第01讲 数学与我们同行（知识清单+7必考题型）考试满分全攻略同步备考系列-2025-2026学年七年级数学上册（苏科版2024）

第01讲 数学与我们同行 题型梳理 题型方法 题型一 数字与生活 题型二 河图洛书 题型三 图形与生活 题型四 动手操作获取知识 题型五 解决实际问题 题型六 规律探究 题型七 根据图形寻找规律 知识清单 知识点1:生活 观察 生活中充满了图形和数字,多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活,还包含着丰富的信息和数学知识. 在日常生活中,我们也经常使用数字进行统计和测量,例如:通过观察,估计两个三角形的边长和角度是否相等,一个正方形和一个长方形的面积大小是否相等,比较两个物体的形状、大小等特征可以判断它们之间的关系. 几何图形可分为: 几何体(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等) 和平面图形(如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形等). 在人类文明的发展过程中,图形和数字是人们表达和传递信息的重要载体. 几何图形可以把一些生活中存在的复杂而独特的精神、内容等赋予简化概括的视觉形态, 它是最简单的语言方式.在人生活中的邮政编码、手机号码、汽车牌照号码、条形码等,传递着生活中重要的信息,以至于我们见到某一个特定的编号,就能迅速地知道编号表达的内容和代表的对象. 如学生的学籍号表达了学生的年级、班级、序号等信息. 数字已成为人们表达和交流的工具. 类最早时期就利用符号化的图案来传递信息进行交流和联系,而后数字的产生给生活带来了极大的方便. 特别提醒 生活中的很多图形有着它自身的内容,不同情况下相同的图形所代表的含义也会不同. 知识点2:活动 思考 数学学习过程中不仅有计算,而且有动手操作、归纳与推断. 通过折叠、拼图、裁剪等活动感受图形的性质,培养空间想象能力,养成交流、合作、独立思考的学习习惯. 特别解读 动手操作流程: (1)掌握操作的具体过程; (2)按照操作的先后顺序动手操作; (3)通过比较、思考等得出结论. 观察一组数字序列,通过练习和尝试,从中找出数字序列中的规律,进行推算. 特别解读 解答图案中数的规律问题,关键是认真观察各个图案,找出各个图案中相应位置上的数之间的规律. 在进行生产、生活和科学研究等活动时,往往需要通过调查来收集数据, 如开调查会、个别访谈、现场查访、统计调查、问卷调查等. 其中问卷调查是一种既省时省力,又能对事物进行比较全面系统调查的方法,在日常工作中备受青睐. 特别解读 统计调查是进行资料整理和分析的基础环节. 知识点3:交流 表达 观察一系列图形,找出它们内在的共同之处,从中归纳其蕴含的规律. 在活动的过程中,通过认真思考,交流、验证或证明所探索的结论,掌握探究问题的方法. 特别解读 在图形中寻找规律:(1)观察、猜想、交流图形中的规律;(2)验证规律;(3)用数学式子表达出来. 一杯开水在室温下的温度会逐渐下降. 随着时间的变化,水温下降的速度是先快后慢,水自然冷却到与环境温度一样时,温度不再下降,此时水温等于室温. 一种量变化时,另一种量也随之变化. 如生活中汽车速度一定时,行驶的路程随着时间的增加而增加;购物总价一定时,购买的数量随着单价的增加而减少等. 知识储备 如果这两种量相对应的两个数的比值一定,它们的关系叫作正比例关系; 如果这两种量相对应的两个数的积一定,它们的关系叫作反比例关系. 题型方法 【题型一】数字与生活 【例1】(24-25七年级上 江苏泰州 期中)对下面生活数据估计最合理的是( ) A.一个鸡蛋重约 B.课桌面的面积约是50 C.六年级学生跑50最快用50秒 D.一瓶矿泉水约有500 【答案】D 【分析】本题考查了对生活数据的估计,根据相关生活经验判断各项,即可解题. 【详解】解:A、一个鸡蛋重约,不合理,不符合题意; B、课桌面的面积约是50,不合理,不符合题意; C、六年级学生跑50最快用50秒,不合理,不符合题意; D、一瓶矿泉水约有500,合理,符合题意; 故选:D. 【举一反三】【变式1】(24-25七年级上 江苏扬州 阶段练习)下列所给的数据中,能正确反映出一瓶矿泉水重量的是( ) A.500克 B.500千克 C.500吨 D.500升 【答案】A 【分析】本题主要考查了数学常识,一瓶矿泉水大概500毫升,即其重量约为500克,据此可得答案. 【详解】解:一瓶矿泉水大概500毫升,即其重量约为500克, 故选:A. 【变式2】(24-25七年级上 江苏泰州 期中)下列选项是对一张学生课桌相关数据的估计,最合适的是( ) A.桌面面积大约是2400平方毫米 B.课桌高度大约为2米 C.课桌长度大约为0.6米 D.课桌重量大约为1吨 【答案】C 【分析】本题考查了数学常识,单位换算,2400平方毫米平方厘米,1吨千克,据此逐个选项分析,即可作答. 【详解】解:A、∵2400平方毫米平方厘米,∴桌面面积大约是2400平方毫米是不合适,故该选项是不符合题意; B、课桌高度大约为75厘米,故该选项是不符合题意; C、课桌长度大约为0.6米,故该选项是符合题意; D、∵1吨千克,∴课桌重量大约为1吨是不合适,故该选项是不符合题意; 故选:C 【变式3】(24-25七年级上 江苏常州 阶段练习)某中学为每个学生编号,设定末尾用1表示男生,用2表示女生.如果表示“2015年入学的班号的同学,是位女生”,那么今年入学的班号男生的编号是 . 【答案】 【分析】本题考查了用数字表示事件的知识.根据各位数字表示的含义,结合题意即可作出回答. 【详解】解:根据题意可得:今年入学的1班37号男生的编号是. 故答案为:. 【题型二】河图洛书 【例2】(24-25七年级上 江苏扬州 阶段练习)如图是中国古代“洛书”的一部分,洛书中用实心点或空心点的个数表示数字,纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等,则右下角方框代表的数是 (选填“”,“”或“”). 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减应用,熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键; 先根据最左边的一列三个数字和为,再利用最下面一行的数字求解即可. 【详解】解:最左边的一列三个数字和为, ∴由最下面一行数字可得右下角方框代表的数是; 故答案为: 【举一反三】【变式1】(24-25七年级上 江苏南通 期中)幻方的历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中,即在正方形网格中填上个整数,使每行、每列及对角线上的数字之和都相等.图中给出了幻方的部分数字,则 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用,设第一行第三列的方格中的数字为,由每行及对角线上的数字之和都相等,可列出关于的一元一次方程,解之可得出的值,由每行、每列上的数字之和都相等,可列出关于的一元一次方程,解之即可得出结论.找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 【详解】解:设第一行第三列的方格中的数字为,如图所示, ∵每行及对角线上的数字之和都相等, ∴, 解得:, ∵每行、每列上的数字之和都相等, ∴, 解得:. 故答案为:. 【变式2】(24-25七年级上 江苏泰州 期中)夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源.河图主要代表天文,洛书则主要代表地理方位.其中,“洛书”所呈现的数字排列方式,与三阶幻方有相似之处,其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等,则下图所示的幻方中常数a、b、c满足的等量关系为 . 10 a b c 【答案】 【分析】本题考查了列代数式表达式,根据每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等,设这个和为,则b上方的数是;10数字的正下方的数是, 则,化简得,即可作答. 【详解】解:∵每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等, ∴设这个和为 则b上方的数是; 10数字的正下方的数是, 则, , ∴, 故答案为:. 