第1节 函数的概念及其表示-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章函数 第一节函数的概念及其表示 [课标要求]1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象 法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 夯实·必备知识 》 ■ 知识整合 【常用结论】 1.函数的概念 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1 一般地，设A,B是 ,如果对 个交点 于集合A中的 一个数x,按照某种 2.在函数的定义中，非空实数集A,B,A即为 确定的对应关系f,在集合B中都有 函数的定义域，值域为B的子集。 的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是 合A到集合B的一个函数，记作y=f(x), 一个函数.分段函数的定义域等于各段函数 x∈A. 的定义域的并集，值域等于各段函数的值域 2.函数的三要素 的并集. (1)函数的三要素： 自我训练 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 (2)如果两个函数的 相同，并且 “/”或“×”) 完全一致，即相同的自变量对应的 (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这 函数值也相同，那么这两个函数是同一个 两个函数是同一个函数 ( 函数. 3.函数的表示法 (2)任何一个函数都可以用图象法表示 表示函数的常用方法有 、图象法和 ( (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以 4.分段函数 有多个交点 ( 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关 x-1,x>≥0， (4)函数f(x)= 的定义域为R 系不同而分别用几个不同的式子来表示，这 x2,x<0 种函数称为分段函数。 18 第二章函数 2.若函数y=f(x)的定义域为{x一3≤x≤8， 3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数 x≠5}，值域为{y一1≤y≤2，y≠0}，则y= 的是 ( f(x)的图象可能是 A.y= +3与y=3-x x+3 3-x B.y=x2与y=(x-1) C.y=√x与y=x B D.y=1与y=x 4,已知函数f(x)= (f(x+1),x≤0， 则 x2-3x-4,x>0 f(f(-4)= D 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一函数的概念 [思维升华] [例1](1)(2025·重庆测试)下列四组函数 函数的含义及判断两个函数是 中，表示同一函数的是 同一个函数的方法 A.f(x)=x与g(x)=|x (1)函数概念中有两个要求：①A,B是非 B.f(x)=√(x十2)2与g(x)=(x+2) 空的实数集；②第一个集合A中的每个元素 C.f(x)=√反与g(x)= 在第二个集合B中有且只有一个元素与之 对应。 D.f(x)=x与g(x)=x (2)两个函数满足定义域和对应关系相 (2)(2025·济南检测)已知函数f(x)的定 同时，才是同一个函数。 义域为[一2,3]，则函数f(x一1)的定义域 [即时训练] 为 (1)下列各组函数表示同一个函数的是 [尝试解答] A.f(x)=√，g(x)=(E) Bx)=-1)= x,x≥0， C.f(x)= -x,x<0. g(t)=t D.fx)=x+1,g(x)=- x-1 (2)(2025·承德模拟)若函数f(x)的定义 域为[-2,4]，则函数y f2的定义域为 x-1 ( A.(1,8] B.[-4,1)U(1,8] C.(1,2] D.