第12节 函数与方程的综合应用-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

金榜题名创新高考总复习数学 题型三函数零点的应用 [思维升华] 命题点1根据函数零点个数求参数 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 [例3](2025·安阳模拟)已知函数f(.x)= (1)直接法：直接根据题设条件构建关于 x2+2x+2,x≤0， 参数的不等式（组），再通过解不等式确定参 的图象与直线y=k一x ln(x+1),x>0 数（范围） 有3个不同的交点，则实数k的取值范围是 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成 求函数值域确定参数范围. A(-+∞ B.(0,十∞) (3)数形结合法：先对解析式变形，在同 一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后 c(-42] D.(0,2] 利用数形结合法求解， [尝试解答] [即时训练] (1)(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)= logz,>0, 若g(x)=f(x)-a有4 -x2-4x,x≤0， 个零点，则实数a的取值范围为 命题点2根据函数零点的范围求参数 A.(0,4) B.(0,3) [例4](2025·信阳质检)函数f(x)=1og2x C.(0,2) D.(0,1) 十x2十m在区间(2,4)上存在零点，则实数 m的取值范围是 ( (2)(多选)函数fx)=2-2-a的一个零 A.(-∞，-18) B.(5,+o∞) 点在区间(1,2)内，则实数a的可能取值是 C.(5,18) D.(-18,-5) [尝试解答] A.0 B.1 C.2 D.3 请完成课时作业（十七） 第十二节 函数与方程的综合应用 [重点解读]函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析 函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现 在压轴题位置. 研磨·高考题型 > ■ 题型一由零点分布求值（范围）》 (2)(2025·哈尔滨模拟)已知一元二次方程 命题点1二次函数的零点分布 x2十m.x十3=0(m∈Z)有两个实数根x1, [例1](1)(2025·宿迁质检)函数y=m.x x2,且0<x1<2<x2<4,则m的值为 一6x十1有且只有一个零点，则实数m的 值为 A.9 B.12 A.-4 B.-5 C.0或9 D.0或12 C.-6 D.-7 48 第二章函数 [尝试解答] (2)(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)= |log5x,0<x<5, -0s5x,5<≤15. 若存在实数x1,x2, x3,x(x1<x2<x3<x1)满足f(x1)= f(x2)=f(x3)=f(x,),则x1x2xax1的取值 范围是 Ao,3） B.(0,100) 命题点2其他函数的零点分布 [例2](2025·潮州模拟)已知函数f(x)= c5,5 D.(75,100) e,x0, In 2x.>0, 若函数F(x)=f(x)一a的两 题型二复合函数的零点 命题点1复合函数的零点个数判定 个零点分别在区间(-1,0)和（侵，1）内，则 er-2,x≤1， [例3]已知函数f(x)= 则 实数a的取值范围为 |n(.x-1)l,x>1, A(日h2 函数g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零点个 B.(0,1) 数是 () C.(ln2,1) A.4 B.5 C.6 D.7 [尝试解答] [尝试解答] 命题点2根据复合函数零点求参数 [例4](2025·潍坊模拟)已知函数f(x)= [思维升华] +I 对于二次函数零点分布的研究一般从 若函数g(x)=4[f(x)] 以下几个方面入手 In x,>0, (1)开口方向. (4t+3)f(x)十31有七个不同的零点，则 (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位 实数t的取值范围是 () 置关系 (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数. A[2 Bo,2) (4)区间端，点值. c[2+ D.(o.z)U(1) [即时训练] [尝试解答] (1)(2025·昆明一诊)若函数f(x)= 2-a,x<1, 恰有2个零点，则a的取值 x(x-a),x≥1 范围是 ( A.(-0∞，1) B.(0,2) C.(0,十∞) D.[1,2) 49 金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] a1,a2,a3,…,an,则函数y=f(g(x))的零点 对于复合函数y=f(g(x))的零点个数 个数为a1十a2十a3十…十am. 问题，求解思路如下： [即时训练] (1)确定内层函数u=g(x)和外层函数 |lgx|,x>0, y=f(u); 已知函数f(x)= -x2-2x+1,x≤0 且关 (2)确定外层函数y=f(u)的零点u=u, 于x的方程[f(x)]2一(2m+1)f(x)十m (i=1,2,3,…,n); 十m=0有7个不同的实数解，则实数m的 (3)确定直线l=4,(i=1,2,3,…,n)与 取值范围为 内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为 请完成课时作业（十八） 第十三节 函数模型的应用 [课标要求]1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，2.