【变式3】(2024七年级上 江苏 专题练习)河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化、阴阳五行术数之源. 【思考】根据“洛书”,将数字1~9填入方格中,能获得哪些规律呢? 【答案】格中的每一行,每一列及对角线上的三个数之和都分别相等,皆等于15 【分析】本题主要考查了数字规律探索,根据方格中的数据,找出数字间的规律即可. 【详解】答:方格中的每一行,每一列及对角线上的三个数之和都分别相等,皆等于15. 【题型三】图形与生活 【例3】(22-23七年级上 江苏镇江 期末)一个木匠有长的木材,他想用这些木材围绕花园苗床做一个护栏.他为花园苗床设计了如图所示的四种方案,其中不能实现的方案是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分别求出各个图形的周长与进行比较即可得出答案. 【详解】解:A、C.两个选项中的图形相当于长为,宽为的长方形,因此其周长为,与木材的长度相同,能够实现,故A、C不符合题意; B.由于直线外一点到直线上各个点的连线中,垂线段最短,因此图中四边形的一条边长为,另一条边长大于,则四边形的周长大于,大于木材的长度,不可能实现,故B符合题意; D.图中的图形为长方形,周长为,与木材的长度相同,能够实现,故D不符合题意. 【点睛】本题主要考查了图形周长的计算,垂线段最短,解题的关键是熟练掌握垂线段最短. 【举一反三】【变式1】如图:有、、三户家用电路接入电表,相邻电路的接点距离相等,相邻电表的距离相等,且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离,电线对应平行排列,则三户所用电线( ) A.户最长 B.户最长 C.户最长 D.三户一样长 【答案】D 【分析】可理解为将最左边一组电线向右、向上平移所得,由平移的性质即可得出结论. 【详解】解:∵a、b、c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列, ∴将a向右、向上平移即可得到b、c, ∵图形的平移是全等的,即不改变图形大小和形状, ∴三户一样长. 故选:D. 【点睛】本题考查的是生活中的平移现象,熟知图形平移的性质是解答此题的关键. 【变式2】(21-22七年级下 江苏南京 期中)学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路,为了达到“曲径通幽”的效果,下列四种设计方案,其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等,它是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据平移的性质得出修建小路后剩余草坪面积等于矩形的面积小路的面积解答. 【详解】解:A、B、D三种方案剩余草坪面积都是:(长方形的长小路的宽)长方形的宽, 而C方案剩余草坪面积比其他三种方案多减一个小长方形的面积, 故选:C. 【点睛】本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应线段平行且相等,对应角相等;本题判断出阴影部分的面积与梯形的面积相等是解题的关键. 【变式3】(22-23七年级上 全国 单元测试)如图,在一块木板上钉上九颗钉子,每行和每列的距离都是一样的,以钉子为顶点拉上橡皮筋可以组成正方形,这样做组成的正方形的个数是( ) A.5个 B.6个 C.4个 D.7个 【答案】B 【分析】正方形的定义即为:四条边相等且四个角都是直角的四边形,所以在该九个点中任取四个点,组成的四边形能满足定义即可. 【详解】解:如图所示,将木板上的九个点分别标号为, 一共可能组成正方形的组合有种,按照序号依次连接,即可得到正方形:①、、、;②、、、;③、、、;④、、、;⑤、、、;⑥、、、, 故选:B . 【点睛】本题主要考查正方形的定义,即四条边相等且四个角都是直角的四边形,解题的关键在于不要遗漏所能构成正方形的可能情况. 【题型四】动手操作获取知识 【例4】(24-25七年级下 江苏宿迁 期中)如图,将一张长方形纸对折,再对折,然后沿图中虚线剪下扔掉,剩下的图形展开后可得到( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查图形的折叠,根据折叠的性质,逆推即可得出结果,判断即可. 【详解】解:由操作方式可知,剩下的图形展开后可得到: 故选D. 【举一反三】【变式1】(24-25七年级上 江苏南京 期末)将一图形纸片对折后再对折得到如图所示的扇形,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力以及折叠的性质.掌握折叠的性质是解题关键.严格按照图中的方法亲自动手操作一下,即可很直观地呈现出来,从而进行判定即可. 【详解】根据题意知,剪去的纸片一定是一个正方形. 故选A. 【变式2】(24-25七年级上 江苏扬州 期中)把一张长方形纸片按图所示的方式操作,可以得到的图形是( ) A.三角形 B.梯形 C.圆 D.正方形 【答案】D 【分析】本题考查了折叠问题,由折叠可知所得的四边形是正方形纸片. 【详解】解:依题意,可以得到的图形是正方形 故选:D . 【变式3】(24-25七年级上 江苏南京 阶段练习)将一张正方形纸片按如图步骤,通过折叠得到图④,在上各取一点连成的虚线,沿该虚线剪去一个角,剩余部分展开铺平后得到的图形可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查剪纸问题,是基础考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.对于此类问题,只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现. 【详解】解:由于得到的图形的中间是正方形,可以得到图形: 故选:B. 【题型五】解决实际问题 【例5】(七年级上 江苏泰州 期末)小明在某月的日历上圈出相邻的三个数,算出这三个数的和是78,则这三个数的排列方式一定不可能是 A. B. C. D. 【答案】B 【详解】78,即圈出的三个数的平均数为26,所以这三个数不可能是纵向排列的,故选B 【举一反三】【变式1】(七年级上 江苏苏州 阶段练习)几个同学在日历纵列上圈出了三个数,算出它们的和,其中错误的一个是( ) A.28 B.33 C.45 D.57 【答案】A 【分析】设纵列中第一个数为x,则第二个数为:x+7,第三个数为:x+14,可得三个数的和为:x+(x+7)+(x+14)=3x+21,由此式可知三数的和最少为24. 然后用排除法,再把28,33,45,57代入式子不能得整数排除. 【详解】设第一个数为x,则第二个数为x+7,第三个数为x+14,可得三个数的和=x+(x+7)+(x+14)=3x+21, A.3x+21=28,解得x不是整数,故它们的和一定不是28; B.3x+21=33,解得:x=4,故它们的和可能是33; C.3x+21=45,解得:x=8,故它们的和可能是45; D.3x+21=57,解得:x=12,故它们的和可能是57. 故选:A. 【点睛】考查一元一次方程的应用,主要是要联系实际,从实际生活中知道,日历都是按星期排列的.即纵列上,上下两行都是相差7天. 【变式2】(24-25七年级上 江苏泰州 期末)小慧在月历上圈出四个数,并计算出它们的和为36,这四个数所在位置可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程在日历问题中的应用,明确日历中上下行及左右相邻数之间的关系是解题的关键.日历中的每个数都是整数且上下相邻是,左右相邻差,根据题意列方程可解. 【详解】解;A.设最小的数是x,则, 解得,不是正整数,故本选项不符合题意; B.设最小的数是x,则, 解得,不是正整数,故本选项不符合题意; C.设最小的数是x,则, 解得,故本选项符合题意; D.设最小的数是x,则, 解得:,不是正整数,故本选项不符合题意; 故选:C. 【变式3】(24-25七年级上 江苏扬州 期末)把正整数1,2,3,4,…,2025按如图方式排列成一个表. (1)如图,用一个正方形框在表中任意框住4个数,记左上角的一个数为x,则另三个数用含x的式子表示出来,从小到大依次是_、_、_; (2)当(1)中被框住的4个数之和等于216,x的值为多少? (3)在(1)中能否框住这样的4个数,它们的和等于156?