第11节 函数的零点与方程的解-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] (2)已知函数f(x)=|x-2|十1，g(x) 当不等式问题不能用代数法求解或用代 kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实 数法求解比较困难，但其对应函数的图象可 数根，则实数k的取值范围是 作出时，常将不等式问题转化为图象的位置 (3)(多选)记max{x,y,之}表示x,y,之中的 关系问题，从而利用数形结合思想求解。 最大者，设函数f(x)=max{一x,x一3， [即时训练] 一x十4.x一2}，则以下实数m的取值范围 (1)把函数f(x)=lnx一a|的图象向左平 中，满足f(m)<1的有 ( 移2个单位长度，所得函数在(0，十∞)上单 A.(-1,4) B.(-1,1) 调递增，则a的最大值为 C.(3,4) D.(4,+∞) A.1 B.2 C.3 D.4 请完成课时作业（十六） 第十一节 函数的零点与方程的解 [课标要求]1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用 3.了解用二分法求方程的近似解. 夯实·必备知识 》 ■ 知识整合 【常用结论】 若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调 1.函数的零点与方程的解 函数，则f(x)至多有一个零点. (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x),我们把使 白我训练 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 (2)函数零点与方程实数解的关系 “/”或“X”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的 方程f(x)=0有实数解台函数y=f(x)有 交点. 台函数y=f(x)的图象与 (2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 有公共点 点，则f(a)f(b)<0. (3)函数零点存在定理 (3)若连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)>0, 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 则f(x)在区间(a,b)上没有零点.( 一条连续不断的曲线，且有 ,那 (4)求函数零点的近似值都可以用二分法. 么，函数y=f(x)在区间 内至少有 ) 一个零点，即存在c∈(a,b),使得 2.下列函数中，不能用二分法求零点的是( 这个c也就是方程f(x)=0的解， A.y=2 B.y=(x-2)2 2.二分法 C.y=x+1-3 D.y=In x 对于在区间[a,b们上图象连续不断且 3.方程logx=x一2(0<a<1)的实数解的个 的函数y=f(x),通过不断地把它的零 数是 ( 点所在区间 ,使所得区间的两个端 A.0 B.1 点逐步逼近 ,进而得到零点近似值 C.2 D.3 的方法叫做二分法。 4.函数f(x)=|x-1-x的零点是 46 第二章函 数 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一函数零点所在区间的判定 题型二 函数零点个数的判定 [例1](1)(2025·忻州模拟)函数f(x) [例2] (1)(2025·洛阳模拟)函数y=x2 3-1ogx的零点所在的区间是 (a+1)x+a的零点个数为 () A.1 B.2 A.(0,1) B.(1,2) C.1或2 D.0 C.(2,3) D.(3,4) (2)若函数y=f(x),x∈R满足f(x十2)= (2)用二分法求函数f(x)=1og3(2.x+4)一 f(x),且当x∈(-1,1]时，f(x)=|x|,则 十2在区间（-1,0)内的零点近似值，至少 函数y=f(x)的图象与函数y=log,|x|的 图象的交点的个数为 经过 次二分后精确度达到0.1 A.3 B.4 C.6 D.8 A.2 B.3 [尝试解答] C.4 D.5 [尝试解答] [思维升华] 确定函数零点所在区间的常用方法 [思维升华] (1)利用函数零点存在定理：首先看函数 求解函数零点个数的基本方法 y=f(x在区间[a,b们]上的图象是否连续；再 (1)直接法：令f(x)=0,方程有多少个 看是否有f(a)·f(b)<0,若有，则函数y= 不同的实数根，则f(x)有多少个零点. f(x)在区间(a,b)内必有零，点 (2)定理法：利用函数零点存在定理时往 (2)数形结合法：通过画函数图象，观察 往还要结合函数的单调性、奇偶性等 图象与x轴在给定区间上是否有交点来 (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简 判断 单函数，依据两函数图象的交，点个数得出函 [即时训练] 数的零点个数， 1)函数f(r)=3-logx的零点所在的区 [即时训练] (1)(2025·渭南模拟)函数f(x)=31og2x 间是 一1的零点个数为 A.0,1) B.(1,2) A.0 B.1 C.(2,3) D.(3,4) C.2 D.3 (2)函数f(x)=log2x十2一6，函数f(x)的 (2)(2025·石家庄模拟)函数f(x)=2lnx 零点所在的区间为(n,n十1)且n∈N,则n 的图象与函数g(x)=x2-4.x十5的图象的 交点个数为 个 47 金榜题名创新高考总复习数学 题型三函数零点的应用 [思维升华] 命题点1根据函数零点个数求参数 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 [例3](2025·安阳模拟)已知函数f(.x)= (1)直接法：直接根据题设条件构建关于 x2+2x+2,x≤0， 参数的不等式（组），再通过解不等式确定参 的图象与直线y=k一x ln(x+1),x>0 数（范围） 有3个不同的交点，则实数k的取值范围是 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成 求函数值域确定参数范围. A(-+∞ B.(0,十∞) (3)数形结合法：先对解析式变形，在同 一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后 c(-42] D.