第7节 指数与指数函数-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

金榜题名创新高考总复习数学 [微拓展】 [思维升华」 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 二次函数在闭区间上的最值主要有三种 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的 类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动， 讨论： 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区 (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间 是随参数而变化的，我们称这种情况是“定 间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴 二次函数在动区间上的最值” 与区间的位置关系进行分类讨论 (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图 [即时训练] 象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称 这种情况是“动二次函数在定区间上的最值” (1)已知y=(x-m)(x-n)+2025(m<n), 典例(1)已知函数f(x)= 2x2+x在区 且a,3(a<β)是方程y=0的两根，则a,3, m,n的大小关系是 间[a,b们上的最小值为3a,最大值为3b,则 a十b等于 A.a<m<n<B ( A.-4 B n.号 B.m<a<n<B C.2 C.m<a<<n (2)若函数f(x)=x一2bx十3a在区间 D.a<m<n [0,1]上的最大值为M,最小值为m,则M m的值 (2)(2025·镇江模拟)函数f(x)=x2一4x A.与a无关，与b有关 +2在区间[a,b们上的值域为[一2,2]，则 B.与a有关，与b无关 b一a的取值范围是 C.与a有关，且与b有关 请完成课时作业（十二） D.与a无关，且与b无关 第七节 指数与指数函数 [课标要求]1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质， 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点 等性质，并能简单应用 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 (3)(Wa)"= 1.根式 当n为奇数时，a” (1)一般地，如果x”=a,那么 叫做a 当n为偶数时，a"=|a= Ja,a≥0， -a,a<0. 的n次方根，其中n>1,且n∈N". 2.分数指数幂 (2)式子a叫做 ,这里n叫做根指 正数的正分数指数幂：a=Va"(a>0,m, 数，a叫做被开方数. n∈N',n>1). 34 第二章函数 正数的负分数指数幂：a=】 1(a>0, 2.如图所示是指数函数(1)y=a,(2)y=b, v (3)y=c,(4)y=d的图象，则c>d>1>a m,n∈N°，n>1). >b>0.即在第一象限内，指数函数y=a 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指 (a>0,且a≠1)的图象越高，底数越大。 数幂没有意义. 2) 3.指数幂的运算性质 aa'= :(a) ;(ab)= (a>0,b>0,r,s∈R). x=1 4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=a(a>0,且a≠1) 自我训练 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 域是R. “/”或“X”) (2)指数函数的图象与性质 (1√-4)=-4. ( a>1 0<a<1 (2)2·2=2. ( (3)指数函数y=a与y=a(a>0,且a≠1) ly=a" y=a 的图象关于y轴对称. 图象 (0) …y=1 0,2y=1 (4)若a"<a"(a>0,且a≠1)，则m<n. 01末 01车 () 2.如果函数f(x)=2a·3和g(x)=2r+ 定义域 R 都是指数函数，则a= 值域 过定点 ,即x=0时，y=1 A司 B.1 C.9 D.8 性质 当x>0时，； 当x<0时，； ≥3“，则该 当x<0时， 当x>0时， 3已知关于x的不等式()》 不等式的解集为 ( ) 函数 函数 A.[-4,+∞) B.(-4,十o∞) C.(-o∞，-4) 【常用结论】 D.(-4,1] 1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a), 4-40+(侵)+0.25×（2)' 研磨·高考题型 》 ■ 题型一指数幂的运算 [尝试解答] [例1]计算： 16)-2×(22 ）-2×(/2+元) +() (2)23×31.5×12. 