第2节 导数与函数的单调性-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

对于函数y=x3十n.x-52,y'=3x2十H, [例2]解(1)画数f(x)的定义战为 图为log24<log7<log28,所以2< 则3a°+n=-1,a3-(3a2+1)4-52 (0,+∞)， log27<3, -a+2, 整理得a3=一27，则a=一3， 由)-alhg+2-u+3r 所以2<log7<32 所以f(2)<f(log7)<f(3V②)，即b<C 所以n=-3a8-1=-28,故m-n=26. 得f(x)=4+3x-(a+3) <a. 即时训练答案号 所以f(2)=-受+3=4，所以a=-2 微拓展 解析易知：必有a>0. 典例ACD依题意，函数g(:x)= 设两曲线的交点为P(o,%),f(r) (2)由(1)得/(x)=(3x-a)x-1) .T rf(r)为定义战上的增盛数. 左gr)-是>0》，由题 1 对于A,g(x)=xc心，g'(x)=(x十1)心， ∈(0，+∞)， 当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0, ①当0<a<3时，令f(x)>0. vro=aln ro. .g(x)在（一○，一1）上单调递减，故A 解得0<<号或>1， 中函数不是“F函数”： 1=“ 26r0 对于B,g(x)=x在R上为增函数，故B 令了)<0，解得号<r<1 中函教为“下虽数”： 两式相涂得：2xo=roIn x0,'x0>0, .lnxo=2→xu=e2. 所以画数「(x)的单调递增区间为 对于C,g(x)=xlnx,g(r)=1+lnx,x >0, 代入√o=aln ro,得e=2a, (0,号)和(1，十∞)，单调递减区间 解得a=号 为（号1） 当re(0,)时g)<0 六g)在(0，日)上单调递浅， 第二节导数与函数的单调性 @当a=3时，f(x)≥0，所以函数f(x) 的单羽递增区间为(0，十∞)： 故C中函数不是“F西数”： 夯实·必备知识 ③当a>3时，令f(r)>0,解得0<r< 对于D,g(r)=rsin x,g(x)=sinx+ 知识整合 1,单调递增单调递减常数函数 1我>号 2.定义域零点 当xe(-受，0）时R()<0, 令了)<0.解得1<<号， 自我训练 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1) g)在(-受0)）上单满递减 1.(1)/(2)/(3)×(4)/ 2.A3.[-1,+∞)4.a≤2 和（号十）单调递减区间为（山，号） 故D中面数不是“F函数” 研磨·高考题型 [例4门答案（一，4] 综上，当0<a<3时，f(x)的单调递增区 解析由题设f(x)=c十4e一r一a≥0 [例门(1B周为)=号产-ln, 间为(0，号）和0，十∞)，单调逼减区间 在[0，十∞)上恒成立. 所以∫(x)=1一 1=r-1)(x+1D 为（号1）： 设1=e≥1，牌a<1+在r∈[，十o) 令(x)<0,得0<x<1, 上恒成立， 当=3时，f(x)的单调递增区间为 所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，故 (0,+o∞)： 又什≥=4，当且仅当1=2 选B. 当a>3时，f(x)的单调逅增区间为 (2)答案(0,1) 时等号成立， 解析f(x)的定义城为(0，十o0), (0,1)和（号，+∞小单调递减区间 所以4≤4，即实数a的取值范围为 (-∞.4]. -In r-1 f(r)= 为(1，号） 即时训练(1)答案{xx>2或x<1 即时调练解由离数f(x)=alnx 解析因为f(r)=x+2x-1+(sinx 令gx)=↓-lnx-1x>0). a.r-3的定义城为(0，十o∞)，且广(r) x =a1-x) =x3+2r-1+1-2sin xcos x=x+2r px=--1<0, -sin 2r. 令了(x)=0.解得x=1, f(.r)=3x2+2-2c0s2x≥0. g(x)在(0，十∞)上单调递减.且9(1) 若a>0,当x∈(0,1)时，f(x)>0:当x 所以f(x)在R上单调递增， =0, E(1,十∞)时，f(x)<0, .当x∈(0,1)时，p(x)>0,即f(x) 周为f一r)=-x2-2x十sin2x=-fx), 所以函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1， >0, 所以「(x)为奇函数， 十o0)单调递减， 当x∈(1，+o)时，9(r)<0,即(x) 不等式f(x2一2x)+f(2-x)>0可化 若a>0,当x∈(0,1)时，(.x)<0:当x <0, 为fx2-2r)>-f(2-x), ∈(1，+∞)时，f(r)>0, .f(x)在(0,1D上单调递增，在(1，十∞) 即f（x2-2r>f(x-2),所以2-2x 所以函数f(x)在(0,1)单调递减，在 上单调递域， >x-2, (1,十0)单调递增 ∴函数f(.x)的单调递增区间为(0,1). 