第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四章三角函数与解三角形 第一节任意角和弧度制、三角函数的概念 [课标要求]1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必 要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 夯实·必备知识 >》 知识整合 3.任意角的三角函数 1.角的概念 (1)定义：设a是一个任意角，a∈R,以它的 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半 旋转所成的图形。 轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交 (2)分类 于点P(x,y),那么y=sina,x=cosa,兰= x 按旋转方向不同分为 按终边位置不同分为 和轴线角. tana(x≠0). (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不 (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、 同方向旋转 的量所成的两个角叫做 二正弦、三正切、四余弦，如图 互为相反角.角α的相反角记为 y (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的 0末 角，连同角a在内，可构成一个集合S={βB sin a cos a tan a =a+k·360°，k∈Z (3)定义的推广 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 的圆弧所对 设P(x,y)是角a终边上异于原点的任一 的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号 点，它到原点的距离为r(r>0),那么sina rad表示. =义，cosa=子，tana=(x≠0). (2)公式 【常用结论】 角α的弧度数公式 a= (弧长用1表示) 1.象限角 角度与弧度的换算 180 rad;1 rad= 180 第一象限角 a2kT<a<2kw+7.kEZ 第二象限角{2kπ+受<a2km+m,keZ 弧长公式 弧长= 的集 第三象限角 +w<a<.kEZ 扇形面积公式 S tlr-tla 第四象限角 <a<2kr+2r,k∈Z 67 金榜题名创新高考总复习 数学 2.轴线角 (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位 置有关 ( 终边落在x轴上的角Kaa=m,k∈Z} (4)若sina>0,则a是第一或第二象限角. ( 角 终边落在y轴上的角 {aa=+m,eZ 2.下列各角中，与2183°角终边相同的是 合 终边落在坐标轴上的角@a=气，kE乙 A.-239 B.23 3.若角a∈(0，），则sina<a<tana. C.-47 D.47 3.已知角0的终边过点P(-12,5),则sin0+ 自我训练 cos0等于 ( 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 A号 “√”或“X”) (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是 C.3 D. 1 锐角. ( 4.时钟走了3小时20分，则时针所转过的角 (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角 的度数为 ,分针转过的角的度数为 终边一定相同. ( ) 研磨·高考题型 >》 题型一角及其表示 [微拓展] [例1](2025·宁波模拟)若a是第二象限 角，则 号终边所在位置 ) A.一α是第一象限角 若0分别为第一、二、三、四象限角，则号 B.是第三象限角 的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图 所示 C暨十a是第二象限角 D.2a是第三或第四象限角或终边在y轴非 正半轴上 四 [尝试解答] 典例 (1)已知角&是第二象限角，且 cos 2 受则角号是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)(多选)(2025·江西宜春质检)如果a是 第三象限的角，那么号可能是下列哪个象限 的角 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 68 第四章三角函数与解三角形 [思维升华】 [尝试解答] (1)利用终边相同的角的集合可以求适 合某些条件的角，方法是先写出与这个角的 终边相同的所有角的集合，然后通过集合中 的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角， (2)确定a,是(k∈N)的终边位置的 方法 先写出如或名的范围，然后根据k的可 能取值确定如或是的终边所在的位置。 [思维升华] [即时训练] 应用弧度制解决问题时应注意 (1)(2025·临沂模拟)若a是第一象限角， (1)利用扇形的孤长和面积公式解题时， 则下列各角中属于第四象限角的是( 要注意角的单位必须是孤度 A.90°-a B.90°+a (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化 为二次函数的最值问题. C.360°-a D.180°+a (3)在解决孤长问题和扇形面积问题时， (2)-2025°角是第 象限角，与 要合理地利用圆心角所在的三角形 一2025°角终边相同的最小正角是 [即时训练] 最大负角是 (1)(多选)(2025·广安模拟)已知扇形的周 题型二弧度制及其应用 长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有 [例2](1)已知一扇形的圆心角。=号，半径 () A.圆的半径为2 R=10cm,则此扇形的弧长为 cm, B.圆的半径为1 面积为 cm2. C.圆心角的弧度数是1 (2)(2025·上海松江质检)建于明朝的杜氏 D.圆心角的弧度数是2 雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑 (2)(2025·江苏苏州质检)已知一个扇形的 内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕 周长为8，则当该扇形的面积取得最大值 刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致 时，圆心角大小为 ( 细腻、气韵生动、极富书卷气.如图是一扇环 A B晋 形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形 c D.2 OAB所得部分，已知AD=1m,AB=m, 题型三 三角函数的概念 CD= m,则此扇环形砖雕的面积为 3 [例3] (1)已知角0的终边经过点 m P(停，-》则os0等于 A-司 B③ C.-√3 5 D.3 69 金榜题名创新高考总复习数学 (2)(多选)(2025·南昌模拟)已知角a的终 [思维升华 边经过点P(-4m,3m)(m≠0)，则2sina十 (I)利用三角函数的定义，已知角α终边 cosa的值可能为 ( 上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值； A号 已知角α的三角函数值，也可以求出点P的 坐标 c号 n-号 (2)利用角所在的象限判定角的三角函 数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终 [尝试解答] 边在坐标轴上的情况， [即时训练] (1)已知角a的终边过点P(一8m,一6sin30), 且cosa=一 5,则m的值为 B.- 2 c (2)(2025·贵州毕节质检)若ne>0, tan a tanc<0,则a是 ( cos a A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 请完成课时作业（二十六） 第二节同角三角函数基本关系式及诱导公式 [课标要求]1.理解同角三角函数的基本关系式na十cosa=1,ng=1ana(a≠受十kx,k∈☑， cos a 2.掌握诱导公式，并会简单应用。 夯实·必备知识 》 ■ 知识整合 余弦 cosa 正切 tan a 1.同角三角函数的基本关系 -tan a 口诀 奇变偶不变，符号看象限 (1)平方关系：sin2a十cos2a=1. (2)商数关系：ng=tmaa≠受十kr,k∈Z 【常用结论】 cos a 同角三角函数的基本关系式的常见变形 2.三角函数的诱导公式 (1)sin'a=1-cos'a=(1+cos a)(1-cos a); 公式 二 三 四 五 六 cos'a=1-sina=(1+sin a)(1-sin a); 角 2kπ+a(k∈Z 十a r一a -e +a (sina±cosa)=1±2 sin acos a. 正弦 sin a (2)sina=tan acos a≠受+km,k∈Z 70在(0，十)上单调递增，故h(x)≥h(0) .