35 金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] [思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分 对于有关指数型函数的图象问题，一般 数指数幂统一为整数的分数指数暴，以便利 是从最基本的指数函数的图象入手，通过平 用法则计算，还应注意： 移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与 ①必须同底数幂相乘，指数才能相加， 1的大小关系不确定时应注意分类讨论. ②运算的先后顺序. [即时训练] (2)运算结果不能同时含有根号和分数 (多选)已知函数f(x)= 指数，也不能既有分母又含有负指数 a-b(a>0,且a≠1， [即时训练] b≠0)的图象如图所 (多选)下列计算正确的是 示，则 A.(-3)=-3 A.a>1 B.(ab)(-3ab)÷（ 3a6)=-9a B.0<a<1 C.b>1 (a>0,b>0) D.0<b<1 C.=3 题型三指数函数的性质及应用 D.已知x+x=2,则x十x1=2 命题点1 比较指数式的大小 题型二指数函数的图象及应用 [例3] 已知()<()<则 ( [例2](1)(2025·福州质检)函数f(x)= Λ.a">a>b B.a">b>a a-a(a>0且a≠1)的图象可能为 C.B>a>a D.a>>a" [尝试解答] B 命题点2解简单的指数方程或不等式 [例4](2025·青岛模拟)已知y=4一3· 2十3的值域为[1,7]，则x的取值范围可 以是 () A.[2,4] B.(-o∞，0) D C.(0,1)U[2,4] D.(-∞，0]U[1,2] (2)若函数f(x)=|2一2一b有两个零点， [尝试解答] 则实数b的取值范围是 [尝试解答] 36 第二章函数 命题点3指数函数性质的综合应用 [思维升华 [例5](2025·郑州模拟)已知定义域为R (1)利用指数函数的性质比较大小或解 一2+b是奇函数。 的函数f(x)=2+2 方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较 大小还可以借助中间量， (1)求b的值； (2)求解与指数函数有关的复合函数问 (2)若对任意的t∈R,不等式f(t一2t)+ 题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调 f(2t一k)<0恒成立，求k的取值范围. 区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一 [尝试解答] 性质分析判断】 [即时训练] (1)(多选)(2025·重庆模拟)已知函数 f(r)= 。+1则下列结论正确的是() e-1 A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(-1,1) C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)为减函数 +1 (2)函数y= (x∈[-1,2])的最大 值为 请完成课时作业（十三） 第八节对数与对数函数 [课标要求]1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用 对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊 点.3.了解指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y=log.x(a>0,且a≠1)互为反函数. 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 ,a8= (a>0,且a≠1， 1.对数的概念 N>0). 一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那么 (2)对数的运算性质 数x叫做以a为底V的对数，记作 如果a>0,且a≠1，MC>0,N>0,那么： ,其中 叫做对数的底数， 叫做真数 ①log.(MN)= 以10为底的对数叫做常用对数，记作 ②log.N 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ③logM"= (n∈R). 2.对数的性质与运算性质 l1ogb(a>0,且 (3)对数换底公式：logb=1og@ (1)对数的性质：log1= log,a= a≠1；b>0;c>0.且c≠1). 