即x2-3.r+2>0.解得x>2成r<1. 若a=0,此时函数f(x)=一3为常数函 即时调练Df)=?-三，定义线 (2)A因为f(x)=ax+(x-1)心在区 数，无单调性， 间[1,3]上不是单调函数， 为(0，+∞)，令了(x)<0,解得0<x< [例3]D由题意，得了(x)=3-2sinx. 所以了(.r)■4ar3十re■0在区间 号，所以f在(0，受）上单调递减。 因为一1≤snr≤1，所以f(r)>0恒 成立， 1,3)上有，单-4a-号在区间1,3 故选D, 所以函数f(r)是增函数 上有解， 463 ,则g(=-2e 令g(x)= 令f<0,得<<1 [例5]解由fx)=xlnr十(a-1)x, 可得f(r)-lnx十a, 当x∈(1,2)时，g'(x)<0:当x∈(2,3) 从而f)在(-©，号）单调递增，在 由f(x)=lnx+a=0 时，g'(x)>0. 可得x-e“, 故g(x)在(1,2)上单调遥减，在(2,3)上 (行1)单词道减，在(1，+∞)单满 岁e“≤1，即a≥0时，f(x)≥0在 单调递增.又国为g(1)=,g(2)=气 [1,e]上恒成立，f(x)单调递增， 造增， 所以画数f(x)在区间[1，e]上的最小值 3)- 所以f(x)在x=1处有极小值，不合 为f(1)=a-1: 题意， 且当a=一6时f()= e2 当e“≥e,即a≤-1时，f(r)≤0在 Tr+re 当m=3时，经检验，满足题意 [1,e]上恤成立，f(r)单调递减， -r(号-号)≥0 综上，m-3.故选C 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小值 (2)答案 为f(e)=ae: 所以(x)在区间[1,3]上单调递增，所 (0,2)》 当1<e“<e,即一1<a<0时，若x∈ 以号<一u<e,解得-<u<一后 e 解析因为函数(x)有两个极值点， [1,e“),则f(x)<0,f(x)单调遥减， e 所以(x)有两个变号套点， 若x∈(e-,e],则f(x)>0,f(x)单调 故选A 令f(.r)= 1+2ar-2=0(x>0), 遂增， 第三节导数与函数的极值、最值 所以函数f(x)在区间[1，C]上的最小值 夯实·必备知识 所以a=2-1 为f(e“)=-e", 22· 综上，当a≥0时，函数f(x)在区间[1，e] 知识整合 上的最小值为a一1： 1.(1)f(x)<0f(x)>0(2)f(x)>0 ◆u)-2>0 当一1<a<0时，函数f(x)在区间[1，e] f(x)<0(3)极值点极值 上的最小值为一e一4： 2.(1)连续不断(2)①极值②端点处的 则g'(x)=二+ 当a≤-1时，函数f(x)在区间[1，e]上 函数值f(a),f(b) 令g'(x)=0,解得x=1, 的最小值为ae 自我训练 当0<r<1时，g(x)>0.g(r)单调 即时训练解由题意可得：f(x)=x 1.(1)√(2)×(3)×(4)/ 递增， -ax2,f (x)=3x2-2ax=x(3x- 2.A3.24.-19 当r>1时，g(x)<0,g(x)单调递诚， 2a). 研磨·高考题型 x∈[0,2]，则有： [例1门BC由导函数的图象可知，当一3 x(合）-0， 当a≤0时，则(x)≥0在x∈[0,2]时 <x<-1或2<x<4时，f(x)<0:当 当x→0时，g(x)→一09， 恒成立， -1<x<2或x>4时，f(x)>0, 则面数f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以(x)的单调递增区间为（一1,2）和 当>2时，g)>0,gra=g1) ∴.f八x)≤f(2)=8-4a: (4,十o),单调递减区问为（一3，一1）和 1 当a≥3时，则f(x)≤0在x∈[0,2]时 (2,4).故A错误，C正确： 2 恒成立， 所以r=一1或x=4是f(x》的极小值 当x十o时，g(x)+0, 则函数f(x)在区间[0,2]上单调递减， ,点：故B正确： g()的大致图象如图所示， .f(x)≤f(0)=0 所以x=2是f(x)取得极大值点，故D 错误.故选BC 当0<a<3时则0<号<2， [例2]解(1)依题意，广(x)-2r-4 y=g 令fx)<0,解释0<r<号令f() x>0. 所以a的取值范国是(0，)： >0,解得<<2， f)=2x1-=-2,f)=1-41 +1=2, 即时调练 1 A∫(x)=a+ 故画数G)在区间[0，号]上单消运 故所求切线方程为y-2=一2(x一1)， (f(1)=a+1=0, 脚2x十y-4=0. 