若能,则求出x的值;若不能,则说明理由. 【答案】(1) ,, (2) (3)不能,理由见解析 【分析】本题考查了列代数式,一元一次方程的应用,正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键. (1)观察可知,方框内的数下面一行的数比上面一行的数大7,由此列出对应的式子即可; (2)根据(1)所列式子建立方程求解即可; (3)仿照(2)进行求解即可. 【详解】(1)解:用一个正方形框在表中任意框住个数,记左上角的一个数为,另三个数用含的代数式表示,则另三个数用含的式子表示为:,,, 故答案为,,; (2)解:根据题意,得., 解得. ∵, ∴是第8行第1个数, ∴符合题意; (3)解:不能.理由: 假设能框住这样的个数,它们的和等于156,则 , 解得, 因为35是第5行最后一个数, 所以不符合题意, 因而不能. 【题型六】规律探究 【例6】(24-25七年级下 江苏无锡 期中)在1,2,3,…,100中,不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是( ) A.7 B.1 C.3 D.9 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究,根据不能被2整除也不能被5整除的数的尾数为1,3,7,9,分为10组,进行计算即可. 【详解】解:由题意可知:不能被2整除也不能被5整除的数的尾数为1,3,7,9,共分为10组, ∵, ∴每组乘积的个位数字为9, ∵,共有5个相乘, 故尾数为1; 故选:B. 【举一反三】【变式1】(24-25七年级上 江苏南京 阶段练习)把有理数a代入得到,称为第一次操作,再将作为a的值代入得到,称为第二次操作,…,若,经过第2025次操作后得到的是( ) A.8 B.2 C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及绝对值, 先通过计算发现从第4次操作所得结果开始,后面的第偶数次操作的结果为,第奇数次操作的结果为,再根据规律解答即可. 【详解】解:由题知, 因为, 则第1次操作后得到的是:; 第2次操作后得到的是:; 第3次操作后得到的是:; 第4次操作后得到的是:; 第5次操作后得到的是:; 第6次操作后得到的是:; …, 由此可见,从第4次操作所得结果开始,后面的第偶数次操作的结果为,第奇数次操作的结果为, 所以第2025次操作的结果为. 故选:D. 【变式2】(24-25七年级上 江苏扬州 期中)观察下列数据,按某种规律在横线上填上适当的数:,,,,,…,则第6个数应表示为 . 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律,分别从分子、分母和符号来分析数据的变化规律,进而得出答案.找出分子、分母和符号的变化规律,利用规律解决问题. 【详解】解:由题意得,分子是从1开始连续的奇数,分母是从1开始连续自然数的平方,奇数位置为负数,偶数位置为正数, ∴第6个数为:, 故答案为:. 【变式3】(2024七年级上 江苏 专题练习)观察下面依次排列的两组数,请按其规律写出后面的3个数,你能说出第15个数、第101个数、第2019个数分别是什么吗? (1),,,,,,,, , , ,; (2),,,,,,,, , , ,. 【答案】(1)9,,,第15个数为:15,第101个数为:,第2019个数为:2019; (2),,,第15个数为:,第101个数为:,第2019个数为:; 【分析】(1)第一组数中,序号是3的倍数的数是正数,其余数是负数,符号后面的数是从1开始的连续自然数; (2)第二组数中,偶数项是以项数为分母,1为分子的数,奇数项是在项数前加. 此题主要考查学生对规律型题的掌握情况,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题. 【详解】(1)解:后面的3个数依次为,,. 观察发现,若能被3整除,则第个数为,若不能被3整除,则第个数为为正整数), 所以第15个数为15,第101个数为,第2019个数为2019. (2)后面的3个数依次为,,. 观察发现,若能被2整除,则第个数为,若不能被2整除,则第个数为为正整数), 所以第15个数为,第101个数为,第2019个数为. 【题型七】根据图形寻找规律 【例7】(24-25七年级上 江苏徐州 期末)用黑白两色棋子按如图所示方式摆图形,依此规律,第n个图形中黑色棋子的个数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查图形规律探索,观察示例图形,探索规律是解题的关键.由所给图形,可推出第n个图形黑色棋子的个数即可. 【详解】解:第1图形,黑色棋子有个; 第2图形,黑色棋子有个; 第3图形,黑色棋子有个; …… 第n个图形,黑色棋子个, 故选:A. 【举一反三】【变式1】(24-25七年级上 江西赣州 期中)如图,用同样大小的棋子按以下规律摆放,第1个图有6颗棋子,第2个图有9颗棋子…那么,第8个图中的棋子数是( ) A.27 B.30 C.35 D.38 【答案】A 【分析】本题考查规律型:图形的变化类,观察题图,发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多,第个图中棋子的枚数为,即可判断第个图中的棋子数.结合图形得出规律是解题的关键. 【详解】解:观察题图, 第个图中的棋子数为:, 第个图中的棋子数为:, 第个图中的棋子数为:, 第个图中的棋子数为:, …… 发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多, ∴第个图中的棋子数为:, ∴第个图中的棋子数是:. 故选:A. 【变式2】(24-25七年级上 江苏南京 期末)如图,鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面,分割的每一刀都可以抽象为一条直线.切7刀最多可以将鸡蛋饼分成 块. 【答案】29 【分析】本题主要考查了图形的变化规律,能根据所给图形发现鸡蛋饼被切成的最多块数的变化规律是解题的关键. 根据所给图形,依次求出鸡蛋饼被分成的最多块数,发现规律即可解决问题. 【详解】解∶由题知, 切1刀可将鸡蛋饼分成的块数为∶; 切2刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶; 切3刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶; …… 所以切n刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶, 当时, (块). 即切7刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为29块; 故答案为∶29 【变式3】(2024八年级上 江苏 专题练习)请利用轴对称性,在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形: 【答案】所有的图形都是轴对称图形,而且图形从左到右分别是1-7的数字; 【分析】本题是一道规律型的题,首先要从图中找出规律,然后再根据规律画图.同时考查了轴对称图形的性质.仔细观察会发现它们都是轴对称图形,所以在空白处再画一个轴对称图形即可. 【详解】 解:从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形,而且图形从左到右分别是1-7的数字,在横线上的空白处应是. 好题必刷 一、单选题 1.(24-25七年级上 江苏泰州 阶段练习)将化成小数,则小数点后第2024个数字为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律,根据分数化为小数的化法,然后根据循环节进行解答,找到规律根据余数进行解答是解题关键. 【详解】解:, ∴, 余数是2, ∴第个数是循环节的第二个数, 故选:B. 2.(21-22七年级上 江苏苏州 期中)下列人或物中,质量最接近1吨的是( ) A.1000枚1元硬币 B.25名小学生 C.5000个鸡蛋 D.10辆家用轿车 【答案】B 【分析】质量单位有:吨、千克、克,本题中结合实际情况选择合适的计量单位即可判断出答案.例如:1名六年级的学生大约重40kg,求出25名学生的重量;1个鸡蛋大约50g,求出5000个鸡蛋的重量等等. 