37ma)=(-号)=--a+3 (2)答案[2,4] 对于CD,图为渐近线为y=2,所以a= 解析解方程f(x)=x2一4.x十2=2，得 2,故x=0时，y=1, 当-号≥2，即a≤-4时f(x)在区间 x=0或x=4, 故选项C符合，D不符合： 解方程f(x)=x2-4r十2=-2，得x [0,2]上单调遂递减，m(a)=f(2)=a十7. -a<1, =2, 当0<a<1时，f(x)= a+7,a≤-4， a-a,r>≥1， 由于函数f(x)在区间[a,b们上的值城为 当r≥1时，岛数单调递增，当<1时， 综上，n(a) c2-u+3-4a<o [-2,2]. 函数单调递减， 3-a,a≥0. 若函数f(x在区间[a,b们上单调， 函数图象的渐近线为y=a,而0<4<1， 微拓展 则[a,]=[0,2]或[a,b]=[2.4幻，此时b 故ABD不符合.故选C 1 一：取得最小值2： 典例1)A因为f(x)=一豆+x (2)答案(0,2) 若函敏f(x)在区间[a,b们上不单调， 解析在同一平面直角坐标系中画出y =一 一1+名<的周泉的对 1 且当b-a取最大值时，[a,b们=[0,4门， =2一2引与y=b的图象，如图所示， 所以b一a的最大值为4， 称轴为x=1,开口向下，函数在（一o,1门 所以b一a的取值范围是[2,4们. y=2-2引 上单调递增，在[1，十)上单调递减， 道意3b<，所以6行 第七节 指数与指数函数 2 所以f(r)在区间[a,b们上单调递增， 夯实·必备知识 a+a=3a, 1 知识整合 y=-2 fa)=3a 1.(1)x(2)根式(3)aa 所以 f(b)=3b, 20+6=3弘. 2.0 .当0<b<2时，两函鼓图象有两个交 3.a+, an a'h' 点，从而函数f(x)=2一21一b有两个 所以a,6为方程2r2+2:=0的两根， 4.(2)(0,十∞)(0,1)y>10<y<1 零点。 y>10<y<1增减 .实数b的取值范围是(0,2) 所以a十b=一 =一4： 1 自我调练 即时训练BD观察图象得，函数f八x) 2 1.(1)×(2)×(3)/(4)× =一b是减蓝数， (2)A画数f(x)=,x一2hr+3a的图 2.D3.A4.5 因此0<a<1, 象开口向上，且对称轴为直线x=b, 研磨·高考题型 设图象与y轴交点的纵坐标为y。,则0 ①当b>1时，f(.x)在[0,1]上单鸿递减， 则M=f(0)=3a,m=f(1)=1-26+ [例1] 解(1)原式 () -2× <y%<1, 当x=0时，y=1一b,于是得0<1一b< 3a,此时M一m=2b一1，故M一m的值与 1,解得0<b<1, a无关，与b有关： ()-2+()月 所以0<a<1,0<b<1 ②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增， 则M=f(1)=1-2b+3a,m=f(0)= -[()门-x[()门 -2+ [例3]A因为函数y=(号)广在R上 3a,此时M一m=1一2b,故M-n的值与 a元关，与b有关 -2×-2+品 单调递浅（分）广<()》广<宁· ⑤③当0≤b≤1时，m=f(b)=3a一2， 所以a>b>1, 若0≤B≤号，则fD≥f(0),有M= 号-号-2+品=-0 48 因为西数y=a(a>1)在R为增函数. f(1)=1-2b+3a,∴.M-m=2-2h+ ②原式-2x3X3x(受)广××3 所以a>aN, 1,故M-m的值与a无关，与b有关， 又y=(b>1)在(0，十©)上单调递增， =6X2+×3++ 所以d>出， 若>2，则fD<f0),有M=f0) =6×3=18. 综上ad>>.故选A =3a, 即时训练BC 对于A,-3)= [例4]Dy=-3·2+3的值域为 M一m=2,故M一m的值与a无关， 3=3立=3时=3≠一3，所以A [1,7], 与b有关， 错误； ∴1≤4-3·2+3≤7. 综上，M-m的值与a无关，与b有关. 对于B,(ab)(-3ab)÷ 又2>0，.0<2≤1或227≤4 即时调练(1)Cy=(x一m)(x一n)十 2025(m<n)为二次西数，图象开口 (分a6）=-9a++·+ x≤0或1≤x≤2. [例5]解(1)因为定义域为R的函数 向上， =一9a(a>0,b>0),所以B正确： 因为a,3(a<3)是方程y=0的两根， f(x)= 一2十书是奇画数， 故a,a<3)为二次函数的图象与r抽 对于C,√啊=V/9F=9t=3=3,所 2+1+2 的两个交点的横坐标， 以C正确； 所以f(0)= 一1+b=0,解得b=1, 4 其中f(m)=f（n)=2025, 对于D,因为(x十x1)2=x2+2+x 经检验，当b=1时，f(x)= -2+1 画出大致图象如图所示， =4,所以x+x1=士2，所以D错误. 2+1+2 例2](1)C当a>1时，f(x) 1.1-2 -2025 a-a,x≥1， 21+2 a-a,r<1, 1.1-21.2-1 是然当x≥1时，函数单调递增，当x<1 -0=立·+2=交2+ 时，虽数单调递减， 11-24 21+2 =一f(x),函数为奇函故， 函数图象的渐近线为y=a,而a>1,故 显然m<a<. AB不符合： 所以b=1. 