第2节 函数的单调性与最值-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章函 数 第二节函数的单调性与最值 [课标要求]1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌 握函数单调性的简单应用， 夯实·必备知识 >>》 知识整合 2.函数的最值 1.函数的单调性 般地，设函数y=(x)的定义域为 前提 (1)单调函数的定义 D,如果存在实数M满足 增函数 减函数 (1)Yx∈D,都有 (1)Vx∈D,都有 一般地，设函数f(x)的定义域为D,区 条件 (2)3xo∈D,使得 (2)3x0∈D,使 间I二D,如果Hx1,x2∈I 得 当x1<x2时，都 M是函数y M是函数y= 当x1<x2时，都有 结论 有 f(x)的最大值 f(x)的最小值 ,那么 那么就称函数 就称函数∫(x)在 【常用结论】 定义 f(x)在区间I上 区间1上单调递 单调递减，特别 1.x1,x2∈I且x1≠x2,有 f(x)-f(z>0 增，特别地，当函数 x1-x2 地，当函数f(x) f(x)在它的定义 (<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0) 在它的定义域上 域上单调递增时， 台f(x)在区间I上单调递增（减）. 单调递减时，我 我们就称它是增 2.在公共定义域内，增函数十增函数=增函 们就称它是减 函数 数，减函数十减函数=减函数。 函数 3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公 y y=f(x) yyf国 共定义域内与)=一f(x),y一f的单调 fx.) x f 性相反 图象 0为x 0名2 4.复合函数的单调性：同增异减， 描述 自左向右看 自左向右看 自我训练 图象是上升的 图象是下降的 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 “√”或“X”) (2)单调区间的定义 (1)若函数f(x)满足f(一3)<f(2),则 如果函数y=f(x)在区间I上 或 f(x)在[一3,2]上单调递增. () ,那么就说函数y=f(x)在这一区 (2)若函数f(x)在（一2,3）上单调递增，则 间具有（严格的）单调性，区间I叫做y= 函数f(x)的单调递增区间为（一2,3）. f(x)的单调区间. () 21 金榜题名创新高考总复习数学 (3)若函数f(x)在区间[a,b们上连续，则 f(x)在区间[a,b们上一定有最值. () 3函数)在区间[1,2上的最大值为 (4)函数y=二的单调递减区间是（一∞，0） U(0,+∞). ( A- 2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是 C.-1 D.不存在 4.若函数f(x)=2x2十x一1在区间（一1，十o∞） A.y=-2x+1 B.y=x2+1 上是增函数，则实数m的取值范围是 C.y=√a D.y=2 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一确定函数的单调性 [即时训练] 命题点1函数单调性的判断 (1)(2025·乐山检测)函数f(x)=(x一4)· [例1]（多选）下列函数在(0，十∞)上单调 x的单调递增区间是 递增的是 ) A.(-∞，0) A.y=t-1 B.(-∞，0)U(2,+∞) B.y=|x2-2x C.(-∞，0)和(2，十∞) C.y=2x+2cos x D.y=lg(x+1) D.(2,十∞) [尝试解答] (2)(2025·唐山模拟)函数f(x)=log(2x2一 3x一2)的单调递增区间为 题型二函数单调性的应用 命题点1比较函数值的大小 [例3](2025·湘潭月考)定义在R上的偶 函数f(x)满足：对任意的x,x2∈（一∞，0] 命题点2利用定义证明函数的单调性 (x,≠5)，有)二）<0，则（) [例)求证：函数f()=(a>1)在区 x1一x2 A.f(-2)<f(3)<f(4) 间（一1，十©o)上是减函数. B.f(-2)>f(3)>f(4) [尝试解答] C.f(3)<f(4)<f(-2) D.f(4)<f(-2)<f(3) [尝试解答] [思维升华] 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法； (4)性质法. 22 第二章函数 命题点2求函数的最值 命题点3解函数不等式 [例4幻 当xe[o,)u(g,+∞) 时，则函 [例5](2025·深圳高级中学开学考试)已 知函数y=f(x)在定义域（一1,3）上是减函 数y=g是 的值域为 数，且f(2a-1)<f(2-a),则实数a的取 值范围是 () A.(-∞，0) A.(1,2) B.(-∞，1) B[+o∞ C.(0,2) D.(1,+∞) [尝试解答] C.(-o,0U[2,+】 D.