第4节 函数中的构造问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四节函数中的构造问题 [例3]B令g(r)=fx)inx,则g'(x) 法二：由e十a>b+lnb, -f(r)cosr+f'(r)sin r. 可得e十lne>b十lnb, 研磨·高考题型 当xE(-受，0）时恒有f(x)osx+ 令g(x)-x+lnr,则g(e)>g(b), [例D设gx)= ,x≠0. 国为g(x)在(0，十∞)上是增函数， f(x)simx>0,所以g(x)>0, 所以e>b,即a>lnb. 因为f(x)是定义在R上的锅函数， 所以f(一x)-f(x). 则g()-f(x)simr在(-受，0）上单 即时训练A由恒等式r=ln心可得 ax=In er 周为g(-=二卫=-但-g. 调递增， 一x 所以ax十ew>ln(hr)十b.x可变形为 所以g()为奇函数， 所以(-吾)>g(-于) In cr +eur >In (br)+br, 所以g(一2)-一g(2). 构造函数f(r)-lnr十x, 图为f(-2)=0, 期-(-吾)>(-) 可得f(er)>f(br). 所以g(-2)=g(2)=0. 当r>0时，g)--f<0. 脚f(-吾)<巨∫(-平)小，选项A [例2】答案吉 x2 错误： 解析由k也≥lnr得kr≥xlnr, 所以g(x)在(0，十o)上单调递减， 即ereb≥enr·lnx, 光时不学式四>0的解桑是〔0,2. (-吾)>g(-子)： 令f(x)-re,则fkr)≥f(lnx). r 因为g(x)为奇西数，图象关于原，点 则-(-吾)>-(-吾)： 国为f(x)=(x十1)cC, 所以f(x)在（一1，十∞）上单调递增 对称， 所以g(x)在(-∞，0)上单调递减， 即（答）>-(-子)：选项B 因为kx>0,lnx>0,所以kx≥lnx, 所以当<0时，不等式卫>0的解集 正确： 即公血王 x x 是(-0∞，-2). (-吾)<s(-) 令h(x)=血5(x>1),则(x) 标上所述，不等式卫>0的解条是 则/(-÷)>E/(-) =1-Inr (-6o,-2)U(0,2). 即时训练B因为函数f(x)在R上满 又f(x)为奇函数， 当x∈(1，e)时，h'(x)>0.h(x)单调 足f(r)-f(-x), 所以∫（受）<巨f(干)，选项C 递增， 所以函数()是偶函数， 错误； 当x∈(e,十oo)时，h'(x)<0,h(x)单调 令g(x)=xf(x),则g(x)是奇画数， 递减。 g'(r)-f(r)+rf(r). 由f(-誓)>(-千)得 由题意知，当r∈（一9o,0]时 所以()=h(e-，即k≥ 1 e e f(x)十x(x)<0成立， -f(）>E(-平)，选项D错 所以g(x)在（一∞，0]上单调递减， 所以长的最小值为是 误，故选B, 又g(x)是奇西数， [例3]B由ae<inb, 所以g(x)是减函数 即时训练 答案（受，受) 得elnc<lna. 周为2.0>1.0<lh2<1.loRs8=-3 解析令(r)=f(x)·cosr,r∈ 设f(x)=xlnx(x>0), <0, (-,受)小 因为a>0,所以e>1, 因为b>0,且lnb>ae>0,所以b>1. 所以1bg言<0<ln2<1<26, '(r)-f(r)cos -f(r)sinr. 当r>1时，/(x)-lnx十1>0， 依题意知：(r)<0, 则f(x)在(1，十o)上单调递增， 又a=26).b-gn2c=g(gg） g(x)是减函数， eln e<blnb.f()f(b). 所以c>b>a. “r(-受受) 所以e“<b. [例2]B设g()=四，剥g(r) e :cos r>0, [例4门答案e 解析由c心≥(a-1)x十ln(ar), =()-fx er () 可得e'十r≥a.r十ln(a.r), .2f(x)< 可化为f(x)·osx 国为f(x)<(x),即广(x)-f(x)>0, cos 即e+x≥en(m）+ln(ar). 所以g'(x)>0,g(x)为增函数， <( 令f(x)=e+x,则fx)≥f(ln(a.x). 则2021<f2025）,即ef2024)< 因为f(F)在R上是增函数， e22 即r)<g(晋）小故号<r<受 f(2025). 