第5节 指对同构问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三章一元函数的导数及其应用 题型三 利用f(x)与sinx,cosx构造 [思维升华] 函数 函数f(x)与sinx,cosx相结合构造可 [例3](2025·成都质检)记函数f(x)的导 导函数的几种常见形式 函数为(x),若f(x)为奇函数，且当x∈ F(x)=f(x)sin x, (-受，0）时恒有f()cosx+f()sinx>0 F(x)=f(x)sin x+f(x)cos x; 成立，则 F(x)=f(z) sin x A.f(->2f(-) F(r)=f()sin z-f()cos B.f(>-f-) sin'x F(x)=f(x)cos x, C.Bf)>2f》 F'(x)=f(x)cos x-f(x)sin x; D.f(-F>-5f5) F(x)=f(x) cos x [尝试解答] F(r)=f(x)cos r+f(r)sin x cos x [即时训练] 已知函数f(x)的定义域为（一受，）且对 xe(受》有f()cosx<fx)sinx 则关于x的不等式2f(x)< 的解集为 cos x 请完成课时作业（二十三） 第五节指对同构问题 [重点解读]把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函 数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混 合的等式或不等式问题 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一同构法的理解 [尝试解答] [例1]若e+a>b+lnb(a,b为变量)成立， 则下列选项正确的是 () A.a>In b B.a<ln b C.In a>b D.In a<b 63 金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] 命题点3d+lnd与x十e同构 利用恒等式x=lne'和x=enr,通过幂 [例4]对于任意的x>0,e≥(a-1)x+ 转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后 ln(ax)恒成立，则a的最大值是 由构造的函数的单调性进行研究。 [尝试解答] [即时训练] 已知不等式ax十e“>ln(bx)+bx进行指 对同构时，可以构造的函数是 ( A.f(r)=In x+x B.f(x)=xIn x C.f(x)=xe D.f=号 题型二同构法的应用 命题点1alna与xe同构 [例2]设实数k>0,对于任意的x>1,不等 式ker≥lnx恒成立，则k的最小值为 [尝试解答] [思维升华] 命题点2be与xlnx同构 常见的同构函数有：①f(x)=血 [例3](2025·南京模拟)设a,b都为正数，e 为自然对数的底数，若ae<blnb,则 @f(x)=xlnx:③f(x)=xe';④f(x)=Y ( A.abe B.be" 其中①④可以借助--专②©可以 C.ab<e D.b<e" 借助xe'=(lne)e=(lnt)t=tlnt进行指 [尝试解答] 对互化. [即时训练] (1)(2025·武汉模拟)已知a>0,若在 (1,+∞)上存在x使得不等式e一x≤ x”一alnx成立，则a的最小值为 (2)若对任意x∈[e,十o∞)，满足2x1nx me≥0恒成立，则实数m的取值范围是 请完成课时作业（二十四）、必刷小题5 64第四节函数中的构造问题 [例3]B令g(r)=fx)inx,则g'(x) 法二：由e十a>b+lnb, -f(r)cosr+f'(r)sin r. 可得e十lne>b十lnb, 研磨·高考题型 当xE(-受，0）时恒有f(x)osx+ 令g(x)-x+lnr,则g(e)>g(b), [例D设gx)= ,x≠0. 国为g(x)在(0，十∞)上是增函数， f(x)simx>0,所以g(x)>0, 所以e>b,即a>lnb. 因为f(x)是定义在R上的锅函数， 所以f(一x)-f(x). 则g()-f(x)simr在(-受，0）上单 即时训练A由恒等式r=ln心可得 ax=In er 周为g(-=二卫=-但-g. 调递增， 一x 所以ax十ew>ln(hr)十b.x可变形为 所以g()为奇函数， 所以(-吾)>g(-于) In cr +eur >In (br)+br, 所以g(一2)-一g(2). 