第6节 一元二次方程、不等式-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

(2)C根据图形，利用射影定理得 即时训练D因为a,b∈(0，十∞)，由 CDP=DE·(OD, 第六节一元二次方程、不等式 又0D-AB-生，cD=AC.CB 已知可得A<(a+b)(日+合)： 夯实·必备知识 4a 知识整合 =ab, 周为（日+）a+6)= +5 4 b 片以DE-器-当 1.{x<x1或x>x2 2.(1)f(x)g(x)>0(<0)(2)f(x)g(x) 2 ≥0(0)且g(x)≠0 由于OD≥CD, 时等号成立， 3.(-o,-a)U(a,十∞)（-aa） 所以生>a>0.6>0 故实数A的取值范围为（一∞，9]，故 自我训练 选D. 1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.R 由于CD≥DE, [例3]解(1)每套会撒及吉祥物售价为 3.(-3,0]4.(-0,-6]U[1,+∞) 2 (a>0,b>0). 所以>。干一1十方 100元时，销售量为15一0.1×100=5 研磨·高考题型 a (万套)， [例1门ABD因为方程x2+x-2=0的 解为x1=1,2=一2，所以不等式x2十x 即时训练 (1)C 由图知：OC=号AB 供货单价为50+ 10=52(元)： 一2>0的解集为{x|x<-2或x>1 -空，oD-1B-BD1-- 总利润为5×(100-52)=240（万元）. 故A正确： 2 所以能茨得的总利胸为240万元， 因为告-1长0，脚号<0，即十 (2)每套会撒及吉祥物售价为x元时，销 3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x 在R1△OCD中，CD=√OC+OD 售量为(15一0.1x)万套，供货单价为 2,所以不等式的解集为{x一3≤r<2, a2+ (60+68正)无 故B正确： 由|x-2引≥1，可得x一2≤一1或x一2 所以0<0D.即≤√ la+ 10 2 单套利润为x一50一15-0.=1一50 ≥1， 解得r≤1或x≥3，所以不等式的解集为 (a>0,b>0),故遍C 100 《xx≤1或r≥3)，枚C错误： 150-x (2)BC因为ab>0,故当a<0,b<0时， 由x一1<1，可得一1<x一1<1，解得 不等式“时≥√a不成立，故A不正确： 周为15-0.1x>0,所以0<x<150. 2 所以单套利润为 0<<2,由<0，可得-4长<5 由重卖不等式得b“”性成主，当 100 y=x-50-150- 因此.“红一<1”美“<0”的充分 且仅当@=b时，等号成立，故B正确： 不必要条件，故D正确， 为a>0,所以云>0.>0，则十 (150-x)+ 1001+100 150-xJ [例2]解(1)由已知得f(1)=1-a 100 24<0. >2√后·=2，当且当a=b时， b ≤100-2√/(150-x)·150-x =80. 即(a+1)(2a-1)>0, 等号成立，故C正确： 当且收当150一x=10,即x=140时取等 解得a<-1或> 因为a2十≥2ab,所以(a+b)2≥4ab, 号 所以实数a的取值范圆为（一0，一1） 当a<0,b<0时满足ab>0.但a+h<0, 所以每套会暇及吉科物售价为10元 此时a十bs2ab ?Sa6故D不正晓 时，单套的利润最大，最大位是80元 U(分+e): 即时训练解(1)设每件定价为1元， (2)fx)=x2-ar-2a2=(x-2a)(x+ [例2]DA周为E>0,y>0,且2+ 依题意得(8-二5×0,2）≥25×8 a)>0. =1 令f(x)=0,得x1=2a,rg=一a: y 整理得2-651+1000≤0， 当2a<-a,即a<0时，解得.x<2a或x 所以2x+y-(2+(+）-5 解得25≤1≤40. >-a ,要使销售的总收入不低于原收入，该 当2a=-a,即a=0时，解得1≠0， +>5+名·= 商品每件定价最多为40元： 当2a>一a,即a>0时，解得x<一a或 (2)依题意知，当x>25时， x>2a. 当且仪当2-丝，且2+=1，即x= 编上所述，当a<0时， y y 不等我ar≥25×8+50+专(x2-60) 解集为(-∞，2a)U(-a,+o∞)： y=3时取等号，此时2x十y取得最小 当a=0时，解集为（一oo,0)U(0,十oo): 位9， 十后有解 当a>0时，解集为（一co,一a)U 若2x+y<m2-8m有解，则9<m2 等价于当x>25时，a≥150+ (2a.