【详解】解:1吨=1000千克, A、1元硬币1个大约6 g,1000 6 g=6000 g=6kg,故此选项不符合题意; B、六年级的学生体重大约40kg,25 40kg=1000kg,故此选项符合题意; C、1个鸡蛋大约50g,5000 50g=250000g=250kg,故此选项不符合题意; D、1辆家用轿车大约1500kg,10 1500kg=15000kg,故此选项不符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了根据情景选择合适的计量单位,联系生活实际、计量单位,算出这些数据的大小再选择是解题的关键. 3.(23-24七年级上 江苏宿迁 期末)幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方.将9个数分别填入如表所示的幻方中,要求每一横行、每一竖列、同一斜对角线上的3个数相加,和都相等,则图中的值是( ) 4 6 A.0 B.3 C.5 D.7 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用.理解题意,列出等式是解答本题的关键.设其中3个方框中的数分别为a,b,c.根据题意即可列出方程组,再整理,即可解出x的值. 【详解】解:如下表,设其中3个方框中的数分别为a,b,c. 根据题意得, 解得, ∴, , , 故选:C a 4 c b 6 4.(24-25八年级上 江苏镇江 期中)小明准备用一张长方形纸片,通过折叠两次的方式找到一些折痕和点,然后用直尺连线画出一个等边三角形,下面哪个图应该是他的第一次折痕( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质,等边三角形的判定,垂直平分线的性质,根据用长方形纸片折出等边三角形的方法即可求解. 【详解】解:用长方形纸片折出等边三角形的方法: ①先将长方形的较长边与对折,然后展开,折痕即为,如图①; ②点在边上,翻折,使得点落在折痕上的点处,连接,如图②; 由①可得垂直平分,由②可得, ∵垂直平分, ∴, 故, ∴是等边三角形, 故选:A. 5.(23-24七年级上 江苏徐州 阶段练习)找出图形变化的规律,则第个图形中黑色正方形的数量是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律变化类,根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可求解,通过图形找到变化规律是解题的关键. 【详解】解:根据图形变化规律可知: 第个图形中黑色正方形的数量为, 第个图形中黑色正方形的数量为, 第个图形中黑色正方形的数量为, 第个图形中黑色正方形的数量为, , ∴当为奇数时,黑色正方形的个数为, 当为偶数时,黑色正方形的个数为, ∴第个图形中黑色正方形的数量是, 故选:. 二、填空题 6.(2023七年级上 江苏 专题练习)一个人唱《可可托海的牧羊人》需要5分40秒,全班50人合唱需要 . 【答案】5分40秒 【分析】根据题意和数学常识求解即可. 【详解】解:50个人合唱这首歌用的时间和一人唱这首歌用的时间相同,都是5分40秒. 故答案为:5分40秒. 【点睛】此题考查了数学常识,解题的关键是熟练掌握以上知识点. 7.(22-23七年级上 江苏宿迁 期中)某学校为学生编排9位数字的考试号,从左边起第1位数字表示年级,7、8、9分别表示七、八、九三个年级,第2、3位数字表示所在的班级(班级不是两位数字的,前面补0.如3班则编号为03),第4、5位数字表示这个学生在班级序号,第6、7位数字表示该生考试时所到的班级,第8、9位数字表示座位号.如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置,则他的考试号为 . 【答案】 【分析】根据题意逐个写出数字即可求解. 【详解】如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置,则他的考试号为, 故答案为:. 【点睛】本题考查了数学常识,根据题意列出数字是解题的关键. 8.(2023七年级上 江苏 专题练习)小敏中午放学回家自己煮面条吃.有下面几道工序:①洗锅盛水;②洗菜;③准备面条及佐料;④用锅把水烧开;⑤用烧开的水煮面条和菜要.以上各道工序,除④外,一次只能进行一道工序.小敏要将面条煮好,最少需要 . 【答案】 【分析】根据题意,①单独做,在烧水时进行②③,最后⑤,总计需要. 【详解】解:根据题意,④用锅把水烧开可以和②洗菜与③准备面条及佐料同时进行, 工序为①洗锅盛水;④用锅把水烧开(同时进行②洗菜;③准备面条及佐料);⑤用烧开的水煮面条和菜要,共需, 故答案为:. 【点睛】本题考查数学知识解决实际生活中的问题,读懂题意,统筹安排时间是解决问题的关键. 9.(24-25七年级上 江苏盐城 期中)一列数:,,,,,,,,,,,,,,,,则是第 个数. 【答案】126或140 【分析】此题考查了数字类规律题.根据已知数据找到规律,再根据规律进行解答即可. 【详解】解:分组如下:第1组为:,分母为1的有1个数, 第2组为:,,,分母为2的有3个数, 第3组为:,,,,,分母为3的有5个数, …… 观察分析可得到在这列数中,奇数项为正,偶数项为负,分母为n的数共有个, 分母为11的有21个数,分母为12的有23个数, ∴,, ∴则是分母为12的第5个数或倒数第5个数, ∴是第126或140个数. 故答案为:126或140. 三、解答题 10.(2023七年级上 江苏 专题练习)如图,大小完全相同的两个直角三角形纸片,若将它们的某条边重合,能拼成几种不同形状的平面图形? 试一试,画出拼成的图形. 【答案】见解析 【分析】分别将两个直角三角形纸片的斜边、两条直角边重合,即可求解. 【详解】解:可以拼成如图的6种不同形状的图形. 【点睛】本题考查平面图形的相关知识点.将两个直角三角形的斜边、两条直角边分别重合是解题关键. 11.(24-25七年级上 江苏南通 期中)观察下面两行数,并按规律填空: ①, ,… ②, ,… (1)请你分别写出第①②行的第7个数; (2)取每行数的第9个数,计算这两个数的和. 【答案】(1); (2) 【分析】本题考查规律类型题目,解题的关键在于理解题意找出题中规律. (1)根据第一行的第n个数用表示,第二行的第n个数用表示,然后分别求出第7个数即可; (2)根据(1)中的规律求得每行数的第9个数,计算这两个数的和即可. 【详解】(1)解:∵第①行中,第1个数, 第2个数, 第3个数,…, 故第n个数. 第②行数等于第①行相应的数加2; ∴第①行第7个数为:, 第②行第7个数为:; (2)解:第①行第9个数为:, 第②行第9个数为:, ∴每行数的第9个数和为: . 12.(21-22七年级上 江苏盐城 期中)观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律: (1)在④后面的横线上写出相应的等式: ①1=12;②1+3=22;③1+3+5=32;④ ;⑤1+3+5+7+9=52;… (2)请写出第n个等式; (3)利用(2)中的等式,计算:41+43+45+…+199. 【答案】(1)1+3+5+7=42 (2)1+3+…+(2n﹣1)=n2 (3)9600 【分析】(1)由规律可得从1开始连续奇数的和等于加数个数的平方,由此可得到答案; (2)由小问1可知第n个等式为从1开始连续n个奇数的和,由此可知答案; (3)首先将原式改写成(1+3+5+…+199)-(1+3+5+…+39),然后利用(2)中的结论即可得到答案. 【详解】(1)由题意知,第四项为1+3+5+7=16=,故答案为; (2)由图形知: 1=2 1-1=; 1+3=1+(2 2-1)= …… 第n个等式为1+3+5+…+(2n-1)== 故答案为1+3+5+…+(2n-1)= (3)41+43+45+…+199 =(1+3+5+…+199)-(1+3+5+…+39) =[1+3+5+…+(2 100-1)]-[1+3+5+…+(2 20-1)] = =9600 【点睛】本题考查了数字之间的规律,仔细观察图形、发现其中规律是本题的解题关键. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第01讲 数学与我们同行 题型梳理 题型方法 题型一 数字与生活 题型二 河图洛书 题型三 图形与生活 题型四 动手操作获取知识 题型五 解决实际问题 题型六 规律探究 题型七 根据图形寻找规律 知识清单 知识点1：生活 观察 生活中充满了图形和数字，多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活，还包含着丰富的信息和数学知识. 