构造函数f(r)-lnr十x, 图为f(-2)=0, 期-(-吾)>(-) 可得f(er)>f(br). 所以g(-2)=g(2)=0. 当r>0时，g)--f<0. 脚f(-吾)<巨∫(-平)小，选项A [例2】答案吉 x2 错误： 解析由k也≥lnr得kr≥xlnr, 所以g(x)在(0，十o)上单调递减， 即ereb≥enr·lnx, 光时不学式四>0的解桑是〔0,2. (-吾)>g(-子)： 令f(x)-re,则fkr)≥f(lnx). r 因为g(x)为奇西数，图象关于原，点 则-(-吾)>-(-吾)： 国为f(x)=(x十1)cC, 所以f(x)在（一1，十∞）上单调递增 对称， 所以g(x)在(-∞，0)上单调递减， 即（答）>-(-子)：选项B 因为kx>0,lnx>0,所以kx≥lnx, 所以当<0时，不等式卫>0的解集 正确： 即公血王 x x 是(-0∞，-2). (-吾)<s(-) 令h(x)=血5(x>1),则(x) 标上所述，不等式卫>0的解条是 则/(-÷)>E/(-) =1-Inr (-6o,-2)U(0,2). 即时训练B因为函数f(x)在R上满 又f(x)为奇函数， 当x∈(1，e)时，h'(x)>0.h(x)单调 足f(r)-f(-x), 所以∫（受）<巨f(干)，选项C 递增， 所以函数()是偶函数， 错误； 当x∈(e,十oo)时，h'(x)<0,h(x)单调 令g(x)=xf(x),则g(x)是奇画数， 递减。 g'(r)-f(r)+rf(r). 由f(-誓)>(-千)得 由题意知，当r∈（一9o,0]时 所以()=h(e-，即k≥ 1 e e f(x)十x(x)<0成立， -f(）>E(-平)，选项D错 所以g(x)在（一∞，0]上单调递减， 所以长的最小值为是 误，故选B, 又g(x)是奇西数， [例3]B由ae<inb, 所以g(x)是减函数 即时训练 答案（受，受) 得elnc<lna. 周为2.0>1.0<lh2<1.loRs8=-3 解析令(r)=f(x)·cosr,r∈ 设f(x)=xlnx(x>0), <0, (-,受)小 因为a>0,所以e>1, 因为b>0,且lnb>ae>0,所以b>1. 所以1bg言<0<ln2<1<26, '(r)-f(r)cos -f(r)sinr. 当r>1时，/(x)-lnx十1>0， 依题意知：(r)<0, 则f(x)在(1，十o)上单调递增， 又a=26).b-gn2c=g(gg） g(x)是减函数， eln e<blnb.f()f(b). 所以c>b>a. “r(-受受) 所以e“<b. [例2]B设g()=四，剥g(r) e :cos r>0, [例4门答案e 解析由c心≥(a-1)x十ln(ar), =()-fx er () 可得e'十r≥a.r十ln(a.r), .2f(x)< 可化为f(x)·osx 国为f(x)<(x),即广(x)-f(x)>0, cos 即e+x≥en(m）+ln(ar). 所以g'(x)>0,g(x)为增函数， <( 令f(x)=e+x,则fx)≥f(ln(a.x). 则2021<f2025）,即ef2024)< 因为f(F)在R上是增函数， e22 即r)<g(晋）小故号<r<受 f(2025). 所以r≥h(ar,即a<号 即时训练答案(3，十∞) “原不等式的解集为（号，受） 解析设F(x)-f()·e,则F(.x) 令h(x)-兰(>0，别公() '(x)·c+f(x)·c2=e心[f(x)+ 第五节指对同构问题 -(r-1)e f(x)]>0, ,F(x)是增函数 研磨·高考题型 当x∈(0,1)时，h'(x)0,h(x)单测 又f(3)-3,则F(3)-f(3)·e2-3e. [例1门A法一：由c+a>b+lnb, 递减； f(x)>3e-r等价于f(x)·e>3e2, 可得e十a>enb+lnb, 当x∈(1，十∞)时，(x)>0,h(x)单调 即F(x)>F(3), 令f(x)-e+x,别f(a)>fnb), 递增， ,r>3,即所求不等式的解集为 因为f(x)在R上是增函数，所以a> 所以h(x)ain=h(1)=e,即a≤e (3,+∞)， In b. 所以a的最大值是e 465 即时训练(1)答案e 法二：（分离参数法） 解析一eu一emr,不等式即 由f≥0，可得号2--2a（r一n 因此g(x)<0在(0，受]上恒成立， 为e-x≤elmr-alnx, R)在(0，受]上单调适减， a>0且r>1,alnr>0, x)≥0. 