第13节 函数模型的应用-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

令f(x)=a,在区间（一1,0）内时，e=a, 由图象可得有两个文点，横坐标设为 =n,得到-1<na<0,所以1<a 第十三节函数模型的应用 t1g· e 则1=0,1<12<2， 夯实·必备知识 <1: 对于t=f(x),分别作出函数y=f(x)和 e 知识整合 在区间（侵，1）内时，ln2x=ar= 2 直线y=丝的图象，如图所示， 1.y轴x轴 则宁<号<1，解得1<e<2,所以0 自我训练 4 <ln2. 3 y=fix) 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 2 y=l 2.D3.D4.C 综上，得ae(日ln2): 研磨·高考题型 即时训练(1)D因为f(x)=x(r一a) 2 12345x [例1](1)BD由图可知在[1,2]这段 x≥]时至多有一个零点，单调函数f(x) =2一ax<1至多一个零点， -2 时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超 2u-a,r<1, 由图象可得， 标，故A错误； 而函数f(x)= xa),r≥1格有2个 当f(x)=1=0时，函数y=fx)与，x轴 在2时到，甲，乙两企业的污水排效堂相 零点 有两个交点，即方程∫(x)=0有两个不 等，故B正确： 所以需满足f(x)=x(x一a),x≥1有1 相等的根， 甲企业的污水排放量的最小值不大于乙 个零点，f(x)=2一a,x<1有1个 当2=f(r)时，画数y=f(x)和直线y= 企业的污水兼放量的最大值，故C错误： 零点， 2有三个交点，即方程妇=f(x)有三个 在[0,1]这段时间内，甲企业的污水排 loga<1. 所以 解得1≤a<2,故选D. 不相等的根， 放量高于乙金业的污水排放量，故D a>1. (2)C画出f(r)的图象如图. 综上可得g(x)=0的实根个数为5， 正确。 即函数g(x)=f(f(x))-2f(x)十1的 (2)B由散点图的定义拔可排除C,D y-fix) 零点个数是5， 选项，由数点图的增长方式可知西数模 [例4]D令g(x)=4[f(x)]-(t+3) /74618i013id 型为指数型， 闭i3579iii3i5起 f(x)+31=0, 即时训练A当点P在AB上时，y= 解得fx)=子我f)=t ×rx1=,0Kr<1, 由题意可知一log=ogx红→x1x丝 作出函数y=f(x)的图象，如图所示， 当点P在BC上时，y=S正方移AD =1 SADN-SAA-Saw=-r+ 由图象可知xg·x4关于直线x=10 1K<2 对称， 3 所以1十x1=20,因此11r2r y=f(x)与y= 有4个交点， 当点P在CM上时，y= 2 =x含t· 即方程)=是有4个不相等的宾格， 当一0s牙行=一c08子1=1时，西 (停-）×1-+号2<≤ 由题意可得，方程f(x)=1有3个不相 5,x1=15,此时4x,=75, 综上，y=f(x)= 等的实根， 即y=f(x)与y=1有3个交点， 2,0≤r≤1， 15 25 375 故实数1的取值花围是(0，号)U1. 1 当存在x1r(1<x<3<) 即时训练答案(0,1 +2< 1 满足f(x1)=f()=f(x)=f(x1)=a 解析 由题意，(x)的图象如图所示， ∈(0,1)时，此时1x2xx4=x 函数图象大致如A选项所示， ∈(5,3) [例2](1)C经过x天后，“进步”与“落 [例3]B令1=f(r),g(x)=0, 后”的比人2 0.8 ≥10000. 则f()-21+1=0, 即f(t)=2-1, 周为[f八x)]一(2m+1)f(x)+m2+m 所以（是）广≥1000， 分别作出品数y=f(t)和直线y=21-1 =0有7个实数解， 的图象，如图所示， 设f(x)=1,则方程2一(2十1)1十m 两造取以10为底的对数得x·g受≥ 十m=0有2个不相等的实根4=m, 4,又1g2≈0,301，lg3≈0.477. 4 -2g-1 3 =m十1且0<11<1≤tg<2成1≤1< 所以r·(1g3-lg2)=x(0.477 2 2,=2. 0.301)=0.176.r≥4. y=ft一 当1≤41<2,42=2时，m=1,满足通意 4 -2-1 234 当0<11<1≤1<2时，0<m<1≤m十1 解得r≥0.176≈2.73， <2,解得m∈(0,1D 所以大约经过23天后，“进步”是“落后” 综上，m∈(0,1]. 的10000倍.故选C. 461 (2)C依题意可知当1=0时，红(1)= (2)A由题设f(x)=32-2a.r十(a十3) 第三章一元函数的导数及其应用 6.05, 是偶函数， 即6.05=1e9十0.05，解得1=6， 第一节导数的概念及其意义、 .3(-x)2-2u(-x)+(a+3)=3x2 2a.x十(a+3),解得a=0, 所以：(1)=6e千+0.05， 导数的运算 .k=(0)=3, 由(1)=6e千+0.05≤0.1， 夯实·必备知识 .曲线y=f(x)在原点处的切线方程为 得e+≤20 1 知识整合 y=3.x.故选A. 1.(1)f(xo) [例3](1)答案9 1 即-号<1n0,即7≥n120=3n2 2.斜率y-f(xn)=了(xn)(x-) 解析设切点为(r0必)，由y=心-1一b 3.0a.-1 cos x -sin r a In a e +1得y'=e一1，由题意 +ln3+ln53×0.7+1.1+1.6=4.8, 4.f(x)+g'(x)f(r)g(z)+f(r)g'(x) ,1=1, 所以1≥33.6， %=x0+2a, 又1∈N,所以tmn-34, cf(z) 至少需要放凰的时间为34天. 5.y。