在日常生活中，我们也经常使用数字进行统计和测量，例如：通过观察，估计两个三角形的边长和角度是否相等，一个正方形和一个长方形的面积大小是否相等，比较两个物体的形状、大小等特征可以判断它们之间的关系. 几何图形可分为： 几何体(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等) 和平面图形(如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形等). 在人类文明的发展过程中，图形和数字是人们表达和传递信息的重要载体. 几何图形可以把一些生活中存在的复杂而独特的精神、内容等赋予简化概括的视觉形态, 它是最简单的语言方式.在人生活中的邮政编码、手机号码、汽车牌照号码、条形码等，传递着生活中重要的信息，以至于我们见到某一个特定的编号，就能迅速地知道编号表达的内容和代表的对象. 如学生的学籍号表达了学生的年级、班级、序号等信息. 数字已成为人们表达和交流的工具. 类最早时期就利用符号化的图案来传递信息进行交流和联系，而后数字的产生给生活带来了极大的方便. 特别提醒 生活中的很多图形有着它自身的内容，不同情况下相同的图形所代表的含义也会不同. 知识点2：活动 思考 数学学习过程中不仅有计算，而且有动手操作、归纳与推断. 通过折叠、拼图、裁剪等活动感受图形的性质，培养空间想象能力，养成交流、合作、独立思考的学习习惯. 特别解读 动手操作流程: (1)掌握操作的具体过程； (2)按照操作的先后顺序动手操作； (3)通过比较、思考等得出结论. 观察一组数字序列，通过练习和尝试，从中找出数字序列中的规律，进行推算. 特别解读 解答图案中数的规律问题，关键是认真观察各个图案，找出各个图案中相应位置上的数之间的规律． 在进行生产、生活和科学研究等活动时，往往需要通过调查来收集数据, 如开调查会、个别访谈、现场查访、统计调查、问卷调查等. 其中问卷调查是一种既省时省力，又能对事物进行比较全面系统调查的方法，在日常工作中备受青睐. 特别解读 统计调查是进行资料整理和分析的基础环节． 知识点3：交流 表达 观察一系列图形，找出它们内在的共同之处，从中归纳其蕴含的规律. 在活动的过程中，通过认真思考，交流、验证或证明所探索的结论，掌握探究问题的方法. 特别解读 在图形中寻找规律：(1)观察、猜想、交流图形中的规律；(2)验证规律；(3)用数学式子表达出来. 一杯开水在室温下的温度会逐渐下降． 随着时间的变化，水温下降的速度是先快后慢，水自然冷却到与环境温度一样时，温度不再下降，此时水温等于室温． 一种量变化时，另一种量也随之变化． 如生活中汽车速度一定时，行驶的路程随着时间的增加而增加；购物总价一定时，购买的数量随着单价的增加而减少等. 知识储备 如果这两种量相对应的两个数的比值一定，它们的关系叫作正比例关系； 如果这两种量相对应的两个数的积一定，它们的关系叫作反比例关系. 题型方法 【题型一】数字与生活 【例1】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）对下面生活数据估计最合理的是（　　） A．一个鸡蛋重约 B．课桌面的面积约是50 C．六年级学生跑50最快用50秒 D．一瓶矿泉水约有500 【答案】D 【分析】本题考查了对生活数据的估计，根据相关生活经验判断各项，即可解题． 【详解】解：A、一个鸡蛋重约，不合理，不符合题意； B、课桌面的面积约是50，不合理，不符合题意； C、六年级学生跑50最快用50秒，不合理，不符合题意； D、一瓶矿泉水约有500，合理，符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列所给的数据中，能正确反映出一瓶矿泉水重量的是（    ） A．500克 B．500千克 C．500吨 D．500升 【答案】A 【分析】本题主要考查了数学常识，一瓶矿泉水大概500毫升，即其重量约为500克，据此可得答案． 【详解】解：一瓶矿泉水大概500毫升，即其重量约为500克， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列选项是对一张学生课桌相关数据的估计，最合适的是（    ） A．桌面面积大约是2400平方毫米 B．课桌高度大约为2米 C．课桌长度大约为0.6米 D．课桌重量大约为1吨 【答案】C 【分析】本题考查了数学常识，单位换算，2400平方毫米平方厘米，1吨千克，据此逐个选项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵2400平方毫米平方厘米，∴桌面面积大约是2400平方毫米是不合适，故该选项是不符合题意； B、课桌高度大约为75厘米，故该选项是不符合题意； C、课桌长度大约为0.6米，故该选项是符合题意； D、∵1吨千克，∴课桌重量大约为1吨是不合适，故该选项是不符合题意； 故选：C 【变式3】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）某中学为每个学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生．如果表示“2015年入学的班号的同学，是位女生”，那么今年入学的班号男生的编号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数字表示事件的知识．根据各位数字表示的含义，结合题意即可作出回答． 【详解】解：根据题意可得：今年入学的1班37号男生的编号是． 故答案为：． 【题型二】河图洛书 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是 （选填“”，“”或“”）．    【答案】 【分析】本题考查有理数的加减应用，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 先根据最左边的一列三个数字和为，再利用最下面一行的数字求解即可． 【详解】解：最左边的一列三个数字和为， ∴由最下面一行数字可得右下角方框代表的数是； 故答案为： 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南通·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，即在正方形网格中填上个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一行第三列的方格中的数字为，由每行及对角线上的数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，由每行、每列上的数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设第一行第三列的方格中的数字为，如图所示， ∵每行及对角线上的数字之和都相等， ∴， 解得：， ∵每行、每列上的数字之和都相等， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则下图所示的幻方中常数a、b、c满足的等量关系为 ． 10 a b c 【答案】 【分析】本题考查了列代数式表达式，根据每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，设这个和为，则b上方的数是；10数字的正下方的数是， 则，化简得，即可作答． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等， ∴设这个和为 则b上方的数是； 10数字的正下方的数是， 则， ， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化、阴阳五行术数之源． 【思考】根据“洛书”，将数字1～9填入方格中，能获得哪些规律呢？ 【答案】格中的每一行，每一列及对角线上的三个数之和都分别相等，皆等于15 【分析】本题主要考查了数字规律探索，根据方格中的数据，找出数字间的规律即可． 【详解】答：方格中的每一行，每一列及对角线上的三个数之和都分别相等，皆等于15． 【题型三】图形与生活 【例3】（22-23七年级上·江苏镇江·期末）一个木匠有长的木材，他想用这些木材围绕花园苗床做一个护栏．