第4节 函数的对称性-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章函数 (3)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)· [尝试解答] 2x二为偶函数，则a等于 In 2x+1 A.-1 B.0 c D.1 [思维升华] (1)求解与函数的周期有关的问题，应根 题型三函数的周期性 据题目特征及周期定义，求出函数的周期. [例4幻(1)(2025·安康模拟)设f(x)是定义 (2)利用函数的周期性，可将其他区间上 域为R的偶函数，且f(2十x)=f(一x), 的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化 f(-)=则f()等于 到已知区间上，进而解决问题 B.一2 [即时训练] (多选)(2025·深圳模拟)已知非常数函数 c D名 f(x)的定义域为R,满足f(x十2)+f(x) =0,f(-x)=一f(x),则 () (2)(2025·泸州模拟)已知定义在R上的 A.f(2)=0 函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为 B.f(x十4)为偶函数 3,又f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+ C.f(x)为周期函数 f(2)+f(3)+…+f(2025)的值是( D.f(x)的图象关于点（一4,0）对称 A.2024 B.2023 C.1 请完成课时作业（九） D.0 第四节 函数的对称性 [课标要求]1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式 解决问题 夯实·必备知识 >》 知识整合 3.两个函数图象的对称 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)函数y=f(x)与y=f(一x)的图象关于 对称： (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于 对称 对称； (2)若f(x十a)是偶函数，则函数f(x)图象 (3)函数y=f(x)与y=一f(-x)的图象关 的对称轴为 ;若f(x十a)是奇函数， 于 对称 则函数f(x)图象的对称中心为 自我训练 2.若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a十x), 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 则函数的图象关于直线x=a对称： “/”或“X”) 若函数y=f(x)满足f(a一x)=一f(a十x), (1)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y= 则函数的图象关于点 对称 f(x一1)的图象关于点(1,0)对称.() 27 金榜题名创新高考总复习数学 (2)若函数y=f(x+1)是偶函数，则函数 3.已知定义在R上的函数f(x)在（一oo,2)上 y=f(x)的图象关于直线x=1对称.( 单调递增，且f(x十2)=f(2一x)对任意 (3)函数y=5与y=5·的图象关于x轴 x∈R恒成立，则 对称. ( A.f(-1)<f(3 (4)若函数f(x)满足f(2十x)=f(2-x), B.f(0)>f(3) 则f(x)的图象关于直线x=2对称.( C.f(-1)=f(3) 2.函数fx)=士1的图象的对称中，心为( D.f(0)=f(3) A.(0,0) B.(0,1) 4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,一2)， C.(1,0) D.(1,1) 则函数y=一f(一x)的图象必过点 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一轴对称问题 [即时训练] [例1](1)(2025·株洲模拟)已知f(x)是定 (1)(2025·郴州检测)已知函数f(x)= 义在R上的奇函数，且函数f(x十1)为偶函 -x2十bx+c,且f(x+1)是偶函数，则 数，当-1≤x≤0时，f(x)=,则f(号》 f(-1),f(1),f(2)的大小关系是() A.f(-1)<f(1)<f(2) 等于 B.f(1)<f(2)<f(-1) A日 Γ8 C.f(2)<f(-1)<f(1) c晋 D.f(-1)<f(2)<f1) (2)(2025·承德统考)已知函数f(x)(x∈R) (2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2) 满足f(x)=f(4-x),若y=|x-2与y= 为偶函数，f(x)在[2，十∞)上单调递减，则不 f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2), 等式f(-x)>f(-1)的解集为 (x3y3),(x4,y),则x1十x2十x十x4等于 [尝试解答] A.-4 B.0 C.4 D.8 题型二 中心对称问题 [例2] (1)(多选)下列说法中，正确的是 A.