+oo). 8m,解得m>9或m<-1, 即时训练解(1)Vx∈R,f(x)≥一2 即实数m的取值范围为（一©，一1）U 6 有解， 恒成立等价于Hx∈R,ax2+(1一a)x+ (9,十∞). (2)C令x)=+3r+1 a≥0， 当a=0时，x≥0，对一切实数r不恒成 由题意可得a≤f(r)min· 立，则a≠0， 当x=30时，等号成立)， a≥10.2. r +3=5, 此时必有>0， △=(1-a)2-4a20. ·当该商品改革后的销售量《至少应达 当且仅当一子即一1时等号成立 a>0, 到10,2万件时，才可能使改革后的销售 即 3a2+2a-1≥0 解得a≥3 a≤f（x）mn=5, 敢入不低于原收入与总投入之和，此时 所以实数a的取值花国为（一o,5]. 该商品的每件定价为30元： 所以实载a的取值范国[十) -449 (2)依题意，f(x)<a-1,可化为a.x2十 微拓展 [例4门解(1)由已知得，mr产-m.r一1 (1-a).x-1<0. 典例解(1)依题意知，函数f(x)= <0对一切实数x恒成立， 当a=0时，可得x<1. x2+2m.r十2m十1的图象与x轴的交点 当m=0时，一1<0板成立，符合题意： 当a>0时，可释(+)u-D<0, 分别在区间（一1,0）和(1,2)内，画出示 意图， 当m≠0时，只需m<0, △=m2十4m<0, 又-<1 解得一4<m<0, 解得-<<1 综上所述，一4<≤0，即m的取值范国 是（一4,0]. 当a<0时，不等式a.r2+(1-a).x-1<0 2 (2)由已知得，mr2一mr-1<-m+5对 可化为(e+女)u->0, 一切x∈[1,3]恒成立， 即m(x2-x+1)<6对-切x∈[1,3]恒 当。=-1时，一日=1解得1 f(0)=2m十1<0， 成立， f(-10=2>0. m∈R, 当-1<a<0时，-亡>1，解释<1或 得 -+1=(-号)广+>0… f(1)=4m十2<0， 2 f(2)=6m十5>0， 6 5 m>- 六m<-x+对-切r∈[1.3]恤 当u<-1时.0<-1<1， 成立， 解得-<m<一 令g(x)=x2一x+1,则只需m< 解得r<-成>1 67 Lg(x)」mn 即可， 所以.当a>0时，原不等式的解集 故实数m的取值范国为（一言，一） (2)依题意知，高数f(.x)一x2+2m.r+ 而g(x)在x∈[1,3]上单调递增， 2m十1的图象与x轴的交点落在区间 ∴g(x)∈[1,7]. 当a=0时，原不等式的解集为{xr<1: (0,1)内，画出示意图， “品[9 当一1<a<0时，原不等式的解集 为<1或>-}： 当a=一1时，原不等式的解集为{r∈R “实数m的取值花周是(-∞，号) x≠1}： 即时训练解(1)f(x)=x2-3.r十a 当a<一1时，原不等式的解集 为<-> f(0)0, m>- 2, ()+a-， f1)>0, 1 例3](1)ABD因为关于r的不等式 即 2 则)=时（受）=a-是 ar2十ar十c≥0的解集为{xr≤一3或 △0， 0<-m1. m>1十√2或m<1一√2， f(x)>0在x∈R上位成主， x≥4}， 所以a>0且方程a.r2十r十c=0的根 -1<0, 即(x)min=a 号>0，>号. 为一3,4，故A正确： 解得一 2 <m<1-2. 则一=1，后=-12，所以6=-a6= 故实数a的取位范围是（号+）小 -12a, 故实数加的取值范国为（一立1一）： ②/)--+a-(e-）'+a 所以4+b十c=一12a<0,故C错误： 即时训练(1)答案 K<- 号度6>3 则不等式br十c>0即为不等式一ar 12a>0,解得x<-12, 解析首先k≠0，设方程x2+3kx十k -3=0的两根为12，则1<0，x2< f(x)在[-1.2]上的最大值为f(x)m 所以不等式x十c>0的解集为{rlx< 一12到，故B正确： 0台 T1十x2<0, --)-(-1-号)+a-是-4 不等式cr2一br十a<0脚为不等式 12>0, 十a" -12ax2+a.r+a<0, 4=9k2-4k(k-3)>0, 故f(x)在r∈(-1,2)上满足f(x)<4 即为122--1>0，解得>号成 十d,故4十a≤0，解得a≤一4. 所以。 