第5节 函数性质的综合应用-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章函数 (2)(2025·南京模拟)已知函数y=f(x)满 A.7 B.2 足f(一x)=f(2+x),其图象关于点(2,0) C.-2 对称，f(2)=0,则f(18)= D- [尝试解答] 题型三两个函数图象的对称 [例3] 已知函数y=f(x)是定义域为R的 函数，则函数y=f(x十2)与y=f(4-x)的 图象 A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 [思维升华] C.关于直线y=3对称 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 D.关于点(3,0)对称 台f(a十x)十f(a一x)=2b:若函数y=f(x) [尝试解答] 满足f(a十x)十f(b-x)=c,则y=f(x)的 图象关于点（士中，）成中心对称。 [即时训练] (1)(2025·扬州模拟)已知定义域为R的 函数f(x)在[1，十o∞)上单调递减，且 f(x十1)为奇函数，则使得不等式f(x2一x) [思维升华] <f(2一2x)成立的实数x的取值范围是 函数y=f(a十x)的图象与函数y ( A.(-1,2) 一)的因象关于直线x2对称。 B.(-∞，-1)U(2,+∞) [即时训练] C.(-2,1) 下列函数与y=e的图象关于直线x=1对 D.(-∞，-2)U(1,+∞) 称的是 ( (2)已知定义域为R的函数f(x)的图象关 A.y=e- B.y=el 于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)=x2+ C.y=e2 D.y=In x mx十n,若f(一1)=一7，则3m十n等于 ( 请完成课时作业（十） 第五节 函数性质的综合应用 [重点解读]函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函 数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查， 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一函数的奇偶性与单调性 不断的曲线.若Hx∈（一o∞，0]，且x1≠x2, [例1](2025·德宏质检)已知函数f(x)是 f(x)-西fx)>0,则不等式a2f(a)- 定义在R上的奇函数，它的图象是一条连续 x1一x2 (a-1)f(a-1)>0的解集为 () 29 金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函 B.(-1,1) 数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将 c15 所求函数值的自变量转化到已知解析式的函 数定义域内，或已知单调性的区间内求解」 D.(0,1) [即时训练] [尝试解答] (2025·石家庄模拟)奇函数f(x)的定义域 为R,若f(x十1)为偶函数，且f(1)=2,则 f(2023)+f(2024)的值为 () A.2 B.1 C.-1 D.-2 [思维升华] 题型三 函数的奇偶性与对称性 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化 [例3](2025·长沙模拟)已知f(x)是定义 为f(g(x))>f(h(x),利用单调性把不等 在R上的偶函数，则下列函数的图象一定 式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式 关于点（一1,0）成中心对称的是 ( (组). A.y=(x-1)f(x-1) (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调 B.y=(x+1)f(x+1) 区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同 C.y=xf(x)+1 一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. D.y=xf(x)-1 [即时训练] [尝试解答] (2025·邯郸模拟)已知y=f(x)为定义在 R上的偶函数，当x∈[0，+o)时，函数 f(x)单调递减，且f(2)=0,则x+1)≥0 的解集为 题型二函数的奇偶性与周期性 [例2](2025·襄阳模拟)已知定义在R上 的奇函数f(x)满足f(x十2)=一f(x),当 x∈[0,1]时，f(x)单调递增，则 [思维升华] A6)<f-)<f() 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周 期，常用于化简求值、比较大小等 Bf6)<f()<f-) [即时训练] C.f-7)<f()<f6) 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2一x) =f(x),在区间(0,1)上，有(x1一x2） D.f(侵f(-)<f6) [f(x)一f(x2)]>0,则下列说法正确的是 () [尝试解答] A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 B.