456 研磨·高考题型 对于C,由指数函数的图象，可得a>1, 显然f(x)是减函数， [例1门(1)B因为2=3”=k且m 则0<】<1，脚函数g(x)在(0，十©)上 由(2-2)十f(22一k)<0可得「( 上=2，所以m≠0且n≠0，所以k>0且 单调递减，故C正确： -21)<-f(2r2-k), 对于D,由指数函数的图象，可得a>1, 即f(2-2)<f(-2:2+k),12-2> k≠1， 时0<<1，高数g在0，十e)上 22+k,32-21>k. 且有m=log2k,n=logk,所以 单调递减，故D错误. 当1-号时，函载y3一2红有最小值 log 2.I-log 3. (2)A由于西数y=lg(x十1)的图象可 n 由函数y=gx的图象左移一个单位而 为ymn=一 3 所以+日=lo®2+ioe3=log5=2 得到，函数y=gx的图象与x轴的交点 故k的取值范国为（一00，一3）】 是(1,0)， 则2=6， 故函数y=g(r+1)的图象与r抽的交 即时训练(1)ABC因为e>0,所以 又因为k>0且≠1.所以=6.故 点是(0,0)，即函数y=lg(x十1)川的图 c+1>0, 选B. 象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选 所以盛数(x)的定义城为R,故A (2)答案2 项只有A选项满足，故选A. 正确： 原式=log335-log50 1 [例3]C国为c=loge<l0g3=1,又1 解析 -logs 14 - 2 <e7<e,8<30,8, 35+1og+2 由e>0e+1>10<1 +log4√②)2=log1X14 所以c<a<b.故选C +1 [例)D国为1og号<2， =log5125-1=1og53-1=3-1=2. 2 2 -2< +<0-1<1- e+1 即时训练(1)答案64 所以log号<loga2. 解析 1 1 3 <1 由1oga -10g1=1ogd 当0<a<1时，对数函数为减盛数， 所以函教(x)的值线为（一1,1），故B 1 1 5 正确： 之log a=一号，整理得(log影a)” 所以号>0，可得0<<， 当4>1时，对数数为增西数。 周务-号是- 5log:a-6=0. →log2&=-1或loga=6,又a>1, 所以号<2，可得a>1 所以函数(x)是奇函数，故C正确： 所以log2a■6=1og22",故a=25=64. 因为函数y=心十1是增函数，所以y日 (2)答案1 馨上所速，口的取植范国为(0号)U e+1>1, 解析国为3=6，所以a=log6, (1,十∞) 所以西数千是减画数 1 1 [例5]D由fx)=m2r十1-ln2x-1 a 所以函数y■一 品是增长 logs2=1ogs 6=1. 得(x)的定又城为{：x≠士号}关 [例2门(1)By=1og(一r)的定义拔为 于坐标原点对称。 故f)--1-2是增面数， (一o,0),故AD错误：BC中，又因为a f(-)=In 1-2rl-Inl-2r-11= 2+1 e+1 >1,所以0<】<1，故C错误，B正确. ln2x-1-lnl2.x+1=-f(.x), 故D不正确 a 「(x)为定义城上的奇函数，救排除 (2)答案8 故选B A、C: 解析设1=一2+1， (2)答案C 因为r∈[-1,2]， 解析不妨设a<b<c,作出函数f(x》 当（言）时 所以当x=0时，1有最大值1， 的图象，如图所示， f(x)=ln(2.x+1)-ln(1-2.x), 当x=2时，1有最小值一3， 即-3≤1≤1， “y=n(2r+1)在(-之，号)上单辆 递增， 所以<（分）广<8，即y-(日)）广的取 y=n1-2)在(-号安)上单调 递城， 所以函数的最大值为8 由图象可知0<a<1<h<10<c<12, 由f(a)=f(b),得lga=llgb, “x)在(-，立)上单调造增，故排 第八节对数与对数函数 即一lga=lgb, 除B: 夯实·必备知识 .lgab=0,则ab=1, 当x(-,-)时，fx)=ln(-2 .ac=c.又10<c<12. 知识整合 .ax的取值范国是(10,12) 1)-n(1-2x)=m2 2r+1 1.r=log,N a N Ig N In N 即时训练(1)C对于A,由指数或数 2.(1)0 1 N (2)Dlog M+log N ②log.M-logN③nlog M 的图象：可得。>1，则0<<1，即西数 n(1+2名） 3.(0,+∞)(1,0)y>0y<0y<0 g(r)在(0，十∞)上单调道减，故A :=2z在(-0，-）上单 y>0增减 错误； 递减，f(u)一ln4在(0，十oo)上单调 4.y=r 对于B,由指数函数的图象，可得0<a< 递增， 自我训练 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 1,期。>1，脚画数g)在(0，十o∞)上 根据复合函数单调性可知∫(x)在 2.A3.B4.B 单调道增，故B错误： 一6，一)上单调递减，故D正确. 457