角函数的基本关系式的常见变形 2.三角函数的诱导公式 (1)sin'a=1-cos'a=(1+cos a)(1-cos a); 公式 二 三 四 五 六 cos'a=1-sina=(1+sin a)(1-sin a); 角 2kπ+a(k∈Z 十a r一a -e +a (sina±cosa)=1±2 sin acos a. 正弦 sin a (2)sina=tan acos a≠受+km,k∈Z 70 第四章三角函数与解三角形 自我训练 2.已知a是第二象限角，且cosa=一 则 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 tana的值是 “/”或“X”) B② (1)当a为钝角时，cos(π一a)=cosa. 号 3 c D.-2√2 (2)若n(2ra)=号k∈D,则na=号 3.若na=5,5<a,则ama等于() 52 ( A.-2 B.2 (3)若a,3为锐角，则sina十cos3=1. c D- (4)若a∈R,则tana=s加g恒成立.( 4若ae(受，cos(xa）=号，则ma= cos a 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一同角三角函数基本关系式 [思维升华] [例1](1)(2025·四川遂宁质检)若tan0= (1)利用sin2a十cos2a=1可以实现角a 3,9∈(0，x),则cos9的值为 的正弦、余弦的互化，利用ng=tana可以 cos a A号 实现角α的弦切互化. (2)形知asin a士cose,asin'a十lsin acos a c D.-者 csin a+dcos a' 十cc0sa等类型可进行弦化切. (2)(多选)(2025·河南周口质检)已知cos0 (3)对于sina十cosa,sin acos a,sina m0=器2且0e(受下 =4-2m 4-2m cosa这三个式子，利用(sina士cosa)2=1士 面选项正确的是 2 sin acos a,可以知一求二. A.m=8 [即时训练] B.m=0或m=8 （)设0为第二象限角，若1an0=一2，则 C.sin a>cos 0 sin 0+cos 0= D.sin0+2sin Ocos -169 95 (2)(2023·全国乙卷)若0e(0,)tan0 [尝试解答] 2,则sin0-cos0= 题型二 诱导公式 [例2](1)(2025·安康模拟)若sin(π十a)= 专则cos(红一2a)等于 () A号 7 C.5 7 D.一25 71 金榜题名创新高考总复习 数学 (2)已知sma+)=号则o(答-a)等于 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导 公式的综合应用 ( [例3)(1)已知0为第二象限角，且cos(0-π)= B号 25 则 1+cos 0 1-cos 0 5 D贵 sin( - 1+inl(0-） 3 c- 的值是 延伸探究 若把本例(2)中条件换为 A.-4 B.4 “cos(+)=一号”，那么sin(+a)的值 c D.-1 为 cos(π+0) [尝试解答] ②尼知n(3x+0-号则s9司 cos(0-2π) 的值 sin()cos(0-x)-sin() 为 [尝试解答] [思维升华] (1)利用同角三角函数基本关系式和诱 导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论 [思维升华] 间的联系，灵活使用公式进行变形 诱导公式的两个应用 (2)注意角的范围对三角函数值符号的 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为 影响， 终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为 [即时训练] 终了 (1)(2025·大连模拟)已知下列三角式： [即时训练] ①sin(m+）:②os(2mx+晋）： sin(0-5元)cos(--0）os(8r-8) (1)化简： ③sim2mx+5）:④cos[(2m+1)x-若]， sng-经）sm-g4 ⑤sin[（2m+1)x一引.(n∈)，其中与sin写 等于 ( ) 的值相同的是 A.-sin0 B.sin C.cos 0 D.-cos 0 (2②已知关于x的方程sm225+ (2)(2025·昆明质检)已知tana=一2，则 sin(2025π十x)一2一a=0有实数解，则实数 sina+5cos(2π-a) a的取值范围为 3sin(a)+sin a 请完成课时作业（二十七） 72