他为花园苗床设计了如图所示的四种方案，其中不能实现的方案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各个图形的周长与进行比较即可得出答案． 【详解】解：A、C．两个选项中的图形相当于长为，宽为的长方形，因此其周长为，与木材的长度相同，能够实现，故A、C不符合题意； B．由于直线外一点到直线上各个点的连线中，垂线段最短，因此图中四边形的一条边长为，另一条边长大于，则四边形的周长大于，大于木材的长度，不可能实现，故B符合题意； D．图中的图形为长方形，周长为，与木材的长度相同，能够实现，故D不符合题意． 【点睛】本题主要考查了图形周长的计算，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握垂线段最短． 【举一反三】【变式1】如图：有、、三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（    ） A．户最长 B．户最长 C．户最长 D．三户一样长 【答案】D 【分析】可理解为将最左边一组电线向右、向上平移所得，由平移的性质即可得出结论． 【详解】解：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列， ∴将a向右、向上平移即可得到b、c， ∵图形的平移是全等的，即不改变图形大小和形状， ∴三户一样长． 故选：D． 【点睛】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解答此题的关键． 【变式2】（21-22七年级下·江苏南京·期中）学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，下列四种设计方案，其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等，它是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质得出修建小路后剩余草坪面积等于矩形的面积小路的面积解答． 【详解】解：A、B、D三种方案剩余草坪面积都是：（长方形的长小路的宽）长方形的宽， 而C方案剩余草坪面积比其他三种方案多减一个小长方形的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等；本题判断出阴影部分的面积与梯形的面积相等是解题的关键． 【变式3】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，在一块木板上钉上九颗钉子，每行和每列的距离都是一样的，以钉子为顶点拉上橡皮筋可以组成正方形，这样做组成的正方形的个数是（    ） A．5个 B．6个 C．4个 D．7个 【答案】B 【分析】正方形的定义即为：四条边相等且四个角都是直角的四边形，所以在该九个点中任取四个点，组成的四边形能满足定义即可． 【详解】解：如图所示，将木板上的九个点分别标号为， 一共可能组成正方形的组合有种，按照序号依次连接，即可得到正方形：①、、、；②、、、；③、、、；④、、、；⑤、、、；⑥、、、， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正方形的定义，即四条边相等且四个角都是直角的四边形，解题的关键在于不要遗漏所能构成正方形的可能情况． 【题型四】动手操作获取知识 【例4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下扔掉，剩下的图形展开后可得到（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的折叠，根据折叠的性质，逆推即可得出结果，判断即可． 【详解】解：由操作方式可知，剩下的图形展开后可得到： 故选D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）将一图形纸片对折后再对折得到如图所示的扇形，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力以及折叠的性质．掌握折叠的性质是解题关键．严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，从而进行判定即可． 【详解】根据题意知，剪去的纸片一定是一个正方形． 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）把一张长方形纸片按图所示的方式操作，可以得到的图形是（   ） A．三角形 B．梯形 C．圆 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查了折叠问题，由折叠可知所得的四边形是正方形纸片． 【详解】解：依题意，可以得到的图形是正方形 故选：D ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，在上各取一点连成的虚线，沿该虚线剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查剪纸问题，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：由于得到的图形的中间是正方形，可以得到图形： 故选：B． 【题型五】解决实际问题 【例5】（七年级上·江苏泰州·期末）小明在某月的日历上圈出相邻的三个数，算出这三个数的和是78，则这三个数的排列方式一定不可能是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】78，即圈出的三个数的平均数为26，所以这三个数不可能是纵向排列的，故选B 【举一反三】【变式1】（七年级上·江苏苏州·阶段练习）几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（    ） A．28 B．33 C．45 D．57 【答案】A 【分析】设纵列中第一个数为x，则第二个数为：x+7，第三个数为：x+14，可得三个数的和为:x+（x+7）+（x+14）=3x+21，由此式可知三数的和最少为24． 然后用排除法，再把28，33，45，57代入式子不能得整数排除． 【详解】设第一个数为x,则第二个数为x+7,第三个数为x+14,可得三个数的和=x+(x+7)+(x+14)=3x+21， A.3x+21=28，解得x不是整数，故它们的和一定不是28； B.3x+21=33，解得：x=4，故它们的和可能是33； C.3x+21=45，解得：x=8，故它们的和可能是45； D.3x+21=57，解得：x=12，故它们的和可能是57. 故选:A. 【点睛】考查一元一次方程的应用，主要是要联系实际，从实际生活中知道，日历都是按星期排列的．即纵列上，上下两行都是相差7天． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）小慧在月历上圈出四个数，并计算出它们的和为36，这四个数所在位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程在日历问题中的应用，明确日历中上下行及左右相邻数之间的关系是解题的关键．日历中的每个数都是整数且上下相邻是，左右相邻差，根据题意列方程可解． 【详解】解；A．设最小的数是x，则， 解得，不是正整数，故本选项不符合题意； B．设最小的数是x，则， 解得，不是正整数，故本选项不符合题意； C．设最小的数是x，则， 解得，故本选项符合题意； D．设最小的数是x，则， 解得：，不是正整数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； (2)当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 【答案】(1) ，， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）观察可知，方框内的数下面一行的数比上面一行的数大7，由此列出对应的式子即可； （2）根据（1）所列式子建立方程求解即可； （3）仿照（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则另三个数用含的式子表示为：，，， 故答案为，，； （2）解：根据题意，得．