[-1,1)U(1,2] 19 金榜题名创新高考总复习数学 题型二函数的解析式 -x2-3x+2,x<-1. (2)已知函数f(x)= [例2](1)已知f(1-sinx)=cos2x,求f(x) 2-3,x≥-1， 的解析式； 若f(a)=4,则实数a的值是 ;若 (2)已知f(r+)=x+,求fx)的解 f(a)≥2，则实数a的取值范围是 析式： [尝试解答] (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1) 2f(x一1)=2x十17，求f(x)的解析式， [尝试解答] [思维升华] 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式 时，应从内到外依次求值】 (2)求自变量的值：先假设所求的值在分 段函数定义区间的各段上，然后求出相应自 [思维升华 变量的值，切记要代入检验。 函数解析式的求法：(1)配凑法；(2)待定 [即时训练] 系数法；(3)换元法. (1)(2025·北京模拟)已知函数f(x)= [即时训练] 2x-x+3 1)若f()=产则x)= .x≤a, 无最大值，则实数a -2x,x>a (2)(2025·深圳外国语学校质检)写出一个 的取值范围是 满足：f(x十y)=f(x)+f(y)+2xy的函数 A.(1,+∞) B.(-1,0) 解析式为 C.(0,+∞) D.(-∞，-1) 题型三分段函数 x+2,x<1. [例3](1)（多选）(2025·佛山模拟)已知函 (2)(多选)已知函数f(x)= 则 -x2+3,x≥1， 数f(x)= x2,-2≤x<1, ( 则下列关于函数 -x十2，x≥1， A.f(f(3))=3 f(x)的结论正确的是 B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3 A.f(x)的定义域为R C.f(x)<2的解集为(-c∞，0)U(1,十o∞) B.f(x)的值域为（一∞，4] D.若Hx∈R,a>f(x),则a≥3 C.若f(x)=2,则x的值是一2 请完成课时作业（七） D.f(x)<1的解集为(-1,1) 20(2)依题意，f(x)<a-1,可化为a.x2十 微拓展 [例4门解(1)由已知得，mr产-m.r一1 (1-a).x-1<0. 典例解(1)依题意知，函数f(x)= <0对一切实数x恒成立， 当a=0时，可得x<1. x2+2m.r十2m十1的图象与x轴的交点 当m=0时，一1<0板成立，符合题意： 当a>0时，可释(+)u-D<0, 分别在区间（一1,0）和(1,2)内，画出示 意图， 当m≠0时，只需m<0, △=m2十4m<0, 又-<1 解得一4<m<0, 解得-<<1 综上所述，一4<≤0，即m的取值范国 是（一4,0]. 当a<0时，不等式a.r2+(1-a).x-1<0 2 (2)由已知得，mr2一mr-1<-m+5对 可化为(e+女)u->0, 一切x∈[1,3]恒成立， 即m(x2-x+1)<6对-切x∈[1,3]恒 当。=-1时，一日=1解得1 f(0)=2m十1<0， 成立， f(-10=2>0. m∈R, 当-1<a<0时，-亡>1，解释<1或 得 -+1=(-号)广+>0… f(1)=4m十2<0， 2 f(2)=6m十5>0， 6 5 m>- 六m<-x+对-切r∈[1.3]恤 当u<-1时.0<-1<1， 成立， 解得-<m<一 令g(x)=x2一x+1,则只需m< 解得r<-成>1 67 Lg(x)」mn 即可， 所以.当a>0时，原不等式的解集 故实数m的取值范国为（一言，一） (2)依题意知，高数f(.x)一x2+2m.r+ 而g(x)在x∈[1,3]上单调递增， 2m十1的图象与x轴的交点落在区间 ∴g(x)∈[1,7]. 当a=0时，原不等式的解集为{xr<1: (0,1)内，画出示意图， “品[9 当一1<a<0时，原不等式的解集 为<1或>-}： 当a=一1时，原不等式的解集为{r∈R “实数m的取值花周是(-∞，号) x≠1}： 即时训练解(1)f(x)=x2-3.r十a 当a<一1时，原不等式的解集 为<-> f(0)0, m>- 2, ()+a-， f1)>0, 1 例3](1)ABD因为关于r的不等式 即 2 则)=时（受）=a-是 ar2十ar十c≥0的解集为{xr≤一3或 △0， 0<-m1. m>1十√2或m<1一√2， f(x)>0在x∈R上位成主， x≥4}， 所以a>0且方程a.r2十r十c=0的根 -1<0, 即(x)min=a 号>0，>号. 