故实数a的取值范国是（一00，一4， <- 第二章函数 所以不等式Cx2一b.x十a<0的解集为 k(5k+12)>0, {<-子或>吉}批D正确，故 即一3<0， 第一节函数的概念及其表示 k>3或k<0, 选ACD. 夯实·必备知识 (2)答案 -2<x<-1 又0，解释长-号或6> 解析关于x的方程x2十kx十k2+k一2 知识整合 =0有两个实数根， (2)答案(0.1) 1.非空的实数集任意唯一确定 且一根大于2，一根小于2， 解析方程2-(2a+1)r+a(a+1) 2.(1)定义域对应关系值域 构造函数f(x)=x2十kx十k+k一2， =0=→(x-4)[r-(4十1)]=0， (2)定义域对应关系 一根大于2，一根小于2，f(2)<0, ∴方程两根为一a,g一a+1, 3.解析法列表法 4十2k+k2+k-2<0,解得-2<x< 自我调练 解得0 -1. 若要满足题意，则0C4<1， 11<a+1<3 1.(1)×(2)×(3)/(4)V 故的取值范围是一2<r<一1， <a<1. 2.B3.BCD4.-6 450第一章集合与常用逻辑用语、不等式 [即时训练] 费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问： 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7 月28日至8月8日在四川成都举行，某公 当该商品改革后的销售量a至少应达到多 司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗 少万件时，才可能使改革后的销售收入不低 下的某商品进行一次评估.该商品原来每件 于原收入与总投人之和？并求出此时商品 售价为25元，年销售8万件. 的每件定价 (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量 将相应减少2000件，要使销售的总收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多 少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响 力，提高年销售量，公司决定立即对该商品 进行全面技术革新和营销策略改革，并提高 定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元 作为技改费用，投入50万元作为固定宣传 请完成课时作业（五） 第六节一元二次方程、不等式 [课标要求]1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次 方程的根的个数以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 夯实·必备知识 知识整合 2.分式不等式与整式不等式 1.二次函数y=ax2十b.x十c(a>0)与一元二 (1)f>0(<0)台 g(x) 次方程ax2十b.x十c=0(a>0),不等式a.x 十bx十c>0(a>0)的解的对应关系 (2g≥t≤0 方程的判别式 3.简单的绝对值不等式 △>0 4=0 △<0 △=b2-4ac x|>a(a>0)的解集为 |x<a(a>0)的解集为 二次函数 【常用结论】 的图象 1.一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式a.x2+bx+c>0(a≠0)，x∈R恒 成立台a>0且△<0； 有两个不相 有两个相等 等的实数根 (2)不等式ax2+bx十c<0(a≠0)，x∈R恒 方程的根 的实数根x 没有实数根 r1·r2(x1 成立台a<0且△<0： x2) 2a (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先 考虑a=0的情形. 不等式的解集 x≠ b 2.对于不等式ax2十bx十c>0,求解时不要忘 记a=0时的情形. 15 金榜题名创新高考总复习数学 自我训练 (4)不等式二8≥0等价于（红-a)(x-) 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 ≥0. () “/”或“×”) 2.已知A={xx2-16<0},B={xx2-4x+ (1)若方程ax十bx十c=0无实数根，则不 3>0},则AUB= 等式ax2+bx十c>0的解集为R ( ) 3若不等式2+红一音<0对一切实数： (2)若不等式a.x十b.x十c>0的解集为 都成立，则k的取值范围为 (x1,x2),则a<0 ( 4.