函数f(x)的图象关于直线x=2轴对称 C.在区间(2,3)上，f(x)单调递减 D.f()>f() 30 第二章函数 题型四函数的周期性与对称性 [思维升华 [例4]（多选）(2025·昆明模拟)已知定义 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性 域为R的非常数函数f(x),f(1+x)= 是函数的四大性质，在高考中常常将它们综 f(1一x),且图象关于点(2,0)对称，则下列 合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的 说法正确的是 奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上 A.f(0)=f(2) B.f(x)的周期T=2 的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性 C.f(x)为奇函数 D.f(x)为偶函数 解决相关问题， [尝试解答] [即时训练] (多选)(2025·盐城模拟)已知非常数函数 f(x)为R上的奇函数，g(x)=f(x十1)为 偶函数，下列说法正确的有 () A.f(x)的图象关于直线x=一1对称 B.g(2023)=0 C.g(x)的最小正周期为4 D.对任意x∈R都有f(2-x)=f(x) 请完成课时作业（十一）、必刷小题2 第六节二次函数与幂函数 [课标要求]1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质 (单调性、对称性、顶点、最值等). 夯实·必备知识 >》 知识整合 ②当α>0时，幂函数的图象都过点 1.幂函数 和 ,且在(0，十o∞)上单调递增： (1)幂函数的定义 ③当α<0时，幂函数的图象都过点 一般地，函数 叫做幂函数，其中x 且在(0，十∞)上单调递减； 是自变量，a是常数， ④当a为奇数时，y=x为 ;当a为 (2)常见的五种幂函数的图象 偶数时，y=x”为 =x)y=x2 y=x 2.二次函数 y=x习 (1)二次函数解析式的三种形式 y-x 一般式：f(x)= 0:1 顶点式：f(x)=a(x一m)2十n(a≠0)，顶点 坐标为 (3)幂函数的性质 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)， ①幂函数在(0，十○)上都有定义； x1,x2为f(x)的 31可得虽数f(x)的周期为4， 所以f(x)一f(.x十4)=0， 图为+≥0. 所以f(号)=f()=-(-2) 即f(x)=f(x+4), 所以函数f(x)的一个周期为4 所以/x>0. =-()=g 所以f(18)=f(2)=0. fx+1)≥0→0<r≤1， 即时调练(1)D图为f(x十1)为奇 (2)答案(-1,1) us →r≤-3. 解析，f(x十2)是偶函数， 函较， 所以f(x)的图象关于点(1,0)对称， 故fr+D≥0的解集为(-四，-3】U f(x十2)的图象关于直战x=0对称， f(x)的图象关于直线x=2对称， 图为f(x)在[1，十∞)上单调递减， (0,1]. 又f(x)在[2，十∞)上单调递减， 所以f(x)在R上单调递减， [例2]B:f(r+2)=-f（.x), f(x)在（一oo.2]上单调递增 所以x3-x>2-2x,脚x2+x-2>0,解 ∴f(x+4)=几(x+2)+2] 又-2，-1∈(-∞，2，f-2)>f-1) 得r<-2或x>1, =-f(x+2)=f(x), .-x2>-1,即x2<1, 所以x的取值范围为（一©，一2）U ,函数(x)是周期为4的周期函数， -1x<1, (1,+∞)， ∴f(6)=f(2)=-f(0)=f(0). 原不等式的解集为（一1,1） (2)C因为定义城为R的函数f(x)的 -)=f1)f()=f(受) 即时训练(1)D因为f(x十1)是偶函 图象关于点(1,0)对称，且当≥1时， 数，所以其对称轴为直线x=自， f(x)=x2十m.x十n, -f(-)=f(2 所以f(x)的对称轴为直线r=1, 若f(-1)=-7,则f(3)=-f(-1) 又当x∈[0,1门时，f（x)单调递增， 又二次扇数f(x)=一x2十bx+c的开口 =7. 向下， 故f(3)=32+3m十n=7,即3m十n= 0<f(）. 