[,) [尝试解答] 命题点4求参数的取值范围 [微拓展] [例6](2025·重庆模拟)已知函数f(x)= 求函数的值域（最值）的常用方法 a,x<0, 在R上是减函数，则a (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的 (a-2)x+3a,x≥0 函数求值域问题 的取值范围是 ( (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所 A.(0,1) 给定义域来确定函数的值域。 (3)数形结合法. c.(o. n[2 (4)换元法：引进一个（几个）新的量来代替原 [尝试解答] 来的量，实行这种“变量代换” (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式 采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常 数和一个分式和的形式. 典例（多选）下列函数中，值域正确的是 A.当x∈[0,3)时，函数y=x2-2x+3的值 域为[2,6) B函数y一安号的值城为R C.函数y=2x-I的值域为[装，+∞) D.函数y=√x+I+√x一I的值域为[2， 十c∞) 23 金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] x2+2ax+5,x<1 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一 在区间（一∞，十∞）上 ,x≥1 个单调区间内，然后利用函数的单调性解决 (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”, 是减函数，则整数a的取值可以为( 转化为自变量间的大小关系，应注意函数的 A.-2 B.2 定义域 C.0 D.1 (3)利用单调性求参数的取值（范围）.根 (2)“a=3”是“函数f(x)=一|x一a在区 据其单调性直接构建参数满足的方程（组） 间[3，十∞)上为减函数”的 () (不等式（组）)或先得到其图象的升降，再结 A.充分不必要条件 合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的 B.必要不充分条件 取值. C.充要条件 [即时训练] D.既不充分也不必要条件 (1)(2025·聊城模拟)已知函数f(x) 请完成课时作业（八） 第三节 函数的奇偶性、周期性 [课标要求]1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质 进行简单的应用。 夯实·必备知识 知识整合 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所 1.函数的奇偶性 有周期中存在一个 的正数，那么这 个 就叫做f(x)的最小正周期. 奇偶性 定义 图象特点 【常用结论】 1.函数奇偶性常用结论 般地，设函数∫(x)的定义 关于 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 域为D,如果Hx∈D,都有 偶函数 -x∈D,且 ,那么 的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上 对称 函数f(x)就叫做偶函数 具有相反的单调性。 2.函数周期性常用结论 一般地，设函数∫(x)的定义 对f(x)定义域内任一自变量x的值： 关于 域为D,如果Yx∈D,都有 (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0): 奇函数 -x∈D,且 对称 (2)若f(x+a)= f则T=2a(a>0. 那么函数f(x)就叫做奇函数 自我训练 2.函数的周期性 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义 “√”或“×”) 域为D,如果存在一个非零常数T,使得对 (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0. 每一个x∈D都有x+T∈D,且 那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常 (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 数T叫做这个函数的周期. () 24研磨·高考题型 即a.x+(5a十b)=2x+17, 当a<-1时，需满足-之-a+是 3. [例1](1)D对选项A,因为f(x)=x /a-2, 定义城为R,g(r)一|x定义城为R,定 15a+b=17. 释仁 -2a,解得a<-1,或a>3(舍去). 义域相同，但f(x)≠g(x),所以f(x), f(x)-2r+7(x∈R. 棕上，实数a的取值范国是（一∞，一1） g(x)不是同一函数，故A错误： 1 故进D. 