当0<x<e时，f(x)>0:当x>e时， =0 (x)<0, 又h(-)=-<0+， 则≥x十1，当且仅当x=0时，等号 .f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞) 成立， 上单调通诚， 故函数y=f(x)一3仅有一个零点. 国为f(r)-a(e十a)-r-ae十a2-x 六f(x)mx=fe- -e+ha +a2-r2r+In a+1+a2-r. e 当且仅当x十lna一0，即x=一na时， (ta)--lnr-ar 等号成立， (2)证明/(x) 所以要运/)>2u十是，即运x+ _I-Inx 3 lna+1+a2-x>2na+ 由(1)知，f(x)在(0，e)上单调递增，在 (e,十o)上单调递诚， 即d2--l>0, 0<a<1, 第四章三角函数与解三角形 令g(a)=a2- -laau>0 ∴当x>e时，fx)=lhr+ar=a+n 第一节任意角和弧度制、 1=22-1 >0. 三角函数的概念 则g(a)=2a- 故f(x)在(e,十o∞)上无零点： 夯实·必备知识 令g(a)<0,则0<a<号：令g(a)>0 当0<r<e时，r)-nx十ar 知识整合 1.(1)端点(2)正角负角零角象限 则a> f(日)-a-e<0,f(e)=a+>0, e 角(3)相同一a 且f(x)在(0，e)上单调递增， 2.(1)半径长(2)lar 所以g)在(0，号)上单调递减，在 f(x)在(0，e)上有且只有一个零点， 自我训练 (号+)上单调遥特. 综上，f(x)有且只有一个零点， 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 即时训练解(1)周为f(x)-(2x2+ 2.B3.D4.-100°-1200 m)(x-m+2)=2x3-2(m-2)x2+mx 所以Ra)-g(号)-（号）-立- 研磨·高考题型 一m(m一2)为奇函数， In In 0. 所以可知f(x)的定义城为R,且f(x)+ [例】D国为▣是第二象限角，所以受 2 f(-x)=0, 十2kπ<a<x+2kx,k∈Z.对于A,可得 则g(a)>0恒成立， 即2x-2(m-2)x2十mx-m(m-2)十 2(-x)3-2(m-2)(-x)2十m(-x) 一元一2x<-a<-受-2：k∈么，此 所以当a>0时f>2ha十号恤度 m(m一2)-0， 时一a的终边在第三象限，所以一口是第 立，证毕 即-2(m-2)x2-m(m-2)=0, 即时训练解(1)图为f(x)=x21nx, -2(m一2)=0：解样m=2. 三象限角，A错误：对于B,可得平十x x>0, 所以{-m(m一2)-0： <号<受+kx,k∈工，当k为偶数时，号 所以(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1), (2)证明：①当m>0时，2x2十m>0, 由了(x)-0,得x=e-÷. 所以函数f(x)一(22十m)(x一m+2) 的终边在第一象限：当免为奇数时，号的 不可能有两个零点，此时不合题意： 当r∈(0，e+)时，广(x)<0: ②当川<0时，令f(x)=0,解得： 终边在第三象限，所以受是第一或第三 当r∈(e,十o∞)时，f广(x)>0. 一共我m-2, 象限角，B错误：对于C,可得2π十2kπ< 故f(x)的单调递减区问为(0，e寺)，单 2 受+。<受+2AeZ.即2k+1Dx< 调递增区阆为(e一+，十c∞). 又为√受>0√ 2 <0,m一2 (2)证明f(x)≥x-1等价于1nr <0. 受+。<受+2+10∈乙.所以受+ 所以要使得(x)仅有两个零点，则m一2 。的终边在第一泉限，所以受十口是第一 令西数8)-lnr一学>0 象限角，C错误：对于D,可得π十4x 即2m2一7m十8=0，此方程无解，此时不 2a<2x十1kπ，b∈Z,所以2a是第三或第 则g'(-1-2=-2+r-2 合题意： 四象限角或终边在y轴非正半轴上，D 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调 ③当m=0时，即f(x)=2x3十4x2, 正确， 令f(x)=0,解得x=0或x=-2,符合 微拓展 递减： 典例(1)C因为角：是第二象限角， 当r∈(1，+)时，g(x)>0,g(x)单调 题意，所以m一0， 所以90°+k·360°<a<180°+k· 递增. 令h(x)=f(x)-3=2x2+4x2一3，则 故g(r)≥g(1)-0, h(x)-6x2+8xr-2x(3x+4), 360°(k∈Z), 即f(x)≥x-1. 