第3节 导数与函数的极值、最值-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三章一元函数的导数及其应用 [微拓展】 [尝试解答] 常见组合函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下 的函数图象对解题有事半功倍的效果 [思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 Dy=xe 2y= ③y= (1)函数在区间(a,b)上单调，实际上就 是在该区间上f(x)≥0（或f(x)≤0）恒 成立 (2)函数在区间(a,b)上存在单调区间， 实际上就是f(x)>0(或f(x)<0)在该区 ④y=xlnx ⑥y=lnx 间上存在解集。 典例（多选）如果函数f(x)对定义域内的 [即时训练] 任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有 (1)(2025·红河模拟)已知函数f(x)=x xf(x)一xfx)>0,则称函数y=f() 十2x-1十(sinx-cosx)2,则不等式f(x x1一x2 -2x)十f(2-x)>0的解集为 为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是 (2)已知函数f(x)=ax+(x-1)e在区间 [1,3]上不是单调函数，则实数a的取值范 A.f(x)=e B.f(x)=x" 围是 ( C.f(x)=In x D.f(x)=sin x e27 命题点2根据函数的单调性求参数 [例4](2025·海口模拟)若函数f(x)= c.(- (-) e-4et一a.x在区间[0，+c∞)上单调递 增，则实数a的取值范围为 请完成课时作业（二十一》 第三节 导数与函数的极值、最值 [课标要求]1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数 的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题. 夯实·必备知识 >>》 ■ 知识整合 ,右侧 ,则a叫做函数y= f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x) 1.函数的极值 (1)函数的极小值 的极小值， (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a) 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b) 比它在点x=a附近其他点处的函数值都 比它在点x=b附近其他点处的函数值都 小，f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 一 59 金榜题名创新高考总复习数学 大，f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 自我训练 ,右侧 ,则b叫做函数y= 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x) “”或“X”) 的极大值 (1)函数的极值可能不止一个，也可能没有. (3)极小值点、极大值点统称为 ,极 () 小值和极大值统称为 (2)函数的极小值一定小于函数的极大值. 2.函数的最大（小）值 (1)函数f(x)在区间[a,b们上有最值的 (3)函数的极小值一定是函数的最小值. 条件： ( 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是 (4)函数的极大值一定不是函数的最小值. 一条 的曲线，那么它必有最大值和 ( 最小值。 2.如图是f(x)的导函数f'(x)的图象，则 (2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大 f(x)的极小值点的个数为 () y (小)值的步骤： ①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 ②将函数y=f(x)的各极值与 A.1 B.2 比较，其中最大的一个是最大 C.3 D.4 值，最小的一个是最小值 3.若函数f(x)=x-12x2+36x+1,则f(x) 【常用结论】 的极大值点为 对于可导函数f(x),“f(x)=0”是“函数 4.已知函数f(x)=x3一3x一1在区间 f(x)在x=x。处有极值”的必要不充分 [-3,2]上的最大值为M,最小值为N,则 条件. MN- 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一利用导数求解函数的极值问题 C.f(x)在区间(2,4)上单调递减，在区间 命题点1根据函数图象判断极值 (一1,2)上单调递增 [例1]（多选）(2025·哈师大附中质检)如 D.x=2是f(x)的极小值点 图所示是y=f(x)的导数y=f(x)的图 [尝试解答] 象，下列结论中正确的有 .10123/ A.f(x)的单调递增区间是（一1,2）U (4,十∞) B.x=一1是f(x)的极小值点 60 第三章一元函数的导数及其应用 命题点2求已知函数的极值 题型二 利用导数求函数的最值问题 [例2](2025·海口模拟)已知函数f(x)= 命题点1不含参函数的最值 x2-4lnx+1. (1)求曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线 [例幻(2025·北京模拟)函数f()=号 方程； 一271nx在区间[1,2]上的最大值是( (2)求f(x)的单调区间与极值. A.0 [尝试解答] C.1 [尝试解答] 命题点2含参函数的最值 命题点3已知极值（点）求参数 [例5]已知函数f(x)=xlnx十(a一1)x, [例3](1)(2025·四川蓬溪中学质检)已知 a∈R.