所以r≥h(ar,即a<号 即时训练答案(3，十∞) “原不等式的解集为（号，受） 解析设F(x)-f()·e,则F(.x) 令h(x)-兰(>0，别公() '(x)·c+f(x)·c2=e心[f(x)+ 第五节指对同构问题 -(r-1)e f(x)]>0, ,F(x)是增函数 研磨·高考题型 当x∈(0,1)时，h'(x)0,h(x)单测 又f(3)-3,则F(3)-f(3)·e2-3e. [例1门A法一：由c+a>b+lnb, 递减； f(x)>3e-r等价于f(x)·e>3e2, 可得e十a>enb+lnb, 当x∈(1，十∞)时，(x)>0,h(x)单调 即F(x)>F(3), 令f(x)-e+x,别f(a)>fnb), 递增， ,r>3,即所求不等式的解集为 因为f(x)在R上是增函数，所以a> 所以h(x)ain=h(1)=e,即a≤e (3,+∞)， In b. 所以a的最大值是e 465金榜题名创新高考总复习数学 第四节函数中的构造问题 [重点解读]函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函 数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等 式、恒成立等问题. 研磨·高考题型 》 ■ 题型一利用f(x)与x构造函数 题型二利用f(x)与er构造函数 [例1](2025·信阳模拟)已知f(x)是定义 [例2](2025·枣庄质检)已知f(x)为定义 在R上的偶函数，当x>0时，xf(x)一 在R上的可导函数，f(x)为其导函数，且 f(x)<0,且f(-2)=0,则不等式f)>0 f(x)<f(x)恒成立，其中e是自然对数的 底数，则 的解集是 A.f(2024)<ef(2025) A.(-2,0)U(0,2) B.ef(2024)<f(2025》 B.(-∞，-2)U(2,+o∞) C.ef(2024)=f(2025) C.(-2,0)U(2,+∞) D.ef(2024)>f(2025) D.(-∞，-2)U(0,2) [尝试解答] [尝试解答] [思维升华] (1)出现nf(x)十xf(x)形式，构造函数 F(x)=x”f(x). (2)出现xf(x)一nf(x)形式，构造函数 F(x)=f(x) [思维升华] [即时训练] (1)出现f'(x)十nf(x)形式，构造函数 已知函数f(x)在R上满足f(x)=f(一x), F(x)=ef(x). 且当x∈（一o∞，0]时，f(x)十xf(x)<0成 (2)出现f(x)一nf(x)形式，构造函数 立，若a=2.6·f(2.6),b=ln2·f(ln2), F(.x)=x) e c=logg·fog:君)则a,b,c的大小关 [即时训练] 系是 ( 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)十 A.a>b>c B.c>b>a f(x)>0,且有f(3)=3,则f(.x)>3e3- C.a>c>b D.c>a>b 的解集为 62 第三章一元函数的导数及其应用 题型三利用f(x)与sinx,cosx构造 [思维升华] 函数 函数f(x)与sinr,cosx相结合构造可 [例3](2025·成都质检)记函数f(x)的导 导函数的几种常见形式 函数为f(x),若f(x)为奇函数，且当x∈ F(x)=f(x)sin x, (-,0）时恒有f(a)cosx+f()sinx>0 F'(r)=f(r)sin +f(x)cos 成立，则 F(x)=f(z) sin A.f(->2f(-) F(r)=f()sin z-f(r)cos a B.f(>-f-》 sin'x F(x)=f(x)cosx, C.f)>2f() F'(x)=f(r)cos r-f(x)sin x; D.2f(-平>-3f(） F(x)=f(z) cos x [尝试解答] F()=f(x)cos x+f(z)sin x cos"x [即时训练] 已知函数f(x)的定义域为（一受受），且对 yxe(-,）有f()cosx<fx)sin, 则关于x的不等式2f(x)< 的解集为 cos x 请完成课时作业（二十三） 第五节指对同构问题 [重点解读]把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函 数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混 合的等式或不等式问题. 研磨·高考题型 ■ 题型一同构法的理解 [尝试解答] [例1]若e+a>b+lnb(a,b为变量)成立， 则下列选项正确的是 () A.a>In b B.a<ln b C.In a>b D.In a<b 63