· =e。-1-6+1, 即时训练答案f(x)=0.9-1(r∈ 自我训练 解得x0-1,所以1+2a-2一b,即2u十b =1, N+) 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.A3.B4.2x+y-1=0 解析第1次酒精残留童y=10×, +古-（+）2+0=5+ 研磨·高考题型 第2次酒精线留量y=10×(品)， [例1门(1)ABD(3)'-3ln3,正确： 20+20≥5+2=9，当且仅者a=b= b (r2In)-(2)'In +2 (In)' =2xnx十x,正确： 号时，等号成立 脚第x一1次酒精残留量y=10X (sin roos )'=(sin r)'cos a+sin r(cos 2)' (2)答案(-0∞，一4)U(0,十o) (品)N. =c0s2x一sin2x=c0s2x,正扇： 解析周为y=(x十a)e,所以y' (x十a十1)c,设切，点为A(x,(x。十a) 则第x(x∈N+)次倒出纯酒新为f(x)= 因为(）)=二二0s上，所以 x c),O为坐标原点，依题意得，切线斜率 x(品)×0-（品） C项错误，其余都正确.故选ABD N=yl-,=(0+a十1)eo= 故f(x)=0.9-1(x∈N). (2Df(x)=2fD+1 十a)c,化简得后十a一a=0.因 [例3]解(1)该项目的门票收入为50 当x=1时f1)=2f+ 为曲线y=(x十a)心有两条过坐标原点 万元，财玫补粘收入为10x万元，共60x 万元改入，则利涧W(x)= 解得∫(D=- 的切线，所以关于r0的方程十a e a=0有两个不同的根，所以△=a2+4a /60x-300-25,0x5, 60x-300-(x2+20.x-100),5<x≤20. 故f(x=-2n+工 >0,解得a<一4或a>0,所以a的取值 e 范国是(-∞，-4)U(0,+∞)， 60r-300-(61r+900-565）x>20. 所以f(e)=-2ne+e=- 即时训练(1)C当x<0时，f(x)= x3-x, 化商得W(x) 即时调练BD对于选项A,(x) 则了(x)=3.x2-1,所以了(-1)=2， (60x-325,0<r≤5. sinT十rcosr十sinr,枚选项A不正确： 由fx)为偶函数，得了(1)=一∫（一1） -x2+40x-200.5<x≤20. 对于选项B,(x)=lnx十1，则f(ro) =-2, -T-900+265,r>20. -lng+1=2,解得=e,故选项B 则面线y=f(x)在点(1,0)处的切线方 正确： 程是 (2)当0<x≤5时，W(x)单调递增。 对于远项C,f(x)=6.x+3x2c,则 y=-2(.x-1),即2x+y一2=0. W(x)mx=w(5)=-25: 了(1)=6e+3e=9e,故选项C不正确： (2)答案(-∞，-2] 当5<x≤20时，对应二次品数的图象开 对于选项D.f(知)=2r+3f(2)+】 +4(.x>0), 40 解桥了)1+号 口向下，对称轴为x=一2x=20, 则f(2)=4+3/(2)+2·解得f(2) 则W(x)mx=W(20)=200: 依题老释了-1+十宁+兰-0有解， 当r>20时.：r+900≥60. x =一号故选项D正确 即-=+子有解， [例2](1)A了(x)= 当且仅当x=900 即x=30时，等号 (e+2csr)(1+2)-(e+2sinx)·2a :>0+>2,当具仅备x=1时 成立， (1+x2)2 取等号， 则f(0)= .一a≥2，即a≤-2. ∴W(z=w(30)=二30-30+265 (e'+2eos0)(1+0)-(e+2sin0)×0 [例4]C设直线r+y十m=0与曲线y -205. (1+0)9 =x十nx-52切于点(a,-a一m).与 综上，当2025年的游客人数为30万时， =3 线y=x2一3lnx切于点(b,一b-m), 即城切线方程为y一1■3x,即y■3. 利润最大，最大利涧为205万元. +1, 对于画数y=2-3nx=2x-3 即时训练B由题知，入 =1.2×10 7.4X10m 令1-0，则y-1,令y-0,则r-一3· --1, ≈1.6216， 故该切线与两坐标抽所国成的三角形面 .1=5730ln1.6216÷0.693≈5730×0. 解得6一1或6=一2（舍去） 4834÷0.693≈3997.故选B. 积5=号X1× 所以1-3n1■一1一加，即m=一2 462金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] a1,a2,a3,…,an,则函数y=f(g(x))的零点 对于复合函数y=f(g(x)的零点个数 个数为a1十a2十a3十…十an· 问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u=g(x)和外层函数 [即时训练] 1gx,x>0, y=f(u); 已知函数f(x)= -x2-2x+1,x≤0 且关 (2)确定外层函数y=f(u)的零，点u=u 于x的方程[f(x)]2-(2m+1)f(x)+m (i=1,2,3,…,n); 十m=0有7个不同的实数解，则实数m的 (3)确定直线u=4(i=1,2,3,…,n)与 取值范围为 内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为 请完成课时作业（十八） 第十三节 函数模型的应用 [课标要求]1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数 增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数 模型在社会生活中的广泛应用. 