为一3,4，故A正确： 解得一 2 <m<1-2. 则一=1，后=-12，所以6=-a6= 故实数a的取位范围是（号+）小 -12a, 故实数加的取值范国为（一立1一）： ②/)--+a-(e-）'+a 所以4+b十c=一12a<0,故C错误： 即时训练(1)答案 K<- 号度6>3 则不等式br十c>0即为不等式一ar 12a>0,解得x<-12, 解析首先k≠0，设方程x2+3kx十k -3=0的两根为12，则1<0，x2< f(x)在[-1.2]上的最大值为f(x)m 所以不等式x十c>0的解集为{rlx< 一12到，故B正确： 0台 T1十x2<0, --)-(-1-号)+a-是-4 不等式cr2一br十a<0脚为不等式 12>0, 十a" -12ax2+a.r+a<0, 4=9k2-4k(k-3)>0, 故f(x)在r∈(-1,2)上满足f(x)<4 即为122--1>0，解得>号成 十d,故4十a≤0，解得a≤一4. 所以。 故实数a的取值范国是（一00，一4， <- 第二章函数 所以不等式Cx2一b.x十a<0的解集为 k(5k+12)>0, {<-子或>吉}批D正确，故 即一3<0， 第一节函数的概念及其表示 k>3或k<0, 选ACD. 夯实·必备知识 (2)答案 -2<x<-1 又0，解释长-号或6> 解析关于x的方程x2十kx十k2+k一2 知识整合 =0有两个实数根， (2)答案(0.1) 1.非空的实数集任意唯一确定 且一根大于2，一根小于2， 解析方程2-(2a+1)r+a(a+1) 2.(1)定义域对应关系值域 构造函数f(x)=x2十kx十k+k一2， =0=→(x-4)[r-(4十1)]=0， (2)定义域对应关系 一根大于2，一根小于2，f(2)<0, ∴方程两根为一a,g一a+1, 3.解析法列表法 4十2k+k2+k-2<0,解得-2<x< 自我调练 解得0 -1. 若要满足题意，则0C4<1， 11<a+1<3 1.(1)×(2)×(3)/(4)V 故的取值范围是一2<r<一1， <a<1. 2.B3.BCD4.-6 450 研磨·高考题型 即a.x+(5a+b)=2x+17, 当a<-1时，需满是-之c2-u十是 3 L例1门(1)D对选项A,因为f(x)=x /a2, 定义战为R,(x)一|x定义域为R,定 15a+b=17. 年8 一2a,解得a<一1，或a>3(舍去). 义城相可，但f(x)≠g(r),所以f(x), fr)=2x+7(r∈R). 第上，实数a的取值范四是（一0o,一1） g(x)不是同一函数，故A错误： 故选D. 即时训练《答案马0且x中1) 1 对选项B,因为f(x)=√(x+2)定义 城为Rg(x)=(√+2)2定义城为{x 1 1 解析f(x)= x≥一2)，定义域不同，所以f(x),g(r) -工-x≠0且x 不是同一函数，故B错误： 1一￥ ≠1). 时选项C,国为f(x)=√r定义城为{xx (2)答案f(x)-x2 ≥01，g(r)=工定义城为{xr>01,定 解析f(x+y)=f(x)+f(y)+2ry 义域不同，所以f(),g(x)不是同一函 中，令x=y=0,解得f(0)=0, (2)BCD对于A,因为f(③)=-(3) 令y=-x得f(r-x)=f(x)+f(-x) 十3=0，所以f(f(3)=f(0)=2,所以 数，故C错误： -2.x2,故f(x)+f（x)=2x2, 对选项D,因为f(x)=x定义域为R, A错误：对于B,当r<1时，由f(x)= 不妨设f(x)=x2,满足要求， 一1，得r+2=一1，解得x=一3，当x≥1 g(x)=V定义域为R,又g(x)= L例3](1)BC 品数f(x） 时，由f(,x)=一1，得一x2十3=一1，. =-fx),所以f(x),x(x)是同 -4,解得x一2或x一一2（舍去），综上 一函数，故D正确，故选D, 12,-2<r<的定义城是[-2+60 -x+2,x>1 r=2或x=-3,所以B正确：对于C,当 (2)答案[一1,4] 故A错误： x<1时，由(xr)<2,得x+2<2.