第1节 集合-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第一节集合 [课标要求]1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集 合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合 语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算. 夯实·必备知识 》 知识整合 3.集合的基本运算 1.集合与元素 表示 集合语言 图形语言 记法 (1)集合中元素的三个特性： 运算 (2)元素与集合的关系是 或 并集 用符号 或 表示 (3)集合的表示法： 交集 (4)常见数集的记法 非负整数集 补集 正整数集 有理 集合 整数集 实数集 (或自然数集) 数集 【常用结论】 N 符号 1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有 (或N+) 2"个子集，2”一1个真子集 2.集合的基本关系 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 真子集 (1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果 3.A∩B=A台ACB,AUB=A台BCA 集合A中 都是集合B中 4.C(A∩B)=(CA)U(CB), 的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 Cu(AUB)=(CuA)∩(CuB. (或B2A). 自我训练 (2)真子集：如果集合A三B,但存在元素 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 x∈B,且 ,就称集合A是集合B的 “/”或“X”) 真子集，记作 (或B星A). (1)集合{x∈N|x3=x,用列举法表示为 (3)相等：若A二B,且 ,则A=B. {-1,0,1}. () (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记 (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}= 为心. {(x,y)|y=x2+1}. () 金榜题名创新高考总复习数学 (3)若1∈{x,x},则x=一1或x=1.( 3.(多选)若对任意x∈A,上∈A,则称A为 (4)对任意集合A,B,都有(A∩B)二(AUB). ( “影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集 2.设集合A={x|3≤x<7},B={x2<x<10}, 合的是 则(CRA)∩B等于 A.{-1,1 B侵2 A.{x2<x≤3} C.{xx2>1) D.(z x>0 B.{x|7<x<10y 4.已知集合A={1,3,a2},B=(1,a+2,若 C.{x2<x<3或7≤x<10 AUB=A,则实数a= D.{x2<x≤3或7<x<10》 研磨·高考题型 》 ■ 题型一集合的含义与表示 (2)(2025·贵州黔东南三模)已知集合S= [例1](1)(2025·潮州模拟)已知集合A= {yly=x2-1},T={(x,y)|x+y=0},下 {(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=3x},则 列关系正确的是 ( A∩B等于 A.-2∈S B.(2,-2)T A.{0,3} B.{(0,0),(3,9)} C.-1S D.(-1,1)∈T C.{(0,0)} D.{(3,9)} 题型二集合间的基本关系 (2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈ [例2] (1)(2025·江西新余质检)若A= A,则m的值为 ax=合+1，kez,B=x=台+2 6 [尝试解答] k∈Z},C={xx= +日k∈Z,则这三个 集合间的关系是 () A.ACBCC B.ACCCB C.CCBCA D.CCA≤B (2)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,一a}, B={1,a-2,2a-2},若A二B,则a等于 [思维升华 A.2 B.1 解决集合含义问题的关键点 (1)确定构成集合的元素. c号 D.-1 (2)确定元素的限制条件。 [尝试解答 (3)根据元素的特征（满足的条件）构造 关系式解决相应问题. [即时训练] (1)(2025·苏州模拟)设集合A={1,2,3}, B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C 中元素的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 [思维升华 命题点2利用集合的运算求参数的值（范围） (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合 [例4](1)（多选）已知A={x.x2十x-6=0}, 关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造 B={xmx+1=0},且AUB=A,则m的 成漏解. 值可能为 (2)已知两个集合间的关系求参数时，关 键是将条件转化为元素或区间端点间的关 A- 系，进而转化为参数所满足的关系，常用数 C.0 D.- 轴、Venn图等来直观解决这类问题. (2)已知集合A,B满足A={x|x>1},B= [即时训练] {xx<a一1}，若A∩B=⑦，则实数a的取 (1)已知集合A={0,1,a2,B={1,0,3a-2}, 值范围为 ) 若A=B,则a等于 ( A.(-∞，1] B.(-∞，2] A.1或2 B.-1或-2 C.[1,+o∞) D.[2,+∞) C.2 D.1 [尝试解答] (2)(多选)(2025·济宁模拟)已知集合A {x|-1≤x≤7}，B={xa+2≤x≤2a-1}, 若使B二A成立的实数a的取值集合为M, 则M的一个真子集可以是 A.{xx≤4》 B.{x|x≤3y C.{x3<x≤4 D.{x4≤x<5} 题型三集合的基本运算 命题点1集合的运算 [例3](1)(2024·全国甲卷)已知集合A= {1,2,3,4,5,9},B={x∈A},则 CA(A∩B)= ( A.