函数f(x)= 2红一号的图象关于点 x+2 (一2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x一1)为奇函数，则函 [思维升华] 数f(x)关于点（一1,0）中心对称 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 C.若函数y=f(x)过定点(0,1)，则函数 台f(x)=f(2a-x)台f(a-x)=f(a+x); y=f(x-1)+1过定点(1,2) 若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b-x), 则y=f(x)的图象关于直线x=a中对称。 D函数y-二的图象关于点3，c)中心对 2 称，则b十c=2 28 第二章函数 (2)(2025·南京模拟)已知函数y=f(x)满 A.7 B.2 足f(一x)=f(2+x),其图象关于点(2,0) C.-2 对称，f(2)=0,则f(18)= D- [尝试解答] 题型三两个函数图象的对称 [例3] 已知函数y=f(x)是定义域为R的 函数，则函数y=f(x十2)与y=f(4-x)的 图象 A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 [思维升华] C.关于直线y=3对称 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 D.关于点(3,0)对称 台f(a十x)十f(a一x)=2b:若函数y=f(x) [尝试解答] 满足f(a十x)十f(b-x)=c,则y=f(x)的 图象关于点（士中，）成中心对称。 [即时训练] (1)(2025·扬州模拟)已知定义域为R的 函数f(x)在[1，十o∞)上单调递减，且 f(x十1)为奇函数，则使得不等式f(x2一x) [思维升华] <f(2一2x)成立的实数x的取值范围是 函数y=f(a十x)的图象与函数y ( A.(-1,2) 一)的因象关于直线x2对称。 B.(-∞，-1)U(2,+∞) [即时训练] C.(-2,1) 下列函数与y=e的图象关于直线x=1对 D.(-∞，-2)U(1,+∞) 称的是 ( (2)已知定义域为R的函数f(x)的图象关 A.y=e- B.y=el 于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)=x2+ C.y=e2 D.y=In x mx十n,若f(一1)=一7，则3m十n等于 ( 请完成课时作业（十） 第五节 函数性质的综合应用 [重点解读]函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函 数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查， 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一函数的奇偶性与单调性 不断的曲线.若Hx∈（一o∞，0]，且x1≠x2, [例1](2025·德宏质检)已知函数f(x)是 f(x)-西fx)>0,则不等式a2f(a)- 定义在R上的奇函数，它的图象是一条连续 x1一x2 (a-1)f(a-1)>0的解集为 () 29对于C,f(x)=x的定义战为R,f(一x) 所以f(2x)>f(x-3-4)-f(x-7) 且g(-x)=ln-2+i 2r+1 一（一x)2一f(x),函数f(x》不是奇函 所以2x>x-7,得到x>一7， 数，C不是： 所以(2x)一f(x一3)>一2的解集为 =-h =-g(x), 对于D,f(x)-x2-1的定义城为R. (-7,+∞)， f(-x)=(-x)2-1=f(x),函数f(x) 故C错误； 所以g(x)为奇函数 不是奇函数，D不是，故选A 对于D,因为f(x)为奇函数 若)=(u十a血号为锅画载， [例2](1)B由题意知，品数f(x)的定 所以f(-r)十f(x)-0, 则y一x十4也应为奇函数，所以a一0. 义战为R,关于原点对称， 所以f(-2025)十f(2025)=f(-2021) [例4门(1)C国为f(x)是定义域为R的 设(x)-f(x)-5-2-21, +f(2024)-…-f(-1)+f(1)-0, 偶函数， 则g(-x)=2-1-2=-g(x). 又f(0)-0,故f(-2025)+f(一2021) 所以f(一x)-f(r), 即(x)是奇函数， +…+f(0)+…+f(2024)+f(2025) 故f(2+x)=f(-x=f(x), 故g(m)+g(-m)=0, 一0，故D错误 所以f(x)的一个周期为2， 即f(m)-5十f(-m)-5-0. (2)答案logx(答案不唯一，符合条件 即f(m)+/(一m)=10, 即可) 故f(号)=∫（号-4）-f(2) 因为f(m)一4， 解析图为对Vm,n>0,f(m)+f()= 所以（一m)=6. f(mn). 1()= (2)答案-c2+2x+1 所以∫(x)在(0，十∞)上可能为对数 (2)D因为f(x)的周期为3， 解析因为(x)是定义在R上的奇 画数， f(-1)=1,则f(2)=f(-1+3)= 函数， 故f(x)-logr(a>0,且a≠1)满足条 f(-1)-1, 则当x-0时，f(0)一0. 