解得/0一一1， 减，在（号，2]上单调递增且0）=0… 所以 (2)令f(x)=0,解得x=2, r=a+=0 1b=1, f(2)=8-4a. 故当x∈(0,2)时，了(x)<0,当r∈ ①当0<8一4a,即0<a<2时，则f(x) 经检验，a=一1.b=1满足题意， 在区间[0,2]上的最大值为f(2)=8 (2,十∞)时，f(x)>0, 所以a十b=0.故选A 故f(x)的单调递诚区间为(02)，单 [例目D/)=3r-27-_3+3)-3) ②当0=8一4a,即a=2时，则f(.x)在区 调递增区间为(2，十∞)， 间[0,2]上的最大值为f(0)=f(2)=0: 定义城为(0，十∞)， 则f(x)的极小值为f(2)=3-2n2, ③当0>8-4a,即2<a<3时，则f(xr) 令(x)>0,解得x>3,令(x)<0,解 无极大值， 在区间[0,2]上的最大值为f(0)=0. [例3](1)C:了(x)=(x-m)(3x 得0<x<3, 综上所迷：当a<2时，则f(x)在区间 m),.f(1)=(1-m)(3-m)=0. 所以f(x)在(3，十)上单调递增， [0,2]上的最大值为f(2)=8-4a: .m=1或m一3， (0,3)单调递减， 当a=2时，f(x)在区间[0,2]上的最大 当m=1时，f(x)=(x-1)(3r-1), 所以f(x)在区间[1,2]上的最大值为 值为f(0)=f(2)=0: 令f>0,得<号煮>1 )=是.k选D 当a>2时，f(x)在区间[0,2]上的最大 值为f(0)=0. 464第三章一元函数的导数及其应用 第二节导数与函数的单调性 [课标要求]1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.3.会利用函数的单调性判 断大小，求参数的取值范围等简单应用. 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 自我训练 1.函数的单调性与导数的关系 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 “、/”或“X”) 条件 恒有 结论 (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x) f(x)>0 f(x)在区间(a,b)上 =0,则f(x)在此区间内没有单调性. 函数y=f(x》 在区间(a,b) f(x)<0 f(x)在区间(a,b)上 (2)在(a,b)内f(x)≤0且f'(x)=0的根 上可导 有有限个，则f(x)在(a,b)内单调递减。 f(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是 ( (3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0, 2.利用导数判断函数单调性的步骤 则f(x)在定义域上一定单调递增.( 第1步，确定函数f(x)的 (4)函数f(x)=x一sinx在R上是增函数. 第2步，求出导数f(x)的 2.如图所示是函数f(x)的导函数f'(x)的图 第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划 象，则下列判断中正确的是 分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间 上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域 '(x 内的单调性。 【常用结论】 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则当x∈ A.函数f(x)在区间（一3,0）上是减函数 (a,b)时，f(x)≥0恒成立；若函数f(x)在 B.函数f(x)在区间(1,3)上是减函数 (a,b)上单调递减，则当x∈(a,b)时，f(x) C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 ≤0恒成立. D.函数f(x)在区间(3,4)上是增函数 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间， 3.已知函数f(x)=e+ax在区间[0，十c∞) 上单调递增，则a的取值范围为 则当x∈(a,b)时，f(x)>0有解；若函数 f(x)在(a,b)上存在单调递减区间，则当 4.已知函数y=lnx+“在[2，十∞)上单调递 x∈(a,b)时，f'(x)<0有解. 