根据自变量与对称轴的距离可得 -2. f(-1)<f(2)<f(1). [例3]A设P(xa%)为y=f(x+2)图 牌6)<（侵）-. (2)D由f(x)=f(4-x)可知y=f(x) 象上任意一点， 即时训练D:f(x+1)为偶品数， 的图象关于直线x=2对称，y=x-2到 则%=f(x0+2)=f(4-(2-0), ∴.f(x+1)=f(-x+1), 的图象关于直线x=2对称， 令t=x+1,则一x十1=2一1， 所以点Q(2-6,%)在函数y-f(4一x) 所以x1十x2十T1十x1=1X2=8. 即f()=f(2-1), 的图象上， :f(x)为奇画数，f()=一f(一t) [例2]I)ABC对于A,/r)-2 而点P(0)与点Q(2-6,%)关于 x+2 ∴f(2-1)=-f(-t), 直线x=1对称， 2〉5=2-千共周泉可以 5 令m=一1，得f(2十m)=一f(m), x+2 所以函数y=f(x十2)与y=f(4一r)的 .f(4+m)=-f(2+m)=f(m), 由y=一三的因象向左平移2个单位长 图象关于直线x=1对称， .f(4+r)=f(x), x 即时调练C与f(x)=e的图象关于 即函数f(x)是周期为4的周期函数， 度，再向上平移2个单住长度得到，且y 直线x■1对称的是f(2-x)=e2-,脚 又f(1)=2,f(0)=0, =一子的国象关于原点对称，故)= y=c2- 则f(2023)+f(2024)=f(506×4-1) +f(506×4)=f(-1)+f(0)=-f(1) +2的因象关于成(-2,2)中心对称， 2x-1 第五节 函数性质的综合应用 +f(0)=-2. [例3]B构造函数g(x)=xf(x), A正确： 研磨·高考题型 该函数的定义城为R, 对于B,国为f(2x一1)为奇函数，所以 例1门A因为f(x)为奇函数， 所以g(一x)=一xf(一x)=一xf(x)曰 f(2x-1)=-f(-2x-1).所以/(x-1) 所以xf(x)是定义在R上的偶函数， 一g(x), =-f(-x-1), 由题意可知xf(x)在（一e,0]上单调 函数g(x)为奇函数，故品数g(r)图象的 所以f(x)=一f(一x一2)，所以函数 递增， 对称中心为坐标原点， f(r)关于点（一1,0）中心对称，B正确： 则xfr)在(0，+o∞)上单调递减， 对于A选项，函数y=(x一1Df(x一1)的 对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1 g(r)=xf(r),df(a2)-(a-1)f(a-1) 图象由函数g(x)的图象向右平移1个单 个单位长度，再向上平移1个单位长度 >0=a2f(a2)>(a-1)fa-1)=g(a2) 位长度得到， 得到函数y=f(x一1)十1的图象，由于 >g(a-1), 故函数y■(x一1)f(x一1)图象的对称 y=f（x)过定点(0,1)，故函数y=f(x-1) fa2<a-1,a≥1， 中心为(1,0)： +1过定点(1,2)，C正确： 所以a2<1a-1,即 a2<1-a,a<1, 对于B选项，函数y=(x十1)f(x十1)的 对于D,函数y=二}=红-b)+h-1 图象由画数g(x)的图象向左平移1个单 x-b -6 解得15<4< -1+√5 2 2 位长度得到， =1+吕号的图泉吴于点(30)中心 即时调练答案（一○，一3]U(0,1] 故函数y=(.x十1)f(r十1)图象的对称 对称， 解析由题意知品数∫(x)在（一∞，0] 中心为(-1,0)： 上单调递增且为偶函数， 对于C选项，函数y=xf(r)十1的图象 所以3-h=0·解得6=3c=1. 由函数g(x)的图象向上平移1个单住长 e=1, 由f(2)=0得f(一2)=0，作出f(x)的 度得到， 所以十c=4,D不正确 糖助图并向左平移一个单位长度， 故函数y=xf(x)+1图象的对称中心为 (2)答案0 如图所示， (0,1): 解析图为函数y=f(x)的图象关于点 对于D选项，函数y一xf（x)一1的图象 (2,0)对称， 3y=fx+1 由函数g(x)的图象向下平移1个单住长 所以f(一x)=一f4十x), 度得到， 又f(-x)=f(2+x), 故函数y=xf(x)一1图象的对称中心为 所以f(x十2)十f(x十4)=0， (0,-1) 454 即时训练Cf(4一x)=f(2-(.x- 研磨·高考题型 又根据题意，函数有最大值8， 2))=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x), [例1门(1)B根据幕函数y=的性质， 所以n=8, 即「(4一x)十f(r)=0,故f(x)的图象 在第一象限内的图象： 关于点(2,0)中心对称. 所以fx)=a(-）+8 当n>0时，n越大◆y一递增速度越快， f(2-x)-f(x),则f(x)的图象关于 直线r=1轴对称，故A、B错误： 所以南线G的用=2.C的0=言 国为八2)=-1，所以a(2-）+8= -1 根据题意可得，f(x)在(0,1)上单调 当n<0时，越大，曲线越陡峭，所以 1 解得a=一4， 递增， 曲线C的n=一2C,的n=一2， f(x)的图象关于直线T=1轴对称，关 所以fx)=-4(-）+8=-4 (2)A由题意，得m2十m一5=1， 于点(2,0)中心对称， 即2十m一6=0，解得m=2或m=一3， +4x+7. 