夯实·必备知识 知识整合 续表 1.三种函数模型的性质 函数模型 函数解析式 函数 y=ar y=logax y=r 反比例函数模型 /(x)= 十b(k,b为常数，k≠0》 性质 (a>1) (a>1) (a>0) f(x)=ba十c(a,b,c为常数， 在(0，十o∞) 指数函数模型 单调递增 单调递增 单调递增 a>0且a≠1，b≠0) 上的单调性 f(x)=blogax十c 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 对数函数模型 (a,b,c为常数， a>0且a≠1，b≠0) 随x值增 随x值增 随a值变 图象的 大，图象 大，图象 化而各有 幂函数模型 f(x)=ax+b 变化 与 与 不同 (a,b,a为常数，a≠0，a≠0) 接近平行 接近平行 自我训练 2.常见的函数模型 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 函数模型 函数解析式 “/”或“×”) f(x)=ax+b (1)函数y=2的函数值比y=x2的函数 一次函数模型 (a,b为常数，a≠0) 值大. () f(x)=ax2+bx+c (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第 二次函数模型 一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲 (a,b,c为常数，a≠0) 不赚不赔。 () 50 第二章函数 (3)已知a>1,在(0，+o)上，随着x的增 以下函数中最符合变量y与x的对应关系 大，y=a的增长速度会超过并远远大于 的是 ( y=x“和y=logx的增长速度.( ) (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须 A.y=gx+2 By-ge 使所有的数据完全符合该函数模型.() Cy=×2- D.y=logsx+1 2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最 4.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最 快的应该是 ( 壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达 A.y=100x B.y=log1oo 到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 C.y=00 D.y=100 (单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为 3.某同学参加研究性学习活动，得到如下实验 h(t)=一5t+15t+20,那么烟花冲出后在 数据： 爆裂的最佳时刻距地面高度约为 3 9 27 81 A.26米 B.28米 2 3.1 4.1 5.2 C.31米 D.33米 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一用函数图象刻画变化过程 列四个函数模型(a,b为待定系数)中，最能 [例1](1)（多选）(2025·钦州模拟)为满足 反映x,y函数关系的是 ( ) 人民对美好生活的向往，环保部门要求相关 企业加强污水治理，排放未达标的企业要限 年里年带。年年年 。。eee电。 期整改.设企业的污水排放量W与时间t 的关系为W=f(t),已知整改期内，甲、乙两 企业的污水排放量与时间的关系如图所示. -4-20 24 给出下列四个结论，其中正确的结论为 A.y=a+bx B.y=a+b' C.y=a++logix 甲企业 D.y=a+b [尝试解答] 乙企业 污水达标排放量 A.在[t1,t2]这段时间内，甲、乙两企业的污 水排放量均达标 B.在2时刻，甲、乙两企业的污水排放量 相等 C.甲企业的污水排放量的最小值大于乙企 业的污水排放量的最大值 D.在[0，t]这段时间内，甲企业的污水排放 量高于乙企业的污水排放量 (2)在一次实验中，某小组测得一组数据 (x,y:)(i=1,2,…,11),并由实验数据得到 散点图.由此散点图，在区间[一2,3]上，下 51 金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] 的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的 步”是“落后”的10000倍，大约需要经过 两种方法 (lg2≈0.301，lg3≈0.477) () (1)构建函数模型法：当根据题意易构建 A.17天 B.19天 函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选 C.23天 D.25天 择函数图象。 (2)(2024·无锡模拟)根据《民用建筑工程 (2)验证法：根据实际问题中两变量的变 室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室 化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验 内甲醛浓度≤0.1mg/m为安全范围.