设y=e一x,x∈(0，十∞)， 构造函数h(x)=r一lnr,r>0, 则y=心-1>0， 别≥（受）是由龙可知u< 故y一e一x在(0，十oo)上单调追增， 期)=1-是=号 是，于是实数口的最大位为二 r≤alnx,即u>n 由h'(x)>0,得x>1:由h'(r)<0,得0 [例2]解(1)因为f(x)-a(e+a) <r<1, x,定义城为R, 即存在x∈(1，十∞)，使a>n 所以h(.x)mm-h(1)-1>0, 所以f(r)=ae-1, 所以x-nx>0, ≥(） 当a≤0时.由于c>0,则ac≤0. 所以原不等式等价于2a≤夏【 故f(x)=ae-1<0恒成立， 镜)=>， 所以f(x)是减函数： In r-1 当a>0时，令了(x)-ae一1-0，解得 则广(x)- Inx 令g(x) 4-In>0 r=-Ina, 当x∈(1.c)时，f'(x)<0: 当x<-lna时，了(x)<0,则f(x)在 当x∈(e,+oo)时，f(r)>0, (x-1)(x+1-ln） (一o,一lna)上单调逃减： ∴.f(r)在(1，e)上单调递减，在(e,十oo) 则g'(x)- (r-In r) 当x>-lna时，了(x)>0,则f(x)在 上单调递增， 1 (一lna,十∞)上单调递增. f(x)mn=f（e)=ea≥e 令g(x)=乞+1-lnxx>0, 棕上，当a≤0时，f(x)是减函数： 故a的最小值为e. 当a>0时，f(x)在(-∞，-lna)上单调 (2)答案(-∞，2e] 则云， 递减， 解析由2 r'Inr一me≥0， 由g'(x)>0,得x>2:由9'(x)<0,得 在（一ln4,十oo)上单调越增. 得22lnr≥me导， 0<x2, (2)证明法一：由(1)得，当a>0时， 脚2r1nr>me产 易知P(x)在(0,2)上单调递减，在 f(r)min-f(-In a)=a(e ha +a)+ (2,十∞)上单调递增， In a 脚r21nr2≥”e, 所以g(x)≥g(2)-2-ln2>0, r =1+a2+lna, 所以当x>1时，g'(x)>0: 即lnr2·eh≥me5, 3 当0<x<1时，g(x)<0, 要证/(x)>2ha+,即证1+a+ 令fr)=xe,则fhr)>f(g) 所以g(x)在(0,1D上单调递诚，在(1，十∞) nu>21na+子 成立， 上单调追培以>D-一子 利用函数∫(x)一xe的单调性可知 即运心2-之-n>0他成2. hr≥婴恤成主，脚m≤2hr(r≥e 由2a≤-号得a<-十，故实数a的取 1 令ga）-a2-立-lhaa>0. 所以m≤2e 值范满为(，门 则g(a)-2a-1-2a2-1 d 第六节导数的综合应用 即时训练解(1)当a一1时，f（x)一 sin r-r,(r)=cos r-1. 研磨·高考题型 ◆Ro<0则0<a<号◆Ra>0 [例1门解法一：（求最值法） 于是（受）=1-受（登）=-1， f(x)的定义域为(0，十oo),因为f(x)≥ 0恒成立， 则画数fx)在点（受，（受）处的切 所以f(x)in≥0： 钱方程为 所以g@)在(0，号）)上单谓造减， 了(x)=x-(2a+1)+4= y=-(-)+1-,即y=-x 在（竖，+）上单调递增， -(2a+1x+24-x=1)(x-2a + x 所以go-()-()-号 当a≤0时，由f(x）>0,得x>1: 2周为f0在(0，受]上版成 由(x)<0,得0<x<1, 所以n兰>0在(0，受]上恒成立 n号-nE>o 所以f(r)在(1，十∞)上单调递增，在 则g(a)>0位成立， (0,1)上单调递减， 所以/c）m=j①=-号-2a 设g)-re(0,受]期g( 所以当a>0时，()>2na+号恒成 -rcos r-sin r 立，证毕 由-号一20≥0，可得a<-片 法二：令h(x)=e-x-1, 当。>0时，注意到1)=一 -2a< 令y=osx sin(0,]，则y 则(x)一e-1,由于y-e是增函数， 所以h'(x)=c一1是增画数， 0,不符合题意， -rnr<0在(0，受]上桓成立 又h'(0)=e一1=0，所以当x<0时， 故≤一子，即务数。的取值花国 为(-，] 周此y0上一mr在(0，受]上单 '(x)<0: 当x>0时.h'(x)>0,所以h(x)在 调递减，于是y-rcos一inr<0, (一∞，0)上单调递减， 466