即时训练1)答案马≠0且x≠ 对选项B因为f(x)-/r+2)严定义 1 城为R,g(x)=(干2)2定义域为(x 1 解析f(x)一 r≥-2}，定义城不同，所以f(x),g(x) 工-与x≠0且x 不是同一函数，故B错误： ≠1). 对进项C,国为(x)=√厅定义域为《xx (2)答案f(x)-x2 ≥01，g(x)-二定义城为{xx>0},定 解析f(x+y)-f(x)+f(y)+2xy (2)BD对于A,因为f()-一(3) 义域不同，所以(x),g(x)不是同一函 中，令x-y-0,解得f(0)=0, 十3=0，所以f(f(3)=f(0)=2,所以 数，故C错误： 令y=-x得f(x-r)=f(x)+f(-x) -2x2,故f(x)+f(-x)=2x2, 对选项D,因为f(x)=x定义域为R, A错误：对于B,当x<1时，由f(x)= 不坊设f(x》一x2,满足要求， -1,得x十2-一1，解得x=一3，当x≥1 g(x)=F定义城为R,又g(x)= L例3](1)BC 孟数「(x)= 时，由f(x)=-1,得-x2+3=-1,x F=x=f(x),所以f(x),g(x)是同 -1,解得x一2或x-一2（会去），综上， 一函数，故D正确.故选D |2,-2<r的定又城是[-2，+o -x+2,x>1 x=2或x=一3，所以B正确：对于C,当 (2)答案[-1,4门 故A错误： x<1时，由f(x<2,得x十2<2，解得x 解析由一2≤x一1≤3，解得一1≤x 当一2≤x<1时，f(x)=x2,值城为 <0,当x≥1时，由f(x)<2,得一x2+3 ≤4， [0.4门，当r≥1时，f(x)--x+2,值域 <2,解得x>1,综上，f(x)<2的解集为 所以画数f(x-1)的定义城为[-1,4]. 为（一∞，1门，故f(x)的值域为（一∞，4门， (一∞，0)U(1,十∞)，所以C正确：对于 即时训练(1)答案C 故B正确： D,当x<1时，x+2<3,当x≥1时，一2 解析对于A,f(x)一√的定义域为 当x≥1时，令f(x)=-x十2=2，无解， 十3≤2，所以f(x)的值城为(-6∞，3)，周 R,g(x)-(F)的定义域为[0，十∞)， 当一2≤x<1时，令f(x)-x2=2,解得 为Vr∈Ra>f(r),所以a≥3，所以D 不是同一个画数：对于B,f(x)的定又战 x=一√2，故C正确： 正确 为{r|r≠0}，g(x)的定义城为{z|r主 当-2≤x<1时，令f(x)一x2<1.解得 1},不是同一个函数：对于C,两个函数 x∈（一1,1），当x≥1时，令f(x)=-z 第二节 函数的单调性与最值 的定义城、对应关系均相阿，是同一个面 十2<1，解得r∈(1，十∞)，故f(.x)<1 夯实·必备知识 数：对于D,f(x)=x+1的定义战为R, 的解集为（一1,1）U(1,+co),故D 知识整合 )-吕的交又线为1，不 错误， 1.(1)f(x1)<f()f(x1)>f（) (2)答案-2或5[-3，-1)U[4,+∞) (2)单调递增单调递诚 是同一个函数 解析若f(a)一4， -22x≤4， 2.f(x)≤Mf(x)=Mf(x)≥M (2)D由题意得 a<-1, |a≥-1， f(r)-M x-1≠0： 或 1-a2-3a+2=42-3-4, 解得-1≤x≤2且r≠1. 自我训练 解得a--2成a-5. [例2]解(1)（换元法）设1一sinx=t,d 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 若f(a)≥2， ∈[0,2]. 2.A3.A4.[4,+∞) 1a<-1. 1a≥-1， 则sinx=1-1, 研磨·高考题型 f(1-sin r)-cosr-1-sin2r. 则02-3u+2≥22-3≥2 解得-3a<一1我a≥4， [例1]ACD,y-x与y-- .f(t)=1-(1-)2=21-12,1∈[0,2]. a的取值范围是[一3，一1)U 即f(x)-2r-x(0≤x≤2). [4.+∞) (0,十∞)上单调递增，y=x一 上 2)(配凑法)(：+)-r+ 即时训练(1)D由题可知，当x≤a (0,十o)上单调递增，故A正确： (+)-2 时，)=一号2-x十子其对称柏为 由y-|2一2x的围象（围略）知，B不 正确： x--1, :y'=2-2sinr≥0， 当a≥一1时，函数f(x)一 1 2-r+ y=2x+2cosx是R上的增函数，故C 当且收当一二即-士1时等号 号有最大维为代-1》-2。 正确： 函数y一lg(x+1)是定又城（一1，+∞） 成立. 上的增画数，故D正确 设1-2+ 当aK-1时，画数八)-一合-计 [例2]证明设Vx1·∈(-1，+)， 则1≥2，.f(1)=一2(t≥2). 是有装大值为@)=宁c-a十号 且r1<xg· .f(x)=x2-2(r>2), 当x>a时，f(x)--2x,在(a,十6o)单 别f(n)-f(n)-+-十@ 1++ (3)(待定系数法)，f(x)是一次蓝数， 调递减，故f(x)<f(a)-一2a, (1-a)(1-e) ,可设f(x)-ax十b(4≠0)， 国为品数f(x)无最大值，故当a≥一1 (x+1)(x2+1)1 .3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+]-2x 时，需满足2<一2a,解得a<一1，不衬 x1∈(-1，+∞).