{1,4,9 B.3,4,9 [思维升华] C.{1,2,3} D.{2,3,5} 对于集合的交、并、补运算，如果集合中 (2)(多选)(2025·潍坊模拟)若非空集合 的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集 M,N,P满足M∩N=N,MUP=P,则 合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要 ( 注意端点的情况 A.PCM B.M∩P=M [即时训练] C.NUP=P D.M∩(CN)=☑ (1)(2025·陕西商洛三模)设全集U= [尝试解答] {2,4,a2},集合A={4,a+2},CA={a}, 则实数a的值为 ( A.0 B.-1 C.2 D.0或2 (2)已知集合A={x|一2≤x≤7}，B={x m+1≤x≤2m一1}，且AUB=A,则实数m 的取值范围是 请完成课时作业（一参芳答案与详解 第一章集合与常用逻辑 因此集合C中的任意元素都是集合B中 (2)答案m≤4 用语、不等式 的元素，即有C二B,集合B中的每一个 解析周为AUB=A,削BCA. 元素都是集合A中的元素，即B二A, 当m十1>2m一1时，即当m<2时，B= 第一节集合 所以C二B二A.故选C. ⑦二A,满足题意： 夯实·必备知识 (2)B若4-2=0，解得a=2,此时A 当m十1≤2m一1时，即当m≥2时，B 知识整合 (0,一2}，B=1,0,21,不特合题意： ≠0， 若2a一2=0，解得a=1,此时A={0, 1.(1)确定性互异性无序性 (2)属于不属于∈任 -11,B={1,一1,0}，符合题意。 由BE人可得2解得-8Cm 综上所送，4一1. ≤4，此时2≤m≤4 (3)列举法描述法图示法 即时调练(1)C因为A=B,所以a2 够上所述，m≤4. 2.(1)任意一个元素A二B =3a一2，解得a=1或a=2. (2).xEAA=B(3)B三A 第二节常用逻辑用语 当a=1时，a2=1,与集合元素互异性矛 3.{x|x∈A,或x∈BAUB 盾，故a=1不正确. 夯实·必备知识 {r|x∈A,且x∈BHA∩B 经检验可知a=2符合，故选C. 知识整合 {xx∈U,且xEA)CuA (2)BC因为集合A={x|一1≤x≤7}， 1.充分必婴充分不必要必要不充分 自我训练 B=ra+2≤x≤2a-1}, 充要既不充分也不必要 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 又BCA,所以当B=0时，a+2>2a一1， 2.(1)廿(2)3 2.C3.ABD4.2 脚a<3: 3.Hr∈M,p(r)Hx∈M,-p(r) 研磨·高考题型 当B≠0时，有-1≤a+2≤2a-1≤7， 自我训练 解得3≤a≤4， 1.(1)/(2)√/(3)√(4)× [例1门1)B由题意得y=, 2.B3.AB4.(3,+o) 1y=3r. 故M=(一o∞，4们，则M的一个真子集可 以是（一∞，3]或(3,4]，故选BC 研磨·高考题型 解得 y=0 1y=9, 例3](1)D因为A■{1,2,3,4,5,9)， [例1](1)B方程mx”-2r+3=0有两 B={x|x∈A},所以B={1,4,9,16, 个同号且不等实根， 故A∩B=((0.0),(3,9) m≠0， 一立 3 25,811, (2)答案 则A∩B=1,4,9》,CA(A∩B)= 430 解析由题意得m十2=3或2m2十m {2,3,5》.故选D. (-2)2一4×3m>0, =3, (2)BC由M∩N=N,可得NC 解得0<m<3· 1 则m=1或m=一号， 由MUP=P,可得MCP. 则推不出P二M.故A错误： 当m=1时，m十2=3,2m2十m=3,根据 由MCP,可得M∩P=M,故B正确： 别伞题：0<m<名 集合中元素的互异性可知不满足题意： 因为NCM且MCP, 由m<1,可得一1<m<1,别命题p: 当m=一 2时m+22m+m=3 所以N二P,则NUP=P,故C正扇： 一1<m<1, 由N二M,可得M∩(CpN)不一定为空 则p是g的必要不充分条件.故选B. 特合题意，故m一一豆 3 集，故D错误， (2)A当向量a,b所在的直线平行时， [例4](1)BCD由题意知A=(xx2+x 可得向量a,b平行，则克分性成主， 即时训练(1)B闲为朵合A=(1,2,3}, -6=0), 而当向量a,b平行时，向量a,b所在的 B=(4,5},C=〈x十yx∈A,y∈B,所 由x2十x一6■0，解得x=2或x=一3， 直线平行成重合，则必要性不成立， 以C=(5,6,7,8.即C中元素的个数 所以A={2,一3}， 则p是？的充分不必要条件： 为4. 固为AUB=A,所以B三A, 即时训练(1)B由2一x≥0，解得x≤2. (2)D周为S={yy=x2一1)={yy≥ 当B=⑦时，m=0,满足题意： 由|x+1|≤1，即-1≤x+1≤1，解得 -1}. -2≤x≤0. 所以A,C错误 当B≠时，B-(仁} 又[-2.0]=(-o0,21, 因为2+(-2)=0，所以(2，-2)∈T, 由2一x≥0推不出x十1≤1，故充分不 则、1三2我一m=一3， 所以B错误， 成立， 又一1十1=0，所以（一1,1）∈T,所以D 解得=一或=子 由x十1|≤1排得出2一x≥0，即必要 性成立， 正确，故选D [例2]1)C徐题意，A-xx什5， 综上m=0或一之友号 所以“2一x≥0”是“|x十1≤1”的必要 不充分条件.故选B. 6 (2)B图为第合A,B满是A={xx>1), k∈Z=xx=+3》+3.k∈Z,B (2)B图为“非有志者不能至也”即“有 B={xxa-1}.且A∩B=O. 6 志“不成立时“能至”一定不成立， 期a-1≤1，解得a≤2. x-2+3,k∈Z, 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有 即时训练(1)A由集合A= 6 志”是“能至”的必要条件 C=(x1x=6+3,k∈2={x1r {4,a+2}知a十2≠4，即a≠2，而CuA [例2]解(1)由(x+1)(x-3)<0, 6 -(a},全集U-(2,4,a2}, 解得一1<r<3, 2X2h+3,ke,而{xr=k+3,k∈Z +22.解得a=0,经脸证=0 因此，/a2=a, 所以B={x|-1<x<3}, 6 当a-2时，A={x2≤x≤4}， =Z,{偶数)■{xx=2k,k∈Z, 满足条件，所以实数a的值为0，故选A. 所以A∩B={x2≤x<3. 445