件①， 又f(0)--2,则f(3)=f(0十3)-f(0) 当x>0时，一x<0,f(x)=一f(-x)= 又f(分）-1，所以)-lg… =-2, -(e-2x-1)--e+2x+1, 因为函数f(x)在R上的图象关于y物 又f(0)=-c0+2×0+1=0, 故符合上述条件的函数可以为f(工) 对称， 剥当r≥0时，f(x)--e+2x+1 -log:. 所以f(x)为偶函数， [例3]A图为f(x)是偶函数，所以由 即时训练(1)B因为函数f(x)为R 故f(1)=f(-1)=1, f(5)--f(-5)→f(5)--f(5)→ 上的奇函数， 则f(1)+f(2)+f(3)-0. f(5)=0, 则f(0)-e0十0十m一0，解得m-一1， 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)= 当r>0时，由xf(x一1)>0→f(x一1) f(-1)=-f(1)=-(e+1-1)=-e. 675×0=0. >0-f(5)→f(1x-1|)>f(5), (2)答案D 即时调练ACD周为f(x十2)十f(x) 因为f(x)在[0，十∞)上单调递增， 解析对任意实数a≠b,有(a）一g( =0, a-b 所以f(x-1|)>f(5)→x-11>5→a 所以f(r）-一f(x十2)，f(x十4) <0,所以函数g(x)在R上单调递减， >6,或x<-4, -f(x+2)=f(x, 又因为西数g(x)为定义在R上的奇函 而x>0,所以x>6: 所以「(x)的一个周期是4，故C正确： 数，且g(m)十g(m一2)>0，别g(m)> 当x<0时，由xf(x-1)>0→f(x-1) 又f(-x)=-f(x), g(2一m),所以m<2-m,2m<2,得m <0-f(5)→f(x-1|)<f(5), 所以f(x)为奇函数，f(0)=0, <1.故选D. 图为f(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以f(2)+f(0)-0,即(2)-0，故A (3)B法一：周为f(x)为偶函数， 所以f(x-1|)<f(5)→|x-11<5→ 正确： 则f(1)=f(-1), -1<x<6, 又f()的一个周期为1，且为奇函数， 而x<0,所以一1<x<0,故选A 即1+a)ln言-(-1+a)ln3,解得a 所以f(x十4)为奇品数，故B不正扇： 微拓展 =0. 国为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以 典例(1)AB对于A,令x=y=0,可 得f(0)-f(0)+f(0)-2f(0),所以 当a-0时/x)-xn f(x)的困象也美于点（一4,0）对称，故D 2x+1 正确， f(0)=0, 由(2x-1)(2x+1)>0, 第四节 函数的对称性 令y--x,得到f(-x)+f(x)-f(0) =0,即f(一x)=一f(x),所以f(x)为 解得>号或<一， 夯实·必备知识 奇函数，故A正确： 4 知识整合 对于B,因为f()为寺函数， 1.(1)原点y轴(2)r-a(a,0) 关于原点对称」 所以f(一2)=一f(2)=一1，故B正确： 2.(a,0) 对于C,设11>x-工·y一 f(-r)-(-r)In 2(-x)-1 2(-x)+1 3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 可得f(x1-x2)=f(x)十f(-x), g=(h告(-(》 自我训练 所以(x1)-f(x)-f(x1)十f(-xg) 1.(1)(2)√(3)×(4)/ =f(x1-x2), 又周为1>，所以一>0， -ch) 2.B3.A4.(-1,2) 研磨·高考题型 所以f(x1-x)>0,即fx)>f（g) 此时(x)为偶函数，符合题意. [例1](1)A由函数f(x十1)为偶函数， 所以f八x)在R上单调造增，周为f(一2) 故a=0. 可得函数f(x)的图象关于直线x一1 =-1, 法二：设g(x)-ln2 对称， 2x+11 所以f(-4)=f(一2-2)=2f(-2)= 所以f(2十x)一f0一x)· -2, 易知g(x)的定义域为(-∞，-号)U 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 由f(2x)-f八r-3)>-2, 所以f(4+x)-f(一2-x)-一f(2+x》 可得f(2x)>f(x-3)十f(-4), (,+∞) --f(-x)-f(x), 453 可得数(x)的周期为4， 所以f(x)-f(x十4)=0， 因为/+1业0. 所以「（号）-f(告)--1(-) 脚f(x)-f(x+4), 所以函数f(x)的一个周期为4 所以/x>0, 1f(x+1)≥0 →0<x≤1， -()- 所以f(18)-f(2)-0. 即时训练(1)D因为f(x十1)为奇 (2)答案(-1,1) x≤-3. 解析，f(x十2)是偶函数， 吾数， o ,∫(x十2)的图象关于直载x=0对称， 所以(x)的图象关于点(1,0)对称， 故x+D≥0的解集为(-0，-3]U ,f(x)的图象关于直线x一2对称， 因为f()在[1，十∞)上单调递减， (0,1]. 