则f(x)在(2,3)上单调递减，故C正确： 当m=2时，可得品数f(r)=x3, 法三：（利用“零点式”解题） 又f(x)=f(2一x)=一f(x一2)，则 此时函数f(x)在(0，十c0)上单调递增， 由已知得f(x)十1=0的两根为x1=2, f(x+2)=-f(x), 特合题意： 2=-1. ∴.f（x十4)=一f(x十2)=f(x),可知 当m=-3时，可得f(x)-x2, 故可设f(x)+1-a(x-2)(x+1)(a≠0)， 「(x)的周期为4， 此时函数f(x)在(0，十∞)上单调递诚， 即fx)=a.x2-a.x-2a-1. 则(-)=f()<f(号)故 不符合题意， 又函数有最大值8，即 即暴函数(x)=x3.则(3)=27. 4a(-2a-1)-(-a)2 D错误 =8. 即时训练(1)A因为函数∫(x)= 4a [例4]AC由f(1+x)=f(1-x)知， 解得a-一4. f(x)的图象的对称轴为直线x=1, (m2-2m-2)xm一细1为幂函数，且在 故所求函数的解析式为「(x)=一4.2十 所以f(0)=f(2): 区间(0，十o)上单调递减，所以m2-2m 4x+7. 由f(1十x)=f(1一x)知，f(2+x)= 一2=1且m2一4m+1<0,又m2-2m 即时训练答案f(x)=2一4x+3 f(-x), 3=0,可祥m=一1或m=3. 解析依题意，设函数f(x)=a(x一2)2 又图象关于点(2,0)对称， 当m=一1时，满足m一4m十1>0， 十h(a≠0)， 即f(2+x)=-f(2-x),故f(4+x)= 舍去： 由二次品数f(x)的图象过点(0,3)，得 当m一3时，满足m2一4m+1<0. -f(-x), f(0)=3, 综上m=3.故选A. 所以一f(2十x)=f(4十x),即一f(x)= 所以4a+h-3,即h-3一4a, (2)B星然，图中图象下降的曲线表示 f(2十x), 所以f(x)=a(x-2)2+3-4a, 的函数为y=x1, 所以f(x)=f(x十4)，f(x)的一个周期 令f(x)=0.即a(x-2)2+3-4a=0. 为4. 周为-号<0， 所以a.r2-4a.r+3=0. 又f(4十x)=一f(一r)且T=4, 所以函数y=x一中在(0，十∞)上单调 设方程的两根为口12 所以f(x)=f(4十x)=-f(-r), 递减 附为十=41= 所以f(x)为奇函数 即时训练ABD因为f(x)为R上的 当x=时1<（）】 =2<2 所以x异+=(x1十x)2-2x1=16 奇函数， 6 且g(x)=f(x十1)为偶函数， 所以f(x)关于(0,0)中心对称，且直线x 所以16-6=10，解得a=1 则y=x于的图象在直线y=1的上方， a =1为对称轴， 所以直线x=一1也是对称抽， 在y=x1的图象的下方，即y=x十的 所以f(x)=x2一4.x十3. [例3]ACD由题意得a<0,对称轴为x 图象过W: 所以∫(x)的图象关于貞线x=一1 对称， 当x=2时.21<2-寸<29=1， 、乡=1，则b二2a>0,故A正确： 所以f(x)=f(2一x),A、D正确： 则y=x+的困象在直线y=1的下方， 当xr=一1时，y=a-b十c<0,剩a十c< 由A分析知fx)=f2-x)=一f代一)， 在y=xI的图象的上方，即y=工方的 b,故C正确： 故(2+x)=-(x), 图象过Ⅲ. 当x=0时，y=c>0,则abc<0,故D 所以f(4+x)=-f（2+x)=f(x), 工例2]解法一：（利用“一毅式”解题） 正确： 所以(x)是一个周期为4的周期画数， 设f(x)=a.x2+br+c(a≠0). 当x-1时，y-a+b+c>0,故B错误. 则g(2023)-f(2024)=f(0)=0,B 4a+2b+c=-1, [例4]解(1)函数f(x)=r2+ar+3 正确： 由题意得 a-b+c=-1. a国象的对称轴为直线r=一受 但不能说明g(x)的最小正周期为4，C Aac-b2 =8 因为f(x)在区间[一1,3]上是单调 错误。 Aa 函数， a=-4, 第六节二次函数与幂函数 解得6=4， 所以一兰≥3减一受≤-1 夯实·必备知识 c=7. 故a≤-6或a≥2. 所以所求二次西数的解析式为 知识整合 1.(1)y=x(3)②@(1,1)(0,0) fx)=-4x2+4x+7. (2)当-号≤0，即a≥0时，f()在区间 法二：（利用“顶点式”解題） ③(1,1)④奇函数偶函数 [0,2]上单调递增，m(a)=f(0)=3-a: 设f(x)=a(x-m)2十n(a≠0). 2.(1)ax2+bx+c(a≠0)(m,n) 零点 (2)减增增减 因为f(2)=f(-1): 当0<-是<2，即-4<a<0时 自我训练 所以抛物线的对称轴为=十（一卫 2 )在区间[0，-号]上单钢造减，在 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 2.C3.D4.(-0,4 ,所以=2 [-受2]上单调递增， 455