求函数f(x)在区间[1，e]上的最 函数f(x)=x(x一m)2在x=1处有极大 小值： 值，则m的值为 ( [尝试解答] A.1 B.2 C.3 D.1或3 (2)已知函数f(x)=lnx十ax2-2x有两个 极值点，则实数a的取值范围为 [尝试解答] [思维升华] 求含有参数的函数的最值，需先求函数 的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判 断函数的单调性，从而得到函数f(x)的 最值， [即时训练] (2025·江苏常州开学考)已知函数f(x)= [思维升华] x3一ax2,求函数f(x)在区间[0,2]上的最 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 大值. (1)列式：根据极值，点处导数为0和极值 这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)验证：求解后验证根的合理性 [即时训练] (2025·贵州三模)函数f(x)=a十h工+1 b 在x=1处取得极值0，则a十b= ( ) A.0 C.1 D.2 请完成课时作业（二十二） 61◆g)-兰，别g)-2C 令f)<0,得号<<1： [例5]解由f(x)-xlnx十(a-1)r, 可得f'(x)-lnx十a, 当x∈(1,2)时，g'(x)<0:当x∈(2,3) 从而)在（四，宁）单调适增，在 由f(x)=lnx十a=0 时，g'(x)>0. 可得r一e一4， 故g(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上 (子，1)单词递减，在(1，十∞)单调 当e-a≤1，即a≥0时，f(x)≥0在 单携递增，又得为g1-e,g(2)-号， [1,e]上恒成立，f(x)单调递增， 递增， 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小值 a-号<e 所以「(x)在x=1处有极小值，不合 为f(1)=a-1: 题意， 且当4-一后时f)-- 当e“≥e,即a≤-1时，f(r)≤0在 Tr+rer 当m=3时，经检验，满足题感. [1,e]上恤成立，f(x)单调递减， -(片-号)≥0. 综上，m=3.故选C 所以数f(x)在区间[1，e]上的最小值 (2)答案 (o) 为f(e)=ae: 所以(x)在区间[1,3]上单调递增，所 当1<e“<e,即-1<a<0时，若r∈ 以号<一<得-a<一后 解析因为函数()有两个极值点， [1,eu),则f(r)<0,f(r)单调递减， 所以广(x)有两个变号零点， 若x∈(e-u,e],到(x)>0,f(x)单调 故选A 令f(m)=↓+2ar-2=0(>0, 递增， 第三节导数与函数的极值、最值 x 所以画数f(x)在区阒[1，c]上的最小值 为f(e-a)-一e-“, 夯实·必备知识 所以a=2红-1 2x2, 综上，当a≥0时，画数f(x)在区间[1，e 知识整合 上的最小值为a一1： 1.(1)f(x)<0(x)>0(2)f(x)>0 ◆)>0 当一1<a<0时，函数f(x)在区间[1，e] 广(x)<0(3)极值点极值 2.(1)连续不断(2)①极值②端点处的 则g'(x)=二r+1 上的最小值为一e4: 当a≤-1时，函数f(r)在区间[1，e]上 函数值f(a),f(b) 令g'(x)-0,解得x-1, 的最小值为ae, 自我训练 当0<r<1时，g'(x)>0,g(x)单调 即时调练解由题意可得：f(x)一2 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 递增， -ar2,f(r)=3x2-2ar=r(3r- 2.A3.24.-19 当x>1时，g(x)<0,g(x)单调递减， 2a). 研磨·高考题型 [例门BC由导蓝数的图象可知，当一3 (告)-0 x∈[0,2]，则有： 当a≤0时，则(x)≥0在x∈[0,2]时 <x<-1或2<x<4时，(x)<0:当 当x→0时，g(x)→-∞， 恒成立， -1<r<2戏x>4时，f(x)>0, 所以f(x)的单调递增区间为（一1,2）和 当>号时，g(x)>0,g(x)=gD 则函数f(x)在区间[0,2]上单调递增， ∴f(x)≤f(2)=8-4a: (4.十o),单调递减区问为(-3，一1)和 当a≥3时，则f(x)≤0在x∈[0,2]时 (2,4),故A错误，C正确： 恒成立， 所以x一一1或x一4是f(x)的极小值 当x→十∞时，g(x)+0, 则函数f(x)在区阅[0,2]上单调递减， 点故B正确： g(x)的大致图象如困所示， ∴f(r)≤f(0)-0: 所以x=2是f(x)取得极大值点，故D 错误，故选C. 当0<a<3时.期0<号<2 [例2]解(1)依题岳，/(x)-2x-4 令f)<0,解得0<<号，令了( x>0 4 >0,郎得号<<2 f1)=2x1-1=-2,f1)=1-4m1 所以a的取值范国是(0，立)）】 1 +1-2, 即时训练 A了(x)=a+左 故画数f)在区胸[0，号]上单调运 故所求切线方程为y-2=一2(x一1)， (f(1)=a+1-0, 即2x+y-4=0. 所以 r)-a+-o 解得一1， 减，在（号，2]上单调递增，且0）-0， (2)令广(x)=0,解得x=厄， 1b-1, f(2)=8-4a. 故当x∈(0反)时，了(r)<0,当x∈ ①当0<8一4a,即0<4<2时，则f(r) 经检验，a一一1，b一1满足题意， 在区间[0,2]上的最大值为f(2)=8 (2,+e∞)时，f(x)>0, 所以4十b一0.故这A 故f(x)的单调递减区间为(0厄)，单 [例0Df=3-2_36x+3-3 ②当0=8-la,即a=2时，则f(x)在区 调递增区问为（厄，十∞）， x 间[0,2]上的最大值为f(0)-f(2)-0: 定义域为(0，十o), 则f(x)的极小值为f(2)=3-2ln2, ③当0>8-1a,即2<a<3时，则f(x) 令广(x)>0,解得x>3,令f(x)<0,解 无极大值， 在区间[0,2]上的最大值为f(0)-0. [例3](1)C:f(x)-(x-m)(3x- 得0<x<3, 综上所述：当a<2时，则f(x)在区间 m),(1)=(1-m)(3-m)=0, 所以f()在(3，十∞)上单调递增， [0,2]上的最大值为f(2)-8-a: ,m一1或m一3， (0,3)单调递减， 当a=2时，f(x)在区间[0,2]上的最大 当m=1时，'(x)=(x-1)(3x-1), 所以f(x)在区问[1,2]上的最大值为 值为f(0)-f(2)-0: 令f()>0,将r<号我>1： 了0)-号故造D 当a>2时，f(x)在区间[0,2]上的最大 值为f(0)=0. 464