又f(x)在[2，十∞)上单调递诚， 所以∫(x)在R上单调造减， [例2]B:f(x+2)=-f.x). .f(x)在（一oo,2]上单调造增 所以x2一x>2一2x,即x十x-2>0,解 .f(x+4)=f[(x+2)+2] 又-x2,-1∈(-6∞，2]，f-x2)>f(-1), 得x<-2或x>1, =-f(x+2)-f(x), .-x2>-1,即x<1, 所以x的取值范围为（一∞，一2）U ∴函数f(x)是周期为4的周期函数， -1<x<1, (1.+∞). ∴f(6)=f2)=-f(0)=f(0), ∴.原不等式的解集为（一1,1） (2)C国为定义域为R的函数f(x)的 -)-5(号)-f(2) 即时训练(1)D因为f(x十1)是莴函 图豪关于点(1,0)对称，且当x≥1时， 数，所以其对称梅为直线工一0， f(x)=x2十mx十∥， -1(-)=() 所以f(x)的对称轴为直线x=1, 若f(-1)--7,别(3)--f(-1) 又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增， 又二次函数f(x)=一x2十x十c的开口 -7. 句下， 故f(3)=32+十3m十n=7,即3m十拉= 0(告） 根据自变量与对称轴的距离可得 -2. f(-1)<f(2)f(1). [例3]A设P(x0)为y-f(x+2)图 脚6)<f(号）)<-D. (2)D由f(x)-f(1-x)可知y-f(x) 象上任意一点， 即时训练D:f(x+1)为偶函数， 的困象关于直线x=2对称，y=x一2 则-f(6+2)-f(4-(2-x。), .f(x+1)=f(-x+1), 的图象关于直线x一2对称， 令1-x十1，别一x十1一2-1 所以点Q(2-x%)在画数y=f(4一x) 所以x1十x2十x十工1=1X2=8. 即f(1)-f(2-), 的图象上， f(x)为奇西数，·f(1)=一f(一1) [例2](1)ABC对于A,fx)-=号 而点P(0y)与点Q(2一，为)美于 F千2 .f(2-t)=-f(-t), 直线x=1对称， -2》-2-年共图象可以 令m=一1，得f(2十m)一一f(m)。 +2 所以离数y=f(r十2)与y=f(4一x)的 ∴f(4+m)=-f(2+m)=f(m), 由)少=一兰的图象向左辛移2个率位长 图象关于直线工一1对称， ∴f(4+x)=f(x). 即时训练C与f(x)=心的图象关于 即函数f(x)是周期为1的周期函数， 度，再向上平移2个单位长度得到，且y 直线x-1对称的是f(2-x)一e2-J,即 文f(1)-2,f(0)-0, =一三的国象关于原点对称，故) y-e2-r 则f(2023)+f(2024)=f(506×1-1) +f(506×4)-f(-1)+f(0)--f(1) +2的圈象关于点（一2,2）中心对称， 2x-1 第五节函数性质的综合应用 +f(0)--2. A正确： 研磨·高考题型 [例3]B构造函数g(x)=xf(x), 该画数的定义域为R, 对于B,周为(2x一1)为奇函数，所以 [例1]A周为(x)为奇函数， 所以g(一x）-一xf(一x)一一rf(x)- f(2x-1D=-f(-2x-1),所以f(x-1) 所以xf(x)是定义在R上的偏函数， 一g(x), -一f(-x-1), 由题意可知xf(x)在(-∞，0]上单调 西数g(x)为奇品数，故画数g(x)图象的 所以「(x)=一f(一x一2)，所以画数 递增， 对称中心为坐标原点， f(x)关于点（一1,0）中心对称，B正确： 则xf(x)在(0，十oo)上单调造减， 对于A选项，函数y一(x-1)(r-1)的 对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1 g(r)-rf(r).af(a)-(a-1)f(a-1) 困象由函数g(x)的图象向右平移1个单 个单位长度，再向上平移】个单位长度 >0=a2f(a3)>(a-1)f(a-1)曰g(a2) 位长度得到， 得到函数y=f(x一1)十1的图象，由于 >g(a-1), 故函数y-(x一1)f(x一-1)图象的对称 y-f八x)过定点(0,1)，故函数y=f(x一1) 中心为(1,0)： 十1过定点(1,2)，C正确： 所以a2<la-1,即a2<a-1a≥1， a2<1-a,a<1, 对于B进项，函数y=(x+1)f(x十1)的 对于D,函数y-二-红-b)+b-1 图象由画数g(x)的图象向左平移1个单 x-b x-b 解得5u<1E 2 2 位长度得到， =1+的因象关于点(3，)中心 故函数y-(x十1)f(r十1)图象的对称 r-b 即时训练答案（一0，一3]U(0,1] 中心为（一1,0）： 对称， 解析由题意知函数∫(x)在（一∞，0] 3-b=0·解得b=3,c-1 上单调递增且为偶函数， 对于C选项，画数y=xf(x)十1的图象 %以c一1· 由f(2)=0得f(一2)=0，作出f(x)的 由函数g(x)的图象向上平移1个单位长 度得到， 所以b十c=4,D不正确. 铺助图并句左平移一个单位长度， 故西数y=rf(x)十1图象的对称中心为 (2)答案0 如图所示， (0,1): 解析国为虽数y=∫(x)的图象关于点 对于D选项，函数y一xf(x)一1的图象 (2,0)对称， y=x+) 由函数(x)的图象向下平移1个单位长 所以f(一x)-一f(4十x), 度得到， 又f(-x)-f(2+x), 故函数y一xf(x)一1图象的对称中心为 所以f(x+2)+f(x十4)-0， (0,-1). 454