理解“指数爆炸”“对数 增长”“直线上升”等术语的含义.3，能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数 模型在社会生活中的广泛应用. 夯实·必备知识 知识整合 续表 1.三种函数模型的性质 函数模型 函数解析式 函数 y=ar y=logar y=x 反比例函数模型f(x)=飞 +b(k,b为常数，k≠0》 性质 (a>1) (a>1) (a>0) f(x)=ba+c(a,b,c为常数， 在(0，十∞) 指数函数模型 单调递增 单调递增 单调递增 a>0且a≠1，b≠0) 上的单调性 f(x)=blogax+c 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 对数函数模型 (a,b,c为常数， a>0且a≠1，b≠0) 随x值增 随x值增 随a值变 图象的 大，图象 大，图象 与 化而各有 f(x)=ax+b 变化 与 幂函数模型 不同 (a,b,a为常数，a≠0，a≠0) 接近平行 接近平行 自我训练 2.常见的函数模型 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 函数模型 函数解析式 “/”或“X”) f(x)=a.x十b (1)函数y=2的函数值比y=x2的函数 一次函数模型 (a,b为常数，a≠0) 值大 () (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第 f(x)=ax2+bx+c 二次函数模型 一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲 (a,b,c为常数，a≠0) 不赚不赔。 () 50第十一节函数的零点与方程的解 即时训练(1)C画数f(x)=3· [例4门D由零点存在定理可知，若函数 |log2x一1的零点， f(x)-1ogx十x十m在区间(2,4)上存 夯实·必备知识 即3log2x|一1=0的解，即|1og2x|= 在零点， 知识整合 显然画数为增画数，只需满是「(2)· 1.(1)f(x)=0(2)零点x轴(3)f(a) f(b)<0(a,b)f(c)=0 (宁广的解， f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0, 解得一18<m<-5, 2.f(a)f(b)<0一分为二零点 自我训练 即y-lgx与y-（号广圈象的交 所以实数m的取值范国是（一18，一5）， 1.(1)×(2)×(3)×(1)× 故选D. 点，如图所示， 2.B3B4号 即时训练(1)A作出y一fx)的图象 y (实线)，如图所示， 研磨·高考题型 [例1门1)C画载fx)-3-lgF在 3 2 y=a (0,十o)上单调递减， 又f)-3-1og影1-3>0，f2)-2 -3-2-101234￥ 2 1 1og2->0f3)-号-6g3-1- g(x)一f(x)一a有4个零点，脚y 3 3 f(r)与y=4的图象有4个交点， loge3<0, 从函数图象可知，y=|0gx与y= 所以f(2)f(3)<0,则f(x)有唯一零点， 所以实数a的取值范国为(0,4) 且在区间(2,3)内. (2)C,开区间（一1,0）的长度等于1， (宁）广有2个交点，即画数)的零点 (2)BC周为西数y一2y-是在区 每经过一次操作，区间长度变为原来的 个数为2 间(1,2)上单调递增， 一半， (2)答案2 所以函数f(x)=2-2 一a在区阀 经过”次操作后，区间长度变为云· 1 解析在同一坐标系中作出两个函数的 (1,2)上单调递增， 故有六<0.1，解得m≥4， 图象，如图，它们交点个数为2 由画款)=2一兰-。的一个案点 至少经过4次二分后精确度达到0.1. y y=x2-4x+5 在区间1,2)内，得f(1)×f(2)-(2一2 即时训练(1)C函数f(x)=3 5 -a)(4-1-a)-(-a)×(3-a)<0, log2x在(0，十∞)上单调递减， 解得0<d<3,故进BC 又f=3-1o1=3>0,2)=号 y=2Inx 第十二节函数与方程的综合应用 1 1og影2=>0 研磨·高考题型 3 f3)=3-1og影3=1-1bg,3<0. [例1](1)C周为y-mx2-6r+1,令y =0,得到mx2一6x+1-0. 所以f(2)f(3)<0,则f(x)有唯一零点， [例3]D如图所示，作出函数f(x)的大 且在区间(2,3)内 致图象（实线），平移直线y一一x, 当m=0时，一6r十1-0，得到=号，满 (2)答案2 足题意， 解析函数f(x)=1og2x十2一6的定 义域为(0，十∞)，且在(0，十∞)上单调 当m≠0时，因为函数y-m.F一6x十1 递增， 有且只有一个零点，故△一36一4m一0， f(2)-l0g2+2-6--1<0, 得到m=9. f(3)=log3+23-6=1og23+2>0, 012 综上，m=0或m=9.故选C. 即f(2)f(3)<0, (2)A周为一元二次方程十mr十3 国此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内， 由k-x-2十2r十2可得， -0(m∈Z)有两个实数根1,2， 所以一2， [例2](1)C由y-x2-(a+1)x+a- x2+3x+2-k=0. 