， 解得． ∵， ∴是第8行第1个数， ∴符合题意； （3）解：不能．理由： 假设能框住这样的个数，它们的和等于156，则 ， 解得， 因为35是第5行最后一个数， 所以不符合题意， 因而不能． 【题型六】规律探究 【例6】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在1，2，3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（    ） A．7 B．1 C．3 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，根据不能被2整除也不能被5整除的数的尾数为1，3，7，9，分为10组，进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：不能被2整除也不能被5整除的数的尾数为1，3，7，9，共分为10组， ∵， ∴每组乘积的个位数字为9， ∵，共有5个相乘， 故尾数为1； 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，经过第2025次操作后得到的是（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及绝对值， 先通过计算发现从第4次操作所得结果开始，后面的第偶数次操作的结果为，第奇数次操作的结果为，再根据规律解答即可. 【详解】解：由题知， 因为， 则第1次操作后得到的是：； 第2次操作后得到的是：； 第3次操作后得到的是：； 第4次操作后得到的是：； 第5次操作后得到的是：； 第6次操作后得到的是：； …， 由此可见，从第4次操作所得结果开始，后面的第偶数次操作的结果为，第奇数次操作的结果为， 所以第2025次操作的结果为. 故选：D. 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，，…，则第6个数应表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，分别从分子、分母和符号来分析数据的变化规律，进而得出答案．找出分子、分母和符号的变化规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意得，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方，奇数位置为负数，偶数位置为正数， ∴第6个数为：， 故答案为：． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）观察下面依次排列的两组数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2019个数分别是什么吗？ (1)，，，，，，，， ， ， ，； (2)，，，，，，，， ， ， ，． 【答案】(1)9，，，第15个数为：15，第101个数为：，第2019个数为：2019； (2)，，，第15个数为：，第101个数为：，第2019个数为：； 【分析】（1）第一组数中，序号是3的倍数的数是正数，其余数是负数，符号后面的数是从1开始的连续自然数； （2）第二组数中，偶数项是以项数为分母，1为分子的数，奇数项是在项数前加． 此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【详解】（1）解：后面的3个数依次为，，． 观察发现，若能被3整除，则第个数为，若不能被3整除，则第个数为为正整数）， 所以第15个数为15，第101个数为，第2019个数为2019． （2）后面的3个数依次为，，． 观察发现，若能被2整除，则第个数为，若不能被2整除，则第个数为为正整数）， 所以第15个数为，第101个数为，第2019个数为． 【题型七】根据图形寻找规律 【例7】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）用黑白两色棋子按如图所示方式摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形规律探索，观察示例图形，探索规律是解题的关键．由所给图形，可推出第n个图形黑色棋子的个数即可． 【详解】解：第1图形，黑色棋子有个； 第2图形，黑色棋子有个； 第3图形，黑色棋子有个； …… 第n个图形，黑色棋子个， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江西赣州·期中）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子…那么，第8个图中的棋子数是（   ） A．27 B．30 C．35 D．38 【答案】A 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，观察题图，发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多，第个图中棋子的枚数为，即可判断第个图中的棋子数．结合图形得出规律是解题的关键． 【详解】解：观察题图， 第个图中的棋子数为：， 第个图中的棋子数为：， 第个图中的棋子数为：， 第个图中的棋子数为：， …… 发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多， ∴第个图中的棋子数为：， ∴第个图中的棋子数是：． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线．切7刀最多可以将鸡蛋饼分成 块． 【答案】29 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，能根据所给图形发现鸡蛋饼被切成的最多块数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出鸡蛋饼被分成的最多块数，发现规律即可解决问题． 【详解】解∶由题知， 切1刀可将鸡蛋饼分成的块数为∶； 切2刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶； 切3刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶； …… 所以切n刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶， 当时， (块)． 即切7刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为29块； 故答案为∶29 【变式3】（2024八年级上·江苏·专题练习）请利用轴对称性，在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形： 【答案】所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1---7的数字； 【分析】本题是一道规律型的题，首先要从图中找出规律，然后再根据规律画图．同时考查了轴对称图形的性质．仔细观察会发现它们都是轴对称图形，所以在空白处再画一个轴对称图形即可． 【详解】 解：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1---7的数字，在横线上的空白处应是． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）将化成小数，则小数点后第2024个数字为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据分数化为小数的化法，然后根据循环节进行解答，找到规律根据余数进行解答是解题关键． 【详解】解：， ∴， 余数是2， ∴第个数是循环节的第二个数， 故选：B． 2．（21-22七年级上·江苏苏州·期中）下列人或物中，质量最接近1吨的是（　　） A．1000枚1元硬币 B．25名小学生 C．5000个鸡蛋 D．10辆家用轿车 【答案】B 【分析】质量单位有：吨、千克、克，本题中结合实际情况选择合适的计量单位即可判断出答案．例如：1名六年级的学生大约重40kg，求出25名学生的重量；1个鸡蛋大约50g，求出5000个鸡蛋的重量等等． 