令(>0，解得>0或<-寸，令 所以45°+是·180°<号<90°+友· [例3]解1)若a-0,则f(r)-血三 A()<0解-<K0 180°(k∈Z), 当k是偶数时，设k=2(n∈Z),则45 其定义域为(0，十0∞)： if(n)-I-ht, 故6在(-0，一号)(0，十)上运 +n·360'<号<0+n:360(n∈Z 由广(x)=0,得x-e, 增，在(-子，0）上递减 此时号为第一象限角： 467 当是是奇数时，设k=2n十1(n∈Z),则 1.C① 所以此扇环彩砖雕的面积为 (2)答案D 225°+n·360<号<270+n· 解析由ina =c0sa>0, tan asin a 0D-号m0A-×经×2-号 【ana cos a cos a 360°(n∈Z), <0,得cosa>0,sina<0,所以a是第四 此时受为第三象限商 音×1=受m㎡ 象限角，故运D. 综上所迷：受为第一象限角或第三象 即时训练(1)ABC设扇形半径为r 第二节同角三角函数基本关系式 圆心角孤度数为a, 及诱导公式 限角， 2r+ar-6, 则由题意得1 2ar2=2, 夯实·必备知识 知识整合 ≤0，所以号为第三象限角.故选C 解得 /r-2, 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a (2)ACDa是第三象很的角，则a∈ a-4 a-1, -cos a cos a -cos a sin a -sin a (2x+x,2张x+)k∈Z, 可得当圆的半径为1时，圆心角的孤度 tan a 一tnna 数为4：当圆的半径为2时，圆心角的孤 自我训练 所以号∈（号x+晋，号x+受） 度数为1. 1.(1)×(2)×(3)×(4)× (2)D设扇形的半径为r,弧长为l,由 已知得2r十1-8， 2.DaD-号 当k-3mn∈Z,号∈(2m+5,2m+受) 研磨·高考题型 n∈Z,在第一象限： 扇形面积为S-言-是(8-2r)r一 当k-3m+1”∈么.号 （4-rr≤[4-r)+r-4. [例】(A周为n0=青，片以号 cos 8 (3m十x2十答)n∈Z,在第三象限： 当且仅当4一r一r,脚r一2时等号成立， 此时1一4，剥圆心角a=上=2，故选D. 当k-3m+2,”∈2，号∈ 周为im0+cos0-1,所以号cos0+ [例3](1)B ()+()=1,故 3 (2x+受2mx+)n∈z.在第四 co30-1,解得cos0-±亏· 象限： P在单位圆上，根据三角函数值的定义， P的横坐标的值即为cosa,故co80= 月为m0=言>0,0E(0.x).所以0e 所以号可以是第一，第三或第四象限角 孕收建瓜 (0,受)：所以c0m0=是故选A 故选A(CD. 即时训练(1)C若a是第一象限角， (2)CD已知角a的终边经过点 (2)ACD 则90°一a的终边在第一象限，90°十a的 由m0-m0 P(一4m,3m)(m≠0)， 终边在第二象限，360°一a的终边在第四 一3 所以sina一 3m -2,可得sin0-cos0Xnn0-m-3 m+5 象限，180°十a的终边在第三象限，故C 是第四象限角。 √(-4m)+(3m)月 'sin20+cos20-1, 3m 一4加 (2)答案二135 -225 T5mT cos a (》+( -1, 解析周为一2025°-一6×360°+135°， /(一4m)+(3m) 所以一2025°角的终边与135°角的终边 一1加 解得m一0戏m一8. 相同。 -5 ,sin0>0,cos0<0,经检验，当m=0 所以一2025°角是第二象限角，与一2 3 当m>0时，sina一方，osa一 5 时，0s0=4仁20>0，不合题意 025°角终边相同的最小正角是135°， m十5 又135°-360°=-225°， 3 此时2sina十cosa=2X m-8, 故与一2025°角终边相同的最大负角是 5 (-)÷ 此时in0=后，cos0=一 12 sin 0+ 13 -225 95 [例2](1)答案 2对ncos0-- 当m<0时，sina一 a-- 69故A项正确，B项错 解析由巴知得。一子，R=10cm 误，CD项正确，故选ACD, 时2ina十csu=2×(-子）+号 所以1-eR-号×10-1g(am 即时调练(1)答案 解析0为第二象限角，则sin0>0,cos0 S=R=×号×102 1 所以2na十c0sa的值可能为号或 <0 -50x(cm2). 3 一子故选Cm 若tn0= 2,则有 (2)答案受 sin 0+cos0-1, 即时训练(1)C由题意得点P(一8m, CD AB 解析设国心角为a,则a一O品一1 -3),r=√64m+9, 解得 所以cosa一 一8m cos0--25 3 /64m+9 所以OA十A解得OA-1m,所以 1 OD-2 m. 所以m>0,解得m一 所以sin0+cos0 5 468