解得x 解析由一2≤x一1≤3，解得一1≤x 当-2≤x<1时，f(x)=x2,值战为 <0,当x≥1时，由f(x)<2,得一+3 ≤4， [0,4门，当r>≥1时，f(x)=-x+2,值域 <2,解得x>1,综上，f(x)<2的解集为 所以函数f(x-1)的定义城为[-1,4] 为（一∞，1]，故f(x)的值城为（一∞，4]， (一60,0)U(1,+co),所以C正确：对于 即时训练(1)答案C 故B正确： D,当x<1时，x+2<3,当x≥1时.-2 解析对于A,f(x)=√的定义战为 当x≥1时，令f(x)=-x十2=2，无解， 十3≤2，所以f(x)的值战为（一©，3），因 R,g(x)=(F)2的定义城为[0，十o∞) 当-2≤r<1时，令f(x)=x2=2,解得 为Hx∈R,a>f(x),所以a≥3，所以D 不是同一个函数：对于B,(x)的定义域 x=一√区，故C正确： 正确. 为{xT≠D1,g(r)的定义域为{xx≠ 当-2≤r<1时，令f(x)=x2<1,解得 1},不是阿一个函数：对于C,两个西数 x∈(-1,1)，当x≥1时，令f(x)=-x 第二节 函数的单调性与最值 的定义战、对应关系均相阿，是同一个函 十2<1，解得x∈(1，十∞)，故f(x)<1 夯实·必备知识 数：对于D,f(x)=r+1的定义城为R, 的解集为（一1,1）U(1,十o∞)，故D 知识整合 g)-号的交又减为1，不 错误， 1.(1)f(x1)<f(x)f(1)>f(2） (2)答案-2或5[-3.-1)U[4,十∞) (2)单调递增单调递域 是问一个函数 解析若f(a)=4, (2)D由题意得 -22x≤4， 2.f(x)≤Mf(xa)=Mf(x)≥M a<-1, a≥-1， f(o)=M x-1≠0， 则二a2-0+2=或2-=4 解得一1≤x≤2且r≠1. 自我训练 解得a=一2或a=5. [例2]解(1)（换元法）设1一sinr=1.l 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 若f(a)≥2 ∈[0,2]. 2.A3.A4.[4,+o∞) 4≥-1， 则sinx=1-t 则2-3a十2≥2或-≥2. 或 研磨·高考题型 f(1-sin x)=cos2r=1-sinr. 解得-3≤a<-1或a>≥4. [例1门ACD:y=x与y=一 在 .f(t)=1-(1-t)=21-t2,1∈[0,2]. .a的取值范国是[一3，一1)U 即f(x)=2x-x2(0≤r≤2). [4,+∞). (0,十∞)上单调递增，y=x (2)(配凑法)(：2+）=+ 即时调练(1)D由题可知，当x≤a (0,十∞)上单调递增，故A正确： (+)-2 时，f(x)= 由y一2-2r的图象（图略）知，B不 正确： r=-1, y=2-2sinx≥0， 又+≥-2 当a≥一1时，函数f(x)=一 2x2-r+ .y=2x十2osx是R上的增函数，故C 当且仅当2=宁，即x=士1时等号 正确： 2有最大值为八-1)=2， 函数y-g(.x十1)是定义战(-1，+o∞) 成立， 上的增品数，故D正确 设=+ 当a<-1时，画)=一- [例2]证明设V∈(-1，+∞) 则t≥2，.f(t)=产一2(t≥2)， 有装大值为a)=-0-a叶 3 且x1<x2, f(x）=x2-2(x≥2). 当>a时，f(x）=-2r,在(4，十oo)单 则f()-f(）=4+u-十a (3)(待定系数法)f(x)是一次函数， 调递诚，故f(x)<f(a)■-2a, (1-a)(1-2) .可设f(x)=a.r十b(a≠0)， 因为函数f(x)无最大值，故当a≥一1 (1+1)(+1) .3[a(x+1)+们-2[a(.x-1)+b们=2a 时，需满足2<一2a,解得a<一1，不符 x∈(-1，+∞)，且<g +17, 合题意， 1+1>0,+1>0,1一<0. 451