【详解】解：1吨＝1000千克， A、1元硬币1个大约6 g，1000×6 g＝6000 g＝6kg，故此选项不符合题意； B、六年级的学生体重大约40kg，25×40kg＝1000kg，故此选项符合题意； C、1个鸡蛋大约50g，5000×50g＝250000g＝250kg，故此选项不符合题意； D、1辆家用轿车大约1500kg，10×1500kg＝15000kg，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据情景选择合适的计量单位，联系生活实际、计量单位，算出这些数据的大小再选择是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将9个数分别填入如表所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列、同一斜对角线上的3个数相加，和都相等，则图中的值是（    ） 4 6 A．0 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解题意，列出等式是解答本题的关键．设其中3个方框中的数分别为a，b，c．根据题意即可列出方程组，再整理，即可解出x的值． 【详解】解：如下表，设其中3个方框中的数分别为a，b，c． 根据题意得， 解得， ∴， ， ， 故选：C a 4 c b 6 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）小明准备用一张长方形纸片，通过折叠两次的方式找到一些折痕和点，然后用直尺连线画出一个等边三角形，下面哪个图应该是他的第一次折痕（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定，垂直平分线的性质，根据用长方形纸片折出等边三角形的方法即可求解． 【详解】解：用长方形纸片折出等边三角形的方法： ①先将长方形的较长边与对折，然后展开，折痕即为，如图①； ②点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，连接，如图②； 由①可得垂直平分，由②可得， ∵垂直平分， ∴， 故， ∴是等边三角形， 故选：A． 5．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律变化类，根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可求解，通过图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据图形变化规律可知： 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， ， ∴当为奇数时，黑色正方形的个数为， 当为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第个图形中黑色正方形的数量是， 故选：． 二、填空题 6．（2023七年级上·江苏·专题练习）一个人唱《可可托海的牧羊人》需要5分40秒，全班50人合唱需要 ． 【答案】5分40秒 【分析】根据题意和数学常识求解即可． 【详解】解：50个人合唱这首歌用的时间和一人唱这首歌用的时间相同，都是5分40秒． 故答案为：5分40秒． 【点睛】此题考查了数学常识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）某学校为学生编排9位数字的考试号，从左边起第1位数字表示年级，7、8、9分别表示七、八、九三个年级，第2、3位数字表示所在的班级（班级不是两位数字的，前面补0．如3班则编号为03），第4、5位数字表示这个学生在班级序号，第6、7位数字表示该生考试时所到的班级，第8、9位数字表示座位号．如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置，则他的考试号为 ． 【答案】 【分析】根据题意逐个写出数字即可求解． 【详解】如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置，则他的考试号为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数学常识，根据题意列出数字是解题的关键． 8．（2023七年级上·江苏·专题练习）小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水；②洗菜；③准备面条及佐料；④用锅把水烧开；⑤用烧开的水煮面条和菜要．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少需要 ． 【答案】 【分析】根据题意，①单独做，在烧水时进行②③，最后⑤，总计需要． 【详解】解：根据题意，④用锅把水烧开可以和②洗菜与③准备面条及佐料同时进行， 工序为①洗锅盛水；④用锅把水烧开（同时进行②洗菜；③准备面条及佐料）；⑤用烧开的水煮面条和菜要，共需， 故答案为：． 【点睛】本题考查数学知识解决实际生活中的问题，读懂题意，统筹安排时间是解决问题的关键． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，则是第 个数． 【答案】126或140 【分析】此题考查了数字类规律题．根据已知数据找到规律，再根据规律进行解答即可． 【详解】解：分组如下：第1组为：，分母为1的有1个数， 第2组为：，，，分母为2的有3个数， 第3组为：，，，，，分母为3的有5个数， …… 观察分析可得到在这列数中，奇数项为正，偶数项为负，分母为n的数共有个， 分母为11的有21个数，分母为12的有23个数， ∴，， ∴则是分母为12的第5个数或倒数第5个数， ∴是第126或140个数． 故答案为：126或140． 三、解答题 10．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形? 试一试，画出拼成的图形． 【答案】见解析 【分析】分别将两个直角三角形纸片的斜边、两条直角边重合，即可求解． 【详解】解：可以拼成如图的6种不同形状的图形． 【点睛】本题考查平面图形的相关知识点．将两个直角三角形的斜边、两条直角边分别重合是解题关键． 11．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下面两行数，并按规律填空： ①， ，… ②， ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查规律类型题目，解题的关键在于理解题意找出题中规律． （1）根据第一行的第n个数用表示，第二行的第n个数用表示，然后分别求出第7个数即可； （2）根据（1）中的规律求得每行数的第9个数，计算这两个数的和即可． 【详解】（1）解：∵第①行中，第1个数， 第2个数， 第3个数，…， 故第n个数． 第②行数等于第①行相应的数加2； ∴第①行第7个数为：， 第②行第7个数为：； （2）解：第①行第9个数为：， 第②行第9个数为：， ∴每行数的第9个数和为： ． 12．（21-22七年级上·江苏盐城·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①1＝12；②1＋3＝22；③1＋3＋5＝32；④ ；⑤1＋3＋5＋7＋9＝52；… (2)请写出第n个等式； (3)利用（2）中的等式，计算：41＋43＋45＋…＋199． 【答案】(1)1+3+5+7=42 (2)1+3+…+（2n﹣1）＝n2 (3)9600 【分析】（1）由规律可得从1开始连续奇数的和等于加数个数的平方，由此可得到答案； （2）由小问1可知第n个等式为从1开始连续n个奇数的和，由此可知答案； （3）首先将原式改写成（1+3+5+…+199）-（1+3+5+…+39），然后利用（2）中的结论即可得到答案． 【详解】（1）由题意知，第四项为1+3+5+7=16=，故答案为； （2）由图形知： 1=2×1-1=； 1+3=1+（2×2-1）= …… 第n个等式为1+3+5+…+（2n-1）== 故答案为1+3+5+…+（2n-1）= （3）41＋43＋45＋…＋199 =（1+3+5+…+199）-（1+3+5+…+39） =[1+3+5+…+（2×100-1）]-[1+3+5+…+（2×20-1）] = =9600 【点睛】本题考查了数字之间的规律，仔细观察图形、发现其中规律是本题的解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$