且0<x1<2<rg<4,令f(x)-x2十m 0,得(x一1)(x一a)-0,得x-1浅x △=9一8十4h=0,解得k=一了， 十3，则由题意可得 -d ((0)>0,(3>0, 当a一1时，函数的零点个数为1： 当a≠1时，函数的零点个数为2 故当=一十时，直线y=一 f(2)<0,即7+2m<0, 一r与曲 f4)>0, 19+4m>0, 所以孩函数的零点个数是1或2.故 线y-x十2x十2(r≤0)相切： 选C. 解得-<m<一 7 (2)C由题意得f(x)是以2为周期的 当k-0时，直线y-一x经过点(0,0)， 又m∈Z,可得m=一1. 偶函数， 且与曲线y=x2+2x十2(x≤0)有2个 作出y-f(x)与y一og1r|的函数图 d≤0的 象，如图所示，由图象可知，两西数图象 不同的交点： [例2]A先作出f(x)- 1n2x,x>0 共有6个交点」 当k=2时，直线y=2一x经过点(0,2)， 图象 且与(x)的图象有3个不同的文点， y=八x) 由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的 -4-3-2-1Q/123456x 图象与直线y=k一x有3个不同的 交点 460 令f(x)=d,在区间（一1,0）内时，e=a, 由图象可得有两个文点，横坐标设为 第十三节函数模型的应用 r-ha,得到-1<na<0,所以上<a t2. e 则1=01<2<2， 夯实·必备知识 <1: 对于1=f(x),分别作出函数y=f(x)和 知识整合 在区间（分1）内时n2x=@= 2 直线y=g的图象，如图所示， 1.y轴x轴 则<号<1，解得1<0<2，所以0< 自我训练 y-八x) 1.(1)×(2)×(3)√(4)× <ln2. 综上，得a∈（日h2) 2 2.D3D4.C y= 研磨·高考题型 即时训练(1)D因为f(x)=r(x一a), 2-17712345x [例1](1)BD由图可知在[4142]这段 x≥1时至多有一个零点，单调函数f(x) -1 -2 时间内，甲，乙两企亚的污水指放量均超 =2一a,x<1至多一个零点， {2-a,r<1, 由图象可得， 标，故A错误； 而函数f(x)- r(-a)rS10有2个 当f(x)-1-0时，函数y一f八x)与x轴 在时，甲，乙两企业的污水排放量相 零点， 有两个交点，即方程(x)=0有两个不 等，故B正确： 所以需满足f(x)=r(x一a）,r≥1有1 相等的根， 甲企业的污水排放量的最小值不大于乙 个零点，f(x)-2一4，x<1有1个 当=f(x)时，函数y=∫(x)和直线y= 企业的污水捧放量的最大值，故C错误： 零点， 2有三个交点，即方程1=f(x)有三个 在[0，山1]这段时阅内，甲企业的污水排 loga<1. 所以 解得1≤a<2,故选D. 不相等的根， 救量高于乙企业的污水排放量，故D a≥1. 嫁上可得g(x)=0的实根个数为5， (2)C画出f(x)的图象如图。 正确. 即函数g(x)=f(f(x)-2f(x)+1的 (2)B。由散点图的定义域可捧除C,D 零点个数是5. 选项，由散点图的增长方式可知函数模 [例4]D令g(x)=4[f(x)]2-(H+3) 246810124 型为指数型. :359::3:5= f(x)+31=0, 即时训练A当点P在AB上时，y一 解得)-寻或x)- ×xX1=,0<<1 由题意可知一log工1一log6xg→x1 作出函数y=f(x)的图象，如图所示， 当点P在BC上时，y=S正方形ABCD一 =1, y=lln xl -c0s--c0s4 4 由图象可知，关于直线x=10 x=-10 l<2 对称， 所以x1十x4=20,图此工1 21I y=f八x)与=子有4个交点， 当点P在CM上时，y= -xgT4· 当一o8吾=一c0s子1=1时= 即方程)-早有1个不相等的宾推， (停-）×1-+2<< 由题意可得，方程(x)一1有3个不相 5,x4-15,此时3-75， 综上，y=(x)= 等的实根， (1 当-o5吾1-一c0s芳-0时一 即y-(r)与y-1有3个交点， 2,0≤r≤1. ,此时西工4 375 故实数1的取值范国是(0，号)U1 +2. 1 4 当存在工，工(<xg<工<工) 即时训练答案(0,1] 满足f八x1)=f(x)=f(x)=f(x)=d 解析由题意，(x)的图象如图所示 +2<≤2 1 ∈(0,1)时，此时x2xx4-x1x 函数图象大致如A迭项所示， ∈(53) [例2](1)C经过x天后，“进步”与“落 [例3]B令1-f.x),g(x)=0, 后”的比12 0.8 ≥10000， 则f()-21+1=0, 即f(t)-21-1, 周为[f(x)]一(2m十1)f(x)十m”十m 所以(2)≥1000， 分别作出画数y=f(t)和直线y=21一1 -0有7个实数解， 的图象，如围所示， 设f(x)-L,则方程产-(2m十1)1十m 两边取以10为底的对数得工·g受> 十m=0有2个不相等的实根一m,4 4,又1g2≈0.301,1g3≈0.477， 4 y=2t-1 -m十1且0<11<14<2成1≤1< 所以x·(1g3一lg2)-x(0.477 32 2,2-2. 0.301)-0.176x≥4， y=f(t) 当1≤1<2,2-2时，m-1,满足题意： -2-1六12345 当0<4<1≤12<2时，0<m<1≤m十1 解得x>0.76≈22.73. <2,解得m∈(0,1) 所以大约经过23天后，“进步”是“落后” 综上，m∈(0,1]. 的10000倍，故选C, 461