已知 证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选 某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度 择出符合实际情况的答案. 为6.05mg/m3,使用了甲醛喷剂并处于良 [即时训练] 好通风环境下时，室内甲醛浓度(t)(单位： 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的 mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t 边上运动，M是CD的中点，则当P沿A (t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式(t) B一C一M运动时，点P经过的路程x与 =λe寸十0.05（入∈R),则该文化娱乐场所 △APM的面积y的函数y=f(x)的图象大 竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至 致是 少需要放置的时间为（参考数据：ln2≈0.7， ln3≈1.1，ln5≈1.6) A.32天 B.33天 C.34天 D.35天 [尝试解答] [思维升华] 已知函数模型解决实际问题的关键 22.5 22.5x (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待 定系数 题型二已知函数模型的实际问题 [例2](1)(2025·湖南岳阳质检)著名田园 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型 中的待定系数， 诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤 (3)利用该函数模型，借助函数的性质、 学如起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨 刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可 导数等求解实际问题，并进行检验 以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可 [即时训练] 以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都 从盛满10L纯酒精的容器里到倒出1L酒 是1%，一年后是1.01365；而把“不见其损” 精，然后用水充满，再倒出1L混合溶液，再 量化为每天的“落后率”都是1%，一年后是 用水充满，这样继续下去，若第x(x∈N) 0.9965.可以计算得到，一年后的“进步”是 次倒出纯酒精为f(x)(单位：L),则函数 “落后”的人01 0.99需≈1481倍.那么，如果每天 f(x)的表达式为 .(假设酒精与 水混合后相对体积不变》 52 第二章函 数 题型三构造函数模型的实际问题 [思维升华 [例3](2025·宣城模拟)某旅游开发公司 构建函数模型解决实际问题的步骤 计划2025年在某地质大峡谷开发新的游 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型 玩项目，全年需投入固定成本300万元， (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推 若该项日在2025年有游客x万人，则需 理或数学运算，得到问题在数学意义上的解。 另投入成本R(x)万元，且R(x)= (3)评价、解释：对求得的数学结果进行 25,0<x≤5， x2+20x-100,5<x≤20，该游玩项日的 深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来 61x+0-565>20. 的实际问题中去，得到实际问题的解。 [即时训练] 每张门票售价为100元.为吸引游客，该公 (2025·咸阳模拟)陕西榆林神木石峁遗址 司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励 发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证 企业更好发展，每年给该游玩项日财政补贴 实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模 10x万元. (1)求2025年该项日的利润W(x)(万元) 最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、 关于游客人数x(万人)的函数关系式（利润 房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技 =收入一成本)； 人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进 (2)当2025年的游客人数为多少时，该项目 行碳14测定年代，公式为：1=5730ln 所获利润最大？最大利润是多少？ [尝试解答] 0.693(其中t为样本距今年代，A为现代 活体中碳14放射性丰度，A为测定样本中 碳14放射性丰度)，已知现代活体中碳14 放射性丰度A,=1.2×102,该人类骨骼碳 14放射性丰度A=7.4×1013,则该骨骼化 石距今的年份大约为（附：ln1.6216≈ 0.4834,ln1.7≈0.5306，ln1.5≈0.4055) A.3353 B.3997 C.4125 D.4387 请完成课时作业（十九）、必刷小题4 53