第9节 指、对、幂的大小比较-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章函数 第九节指、对、幂的大小比较 [重点解读]指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的 大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对 数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置， 研磨·高考题型 》 ■ 题型一直接法比较大小 [尝试解答] 命题点1利用函数的性质 [例1](2025·郑州质检)设a=0.8.8,b= 0.89,c=0.98,则a,b,c的大小关系是 A.c>b>a B.a>b>c C.ac>b D.c>a>b [尝试解答] [思维升华] 利用特殊值作“中间量”比较大小 在指数、对数中通常可优先选择“一1,0， 命题点2找中间值 [例2](2025·无锡模拟)已知a=1og,2,b= 是，1”对所比较的教进行划分，然后再进行比 较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目 1og10.7c=0.6,则a,b,c的大小关系是 1 需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行 ( 估计，例如1og23,可知1=log22<1og23< A.a<c<b B.a<<c 1og24=2,进而可估计1og23是一个1~2之 C.b<c<a D.c<a<b 间的小数，从而便于比较。 [尝试解答] [即时训练] (1)(2025·龙岩模拟)已知a=0.32,b= 0.31,c=log.3,则a,b,c的大小关系为 () A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 命题点3特殊值法 1 [例3】已知a>b>1.0<c<号，则下列结论 (2)(2025·镇江模拟)若a=2产，b=1og:3· 正确的是 c=sn号则a6,c的大小关系为（ A.a<b B.ab<ba' A.a>b>c B.a>c>b C.alog.c<blog.c D.log.c<logic C.b>a>c D.b>c>a 41 金榜题名创新高考总复习数学 题型二 利用指数、对数及幂的运算性质 命题点4对数法 化简比较大小 22 205 例7] 命题点1作差法 已知a=(1+2024) ,b=（1+20%) [例4](2025·枣阳模拟)已知a=log4,b= 则a,b的大小关系为 log5,c=log6,则a,b,c的大小关系是 [尝试解答] ( A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b [尝试解答] 命题点2作商法 [例5]已知a=0.408,b=0.33,c=0.3°.‘，则 () A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>>a [尝试解答] [思维升华]… 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可 通过真数的大小与指数、对数函数的单调性 判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用 指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转 命题点3乘方法 化为某一部分相同的形式· [即时训练 [例6们 已知a=log5,b=log7,c 3,则 (1)已知a=210,b=35,c=9”,则a,b,c的 大小关系是（参考数据：lg2≈0.3010，lg3 A.a>b>c B.b>a>c ≈0.4771) () C.c>b>a D.>c>b A.a>b>c B.b>a>c [尝试解答] C.bc>a D.c>b>a (2)已知x,y,x为正数，且2=3'=5，则 A.3y<2x<5x B.2x<3y<5x C.3y<5z<2x D.5z<2x<3y 请完成课时作业（十五）、必刷小题3 42即时训练(1)A由题意得，x一2x> [例3]C取特珠值，令a=4,b=2,c [例7]答案a<b 0→x∈(-89,0)U(2,十∞)， 解析 而函数y一x2-2x的对称轴为x-1. 构建画数f(x)=xln(1+)(z 所以西数y=x2一2x在（一，1）上单调 则a=宁，F=2,.4>M,故A >0) 递减，在(1，十∞)上单调递增， 错误： 则f)-(1+)- 根据复合函数单调性”同增异诚”的 a/-4×2r-2÷,bd-2×4片-2r. 原则 .a山>bd,故B辑误： 令ga=ln(1+）-c>o 函数f(x)的单调遂增区间为(2，十○)， logc=log.-1.logc loga 1 又因为画数f(x)在(a,十∞)上单调 -2,alogsc=-8,blog c=-2, 则g(x)一 r(1+)g<0. 递增， .alog,c<blog,c,logc>log,c,故C正 可知(x)在(0，十o0)上单调递减. 所以a∈[2，十∞). 确，D错误。 即时训练(1)C由y=0.3为减 又当x·十o∞时，f(x)0, eB令1-2-2art5a-1 函数， 所以f(x)>0,x)在(0，十∞)上单调 根据复合函数的单调性，委使函数f(x) 得0<a-0.32<0.3.1-b<0.3-1, 递增， -1log(e2-2ar+号。-1）有漾大值. 由y-log.1x为减函数，得e-log3< 所以f(2025)>f(2024),即a<b. logo.31-0, 即时训练(1)B周为a=2100, 则画数1--2a十号0-1有兼小正 Ka<h. 所以1ga=1g210=100lg2≈30.1， 值，且禹数f1)=loR1为减函数， （2Ba=2*>20=1.里6=l0g:号 因为b=35, 可知0<u<1. <1og1-0, 所以1gb-1g3时-651g3≈31.0115， 5 要使函数1-r2-2ax+2a-1有最小 又分∈(o,受）c-m号∈0,1. 因为c-90-30, a>>b. 所以1gc-lg30-60lg3≈28.626， 正值 则4=4d2-4(号a-1）<0. [例打A“a=lg4一是号b=log,5 所以lgb>lga>lgc,所以b>a>c. (2)A令2=3=5=k(k>1), 则x=logk,y=logk,之=logk, 解得号<a<2. 是气c-e6-器 所以二-21g-2级k.g3-_g9 缩上a的取值范国为（侵1） a-6提器 3y 310gk g23gkg8 1g4)3-g3×1g5 >1, 1g3×1g4 第九节指、对、幂的大小比较 (g3+g5) 则2x>3y (1g4)2- 2 研磨·高考题型 Ig 3XIg4 --·-<1 1g2 [例1门D令f(x)-0.8 4(1g4)-(1g15) 则2r<5x 由指数函数的单调性可知f(x)在R上 41g3×1g1 (1g16)2-(1g15) 所以3y2x<5z. 单调递诚， 4g3×1g4 >0. 又图为0.8<0.9， 第十节 .a>b. 函数的图象 所以f(0.8)>f(0.9), Ig 5 1g 6 夯实·必备知识 即0.80.8>0.8.9， 又b--1g11g 所以a>b, g5)-1g4×lg6 知识整合 Ig 4XIg 5 令g(x)=x08, 1.列表描点连线 2.(1)f(x)+kf(x+h)f(x-h) 由暴函数的性质可知g(x)一x4在(0， (4g5)2-(g1+1g6) 2 十o)上单调递增， 1g4×1g5 f(x)-k(2)①-f(x)②f(-x) 又因为0.8<0.9， 4(1g5)2-(1g24)2 ③-f(-x)④logx(a>0,且a≠1) 41g4×1g5 所以g(0.8)<g(0.9),所以0.88< (3)①1f(x)1②f(|x) g25)2-(1g24)2 0.8.5, 41g4×1g5 >0 自我训练 即a<c .b>c,故a>b>c. 1.(1)×(2)X(3)×(4)× 所以b<a<c.故选D. [例5]By=0.3是减函数，∴.0.34d 2.A3.C4.B ]A 0-log;1<log;2<log7 >0,中>>0.又号-（合》 研磨·高考题型 () >1,即a>h,a>b>c. [例1门解(1)原函数解析式可化为y一 2+1 [例6]D因为53=125>(3寸)3-81，所 片故画数图象可由画数y=上的 以5>3十， 图象向右平移1个单位长度，再向上平 “1g10.7-loga,70.1>1l6,0.7-1 所以1o照5>l63t-言即a>c 移2个单位长度得到，如图所示 .b>1. 1=0.60>0.60.4>0.50.1>0.5 周为7=343<(5+)3=625，所以7 1 <5六， 所以1og7<lbg5时-号即bKc所以 23 a>c>b. 458