增，则实数a的取值范围是 57 金榜题名创新高考总复习数学 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一不含参函数的单调性 [思维升华] [例1](1)(2025·湖北联考)函数f(x)= (1)研究含参数的函数的单调性，要依据 专-血x的单调递减区间为 参数对不等式解集的影响进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时，要在函数定 A.(-1,1) B.(0,1) 义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数 C.(1,+0∞) D.(0,+∞) 的间断点。 (2)若函数f(x)=血+1，则函数f(x)的 [即时训练] 单调递增区间为 (2025·郑州模拟)已知函数f(x)=alnx [尝试解答] ax-3(a∈R),讨论函数f(x)的单调性. [思维升华] 确定不含参数的函数的单调性，按照判 断函数单调性的步骤即可，但应注意两，点，一 是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单 调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. [即时训练] 题型三函数单调性的应用 (2025·河北沧州质检)函数f(x)=2x一 命题点1比较大小或解不等式 5lnx一4的单调递减区间是 [例3]已知函数f(x)=3x十2cosx.若a= A.(0,3) B.(3,+o∞) f(3√2)，b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的 c(-o, D.(o. 大小关系是 () 题型二含参数的函数的单调性 A.a<b<c B.c<b<a [例2](2025·天津模拟)已知函数f(x)= C.b<a<c D.b<c<a [尝试解答] alnx于号x=(a+3)x,a∈R (1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线 的斜率为4，求a的值： (2)当a>0时，求f(x)的单调区间. [尝试解答] 58 第三章一元函数的导数及其应用 [微拓展】 [尝试解答] 常见组合函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下 的函数图象对解题有事半功倍的效果 [思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 Dy=xe 2y= ③y= (1)函数在区间(a,b)上单调，实际上就 是在该区间上f(x)≥0（或f(x)≤0）恒 成立 (2)函数在区间(a,b)上存在单调区间， 实际上就是f(x)>0(或f(x)<0)在该区 ④y=xlnx ⑥y=lnx 间上存在解集。 典例（多选）如果函数f(x)对定义域内的 [即时训练] 任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有 (1)(2025·红河模拟)已知函数f(x)=x xf(x)一xfx)>0,则称函数y=f() 十2x-1十(sinx-cosx)2,则不等式f(x x1一x2 -2x)十f(2-x)>0的解集为 为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是 (2)已知函数f(x)=ax+(x-1)e在区间 [1,3]上不是单调函数，则实数a的取值范 A.f(x)=e B.f(x)=x" 围是 ( C.f(x)=In x D.f(x)=sin x e27 命题点2根据函数的单调性求参数 [例4](2025·海口模拟)若函数f(x)= c.(- (-) e-4et一a.x在区间[0，+c∞)上单调递 增，则实数a的取值范围为 请完成课时作业（二十一》 第三节 导数与函数的极值、最值 [课标要求]1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数 的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题. 夯实·必备知识 >>》 ■ 知识整合 ,右侧 ,则a叫做函数y= f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x) 1.函数的极值 (1)函数的极小值 的极小值， (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a) 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b) 比它在点x=a附近其他点处的函数值都 比它在点x=b附近其他点处的函数值都 小，f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 一 59