且<， +17, 合题意， ∴r1+1>0,+1>0,1-2<0. 451 又a>1, 微拓展 即时训练 (1)A由题意可得 ∴.1-a<0, 典例A(CD对于A,(配方法)y一x -4≥1. ÷号>，牌) 2x十3=(x-1)2十2， a<0, 解得一2≤a≤一1， 由r∈[0,3)，再结合函数的图象（如图① 1+2a+5≥-a, f(x)>0, 所示)，可得函数的值域为[2,6)， ∴，整数a的取值可以为一2.故遮A f(x1)>f(x) (2)答案A 故函数f(r)在区间（一1，+∞）是减 解析f(r)一一r一4|的图象如图 画数。 所示， 要想函数f(x)一一|x一a|在区间 即时训练(1)C函数f(x)=(x一4) y=x2-2x43 [3,十o©)上为减画数，必须满足a≤3， {x2-4rx≥0， ·x= 的图象如图 因为{31是《aa≤3}的子集， -x+4x,x0 所以“a=3”是“函数f(x)--x-a在 所示， 01234 区间[3，十∞)上为减函数”的充分不必 ①) 要条件，故逸A ty y=2(2+1)-4 x=2 3 第三节函数的奇偶性、周期性 由图可知函数的单调递增区间为（一©，0） 1 夯实·必备知识 和(2，十o∞) 01234t 知识整合 2)答案（-∞，-)】 1.f(-x)=f(x)y轴f-x)=-fx） 原点 解析令1-2x2-3r-2>0, 对于B,（分高常数法)y-红+ r-3 2.(1)f(x+T)=「(x)(2)最小最小 1 解得>2我<- 》+-2+名黑格子0… 正数 x-3 自我训练 则f(x)的定义城为(-©，-号)U ∴y≠2. 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 故函数的值域为（一∞，2）U(2,十o∞). (2,+o), 2.D3B4.(-2,0)U(0.2) 对于C,(换元法)设1一一I,则x 由f(1)-log÷1在(0，十∞)上单调递减， 研磨·高考题型 +1,且1≥0，∴.y=2(2+1)-1= 根据复合函数的单调性：同增异减，函数 [例1门(1)C对于A函数f(x)=x的 1=2x2一3x一2的单调递减区间，脚为 2-)+ 定义域为R,f(一x)=(一x)3=一2= 一f(x),f(x)不是偶函数，A不是； f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定 由>0，再站合函数的图象（如图②所 对于B,函数f(x)-|x一1的定义域为 义战可知，f(x)的单调递增区间为 示)，可得画数的值线为[安十) R,f(-x)=|-x-1=|x+1|≠f(x), 对于D,函数的定义城为[1，十∞)， f(x)不是偶函数，B不是： 'y=√x+I与y=r-I在[1，十∞) 对于C,画数∫(x)=1的定义城为R, [例3】A因为对任意的西∈（一∞，0] f(-x)-1-f(x),f(x)是俩函数， 1≠)，有/)-型)<0. 上均单调递增，.y一/+T+√/一 C是： r1一xg 在[1，十o)上为增函数， 所以f(x)在（一∞，0]上单调递减， 当x=1时，yam=反， 对子D,函数代)一十的定义城为 又f(x)为偶函数， 即函数的值城为[瓦，十○). 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， [例5]A因为函数y=f(x)在定义城 R.f《-r）--+-fx./ 则f(2)<f(3)<f(4), (一1,3)上是减函数，且f(2a一1)<f(2 不是偶函数，D不是，故选C 又f(-2)-f2), (2)答案奇 -a), 所以（一2）<f(3)<(4). (-1<2a-1<3, 解析由题意得函数「(x)的定义域为 [例4]C令8-5.r=1,因为x∈ 则有〈-1<2-a<3, R,定义域关于原点对称， [0.g)U(8,+∞），所以1e(0,8町 (2a-1>2-a, 令x-y-0,别f(0+0)-f(0)+f(0)- 解得1<a<2,所以实数4的取值范国是 2f0), U(-o.0). (1,2).故选A. 故f(0)-0. 当0,8]时，函量了0)-兰单调递 ar<0. 令y--r,则f(x-x)-f(x)+f(-x) [例6]Cf(x)- (a-2)x+3ax≥0 =0, 减，故0≥8)-÷ 在R上是诚函数， 故f(-x)--f(x) 0<a<1, 故f(x)为奇函数. 当(-∞，0)时，即1<0，所以f0-召 .a-2<0. 即时训练A对于A,(x)一r的定义 (a-2)×0+3a≤a, 域为R,f(一x)=一x=一f(x),画数 <0, f(x)是奇函数，A是； 所以函数的值城为（一∞，0）U 郎得0CK号 对于B,f(x)一|x|的定义域为R, [片+)故选C 0的取值范踢是(0宁] f(一x)一|一x|一f(x),函数f(x)不是 奇函数，B不是： 452