(0,2] 利用数形结合法求解， [尝试解答] [即时训练] (1)(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)= logz,>0, 若g(x)=f(x)-a有4 -x2-4x,x≤0， 个零点，则实数a的取值范围为 命题点2根据函数零点的范围求参数 A.(0,4) B.(0,3) [例4](2025·信阳质检)函数f(x)=1og2x C.(0,2) D.(0,1) 十x2十m在区间(2,4)上存在零点，则实数 m的取值范围是 ( (2)(多选)函数fx)=2-2-a的一个零 A.(-∞，-18) B.(5,+o∞) 点在区间(1,2)内，则实数a的可能取值是 C.(5,18) D.(-18,-5) [尝试解答] A.0 B.1 C.2 D.3 请完成课时作业（十七） 第十二节 函数与方程的综合应用 [重点解读]函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析 函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现 在压轴题位置. 研磨·高考题型 > ■ 题型一由零点分布求值（范围）》 (2)(2025·哈尔滨模拟)已知一元二次方程 命题点1二次函数的零点分布 x2十m.x十3=0(m∈Z)有两个实数根x1, [例1](1)(2025·宿迁质检)函数y=m.x x2,且0<x1<2<x2<4,则m的值为 一6x十1有且只有一个零点，则实数m的 值为 A.9 B.12 A.-4 B.-5 C.0或9 D.0或12 C.-6 D.-7 48即时训练(1)C西数f(x)=3· [例4们D由零点存在定理可知，若函数 第十一节函数的零点与方程的解 logr一1的零点， f(x)=log2x十x2十m在区间(2,4)上存 夯实·必备知识 即3og2x-1=0的解，即1log2x= 在零点， 知识整合 显然函数为增西数，只需满足「(2)· 1.(1)f(r)=0(2)零点x轴(3)f(a) f(b)<0(a,b)f(c)=0 (行）广的解 f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0, 2.f(a)f(b)<0一分为二零点 解得-18<m<一5， 自我训练 即y=1ogex与y=(号）广图象的交 所以实数m的取值范国是（一18，一5） 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 故选D. 点，如图所示， 2.B3.B47 即时训练(1)A作出y一fx)的图象 (实线)，如图所示， 研磨·高考题型 4 [例1门(1)C函数fx)-3 -logar在 2 v=a (0,+6∞)上单调递减， 又f1)=3-16g1=3>0,/2)=2 -3-2-11234 2 -2 10g2=>03)=号-l6g3=1- -3 g(r)■f(r)一a有4个零点，即y 3 f(x)与y=4的图象有4个交点， 1og23<0. 从面数图象可知，y=|门10gx与y 所以f(2)f(3)<0,则f(x)有唯一零点 所以实数的取值范围为(0,4). 且在区间(2,3)内. (2)C:开区间(-1,0)的长度等于1， (行）广有2个交点即画教)的索点 (2)BC因为函能y=2y=-是在区 每经过一次操作，区间长度变为原来的 个数为2. 间(1,2)上单调递增， 一半， (2)答案2 所以函数f(r)=2=-2 一a在区间 经过n次操作后，区间长度变为云· 解析在同一坐标系中作出两个函数的 (1,2)上单调递增 故有<0.1，解得0≥4， 图原，如图，它们交，点个数为2 由画数f)=2-兰-a的一个案点 至少经过4次二分后精确度达到0.1. y=x2-4x+5 在区间(1,2)内，得f(1)×f(2)=(2一2 即时训练(1)C画数f(x)=3 -a)(4-1-a)=(-a)×(3-a)<0, log3x在(0，十oo)上单调递减， 解得0<a<3,故选BC 又/1)=8-101=3>0,2)=2 y=21nx 第十二节函数与方程的综合应用 1oge2=>0 研磨·高考题型 f3y-号-1g3=1-loe3<0, [例1](1)C周为y=m2-6x+1,令y =0,得到mx2-6.r+1-0, 所以f(2)f(3)<0,则f(x)有唯一零点， [例3]D知图所示，作出函数f(x)的大 且在区间(2,3)内. 致图象（实线），平移直线y=k一x, 当m=0时，一6红十1=0，得到=号满 (2)答案2 是题意， 解析函数f(r)=log2x十2一6的定 义域为(0，十0∞)，且在(0，十0)上单调 当m≠0时，因为函数y=m.r2-6x十1 递增， 有且只有一个零点，故△=36一4m=0, f(2)-1og22+22-6=-1<0, 得到加=9. f(3)=10g23+21-6=log23+2>0. 012、 综上，m=0或m=9,故选C, 即f(2)f(3)<0. (2)A周为一元二次方程x2十mr+3 因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内， 询k-x=x2+2x十2可得， =0(m∈Z)有两个实数根x1,x4, 所以n=2. [例2](1)C由y=x2-(a+1)x+a= x2+3.x+2-k=0, 且0<x<2<3<4,令f(x)=x2+m. 0,得(x一1)(x一a)=0,得x=1或x 十3，别由题意可得 =a, △=9-8+4k=0.解得k=- f(0)>0,13>0. 当a=1时，函数的零点个数为1： f(2)<0,即7+2m<0, 当a≠1时，函数的零点个数为2. 故当=一时，直线y=一 一x与由 f(4)>0, (19+4m>0, 所以该画数的零点个数是1或2.故 线y=x2十2x+2(x≤0)相切： 选C 解得一<m<一名 (2)C由题意得f()是以2为周期的 当k=0时，直线y=一x经过点(0,0)， 又m∈Z,可得m=一4. 偶函数， 且与曲线y=x2十2x十2(x≤0)有2个 作出y■f(r)与y=log|x|的函数图 不同的交点： [例2]A先作出f(r)= j≤0的 象，如图所示，由图象可知，两西数图象 11n2x.x>0 共有6个交点. 当k=2时，直线y=2-x经过点(0,2)， 图象， 且与f(x)的图象有3个不同的交点， 2 y=fx) 由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的 43 图象与直线y=k一x有3个不同的 交点 460