已知不等式a.x2+bx十1>0的解集为 (3)若a.x2十bx十c>0恒成立，则a>0且 -<r< ,则不等式bx2-5x-a≤0 △<0. ( 的解集为 研磨·高考题型 》 题型一求解一元二次不等式 [即时训练] 命题点1不含参的不等式 (2025·江西新余质检)设f(x)=a.x2+ [例1]（多选）下列选项中，正确的是( (1-a)x+a-2. A.不等式x2十x一2>0的解集为{x|x< (1)若不等式f(x)≥一2对一切实数x恒 -2或x>1》 成立，求实数a的取值范围； B.不等式2)≤1的解集为{x-3≤ (2)解关于x的不等式f(x)<a-1(a∈R). x-2 x<2} C.不等式|x一2|≥1的解集为{x|1≤ x≤3} D.设x∈R,则“x-1<1”是“+4<0”的 x-5 充分不必要条件 [尝试解答] 题型二三个二次之间的关系 [例3](1)（多选）已知关于x的不等式ax 十bx十c≥0的解集为{xx≤一3或x≥4}， 命题点2含参数的不等式 则下列说法中正确的是 () [例2](2025·呼和浩特质检)已知二次函 A.a>0 数f(x)=x2-ax-2a2,a∈R. B.不等式bx十c>0的解集为{xx<一12 (1)若f(1)<0,求实数a的取值范围； C.a+b+c>0 (2)求关于x的不等式f(x)>0的解集。 D.不等式cx2一bx十a<0的解集为 [尝试解答] x<-或x>号 (2)(2025·西安质检)已知关于x的方程 x2+kx十k2十k一2=0有两个实数根，且 根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围 为 16 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 [尝试解答] (2)已知方程x2-(2a+1)x+a(a+1)=0 的两根分别在区间(0,1)，(1,3)之内，则实 数a的取值范围为 题型三一元二次不等式恒成立问题 [例4幻设函数f(x)=x2一mx-1. (1)若对一切实数x,f(x)<0恒成立，求实 数m的取值范围： (2)若对一切x∈[1,3]，f(x)<-m十5恒 成立，求实数m的取值范围. [微拓展] [尝试解答] 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情 况，确定方程中系数的取值范围问题，主要 从以下三个方面建立关于系数的不等式 (组)进行求解。 (1)判别式△的符号. (2)对称轴x=一 与所给区间的位置 2a 关系 [思维升华]… (3)区间端点处函数值的符号 恒成立问题求参数的范围的解题策略 典例已知关于x的一元二次方程x2十 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求 2m.x十2m+1=0. 谁的范围，谁就是参数 (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一 (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用 根在区间（一1,0）内，另一根在区间(1,2) 判别式△；一元二次不等式在给定区间上恒 内，求实数m的取值范围： 成立，不能只用判别式△，一般分离参数求最 (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间 值或分类讨论 (0,1)内，求实数m的取值范围. [即时训练] 已知函数f(x)=x2-3x+a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a 的取值范围： (2)若f(x)<0在x∈(-1,2)上恒成立，求 实数a的取值范围. [思维升华] 已知一元二次不等式的解集，就能够得 到相应的一元二次方程的两根，由根与系数 的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等 式解集的形式判断二次项系数的正负 [即时训练] (1)(2025·西安质检)若一元二次方程kx +3kx十k一3=0的两不等实根都是负数， 则实数k的取值范围为 请完成课时作业（六）、必刷小题1 17