精品解析：辽宁省沈阳市第一二O中学实验学校2024-2025学年下学期七年级数学期中考试卷

沈阳市第一二○中学实验学校综合素质调研（二） 七年级数学学科 时间：120分钟 满分：120分 学生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在试卷上作答无效． 一、单选题（每题3分，共计30分） 1. “世上所传枯枝牡丹，淮南便仓最多．”千年古镇便仓的枯枝牡丹闻名遐迹．牡丹花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 春风吹又生 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，，，当（ ）时，． A. B. C. D. 6. 如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分面积关系得到的等式是（ ） A. B. C D. 7. 在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 18或20 9. 如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 3.5 10. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是__________． 12. 某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是_____． 13. 若关于的多项式展开后不含有一次项，则常数项的值是________． 14. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为__________．     15. 如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为_______ 三、解答题（16-23，共计75分，） 16. 计算： （1） （2）计算 （3）（用乘法公式计算） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： （1）直接写出向上一面的数字是6的概率是_____，直接写出向上一面的数字是的概率是_____； （2）向上一面的数字是2的倍数或3的倍数．（写过程） 19. 如图，直线和被直线所截． （1）如图，平分，平分，则当与满足 时，； （2）如图，平分，平分，则当与满足 时，； （3）如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 20. 如图，已知中，为边上的中线． （1）请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 21. 【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 22. 直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）． （1）如图1，已知、分别是和的角平分线， ①当时，求的度数； ②点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出的大小； （2）如图2，将沿所在直线折叠，点落在点处，折痕与交于点，连接、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，请求出的度数． 23. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． （2）如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第一二○中学实验学校综合素质调研（二） 七年级数学学科 时间：120分钟 满分：120分 学生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在试卷上作答无效． 一、单选题（每题3分，共计30分） 1. “世上所传枯枝牡丹，淮南便仓最多．”千年古镇便仓的枯枝牡丹闻名遐迹．牡丹花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 春风吹又生 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件、必然事件、随机事件． 不可能事件是不可能发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件．据此逐一判断即可 ． 【详解】解：A选项：水中捞月是不可能事件，故A选项符合题意； B选项：春风吹又生是必然事件，故B选项不符合题意； C选项：举头望明月是随机事件，故C选项不符合题意； D选项：鱼戏莲叶东是随机事件，故D选项不符合题意． 故选：A ． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式运算熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项不符合题意； D．，故该选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、是边上的高，故此选项符合题意； C、不是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图所示，，，当（ ）时，． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，角的和差计算，掌握平行线的几种判定方法是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，则当时，，得到，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 即， 解得：， 故选：B． 6. 如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形，掌握数形结合思想成为解题的关键． 分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等列式即可解答． 【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：， 图乙中阴影部分的面积为：， 所以． 故选：A． 7. 在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过的顶点作直线，将分成和，则，由平行线的性质得出，，即可得解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线，将分成和， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 8. 等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 18或20 【答案】B 【解析】 【分析】因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论；本题考查了等腰三角形的定义，属于基础题型，明确题意、正确分类求解是关键． 【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8， 此时4、8、8可以构成三角形， 则 ∴这个等腰三角形的周长为为20； ②当4为腰时，其它两边为4和8， ∵， ∴不能构成三角形，故舍去． 故选B． 9. 如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，求直角三角形的面积，当垂直时，的最小值，根据即可求出答案． 【详解】解：当垂直时，的最小值， ， ， 即， ， 故选：B． 10. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．先证明，再由全等三角形的性质可得对应角，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 在和中， ， ， ， 则． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是__________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 12. 某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是_____． 【答案】200205 【解析】 【分析】本题主要考查探究数字变化规律方法及单项式除以单项式．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则正确运算是解决问题的关键．观察上面两个式子可以知道，先进行整式运算，再把所得结果中x、y、z的指数依次排列，若是个位数就在前面加上0，就可以得到密码． 【详解】解：观察上面两个式子可以知道，先进行整式运算，再把所得结果中x、y、z的指数依次排列，若是个位数就在前面加上0，就可以得到密码． ， ∴他输入的密码是200205． 故答案为：200205． 13. 若关于的多项式展开后不含有一次项，则常数项的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据展开后不含有一次项，即含一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的多项式展开后不含有一次项， ∴， ∴， ∴常数项的值是 故答案为：． 14. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为__________．     【答案】1或7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 分和两种情况分别根据全等三角形判定定理以及行程问题解答即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴，， 若，则当时， 根据可得， ∴，解得； 若，则当时， 根据可得， ∴，解得：． 综上，当和全等时，t的值为1或7． 故答案为：1或7． 15. 如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由四边形为长方形，利用平行线的性质可得出和，再结合图2中及图3中，即可求出． 【详解】图1中，∵四边形为长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴图2中，， ∴图3中，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（16-23，共计75分，） 16. 计算： （1） （2）计算 （3）（用乘法公式计算） 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、实数的混合运算、平方差公式的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先根据幂的乘方、积的乘方化简，然后运用同底数幂相乘的运算法则计算，最后合并同类项即可； （2）先运用乘方、零次幂、负整数次幂、绝对值化简，然后再计算即可； （3）先变形原式，然后运用平方差公式进行简便运算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算单项式除以单项式得到化简的结果，把、再代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18. 如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： （1）直接写出向上一面的数字是6的概率是_____，直接写出向上一面的数字是的概率是_____； （2）向上一面的数字是2的倍数或3的倍数．（写过程） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了运用概率公式求概率，求出所有等可能结果数和满足题意的结果数成为解题的关键． （1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是2的倍数或3的倍数有14个，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：投掷质地均匀的正二十面体形状的骰子，一共有20个面，每个面出现的可能性相同． 向上一面的数字是“5”的共有5个面，上一面的数字是“6”的共有个面， ∴向上一面数字是“5”的概率是；向上一面的数字是“6”的概率是． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的数字是2、3、4、6，一共有种等可能结果，所以向上一面的数字是2的倍数或3的倍数得概率为． 19. 如图，直线和被直线所截． （1）如图，平分，平分，则当与满足 时，； （2）如图，平分，平分，则当与满足 时，； （3）如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【小问1详解】 解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． 【小问2详解】 解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 【小问3详解】 解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 20. 如图，已知中，为边上的中线． （1）请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 【答案】（1）见解析 （2）；；2；1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的三边关系，尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质得到，，然后在由三边关系求出 ，即可求出线段的取值范围． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：为边上的中线， ． 在和中 ， ， ． 在中，， ． ， ． 故答案为：；；2；1． 21. 【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 【答案】教材呈现：；活动内容：（1），理由见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键． 教材呈现：先用大小正方形的面积差表示第一个图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二个图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可； 活动内容：（1）根据大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可； （2）用及求得，再由求得，进而由平方差公式求得结果． 【详解】解：教材呈现：第一个图的阴影部分面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， ∴重要的结论为：， 故答案为：； 活动内容：（1），理由如下： ，或， ， ， ； （2）由题意知：， ， ， ， ， ， ． 22. 直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）． （1）如图1，已知、分别是和的角平分线， ①当时，求的度数； ②点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出的大小； （2）如图2，将沿所在直线折叠，点落在的点处，折痕与交于点，连接、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，请求出的度数． 【答案】（1）①，②大小发生变化，随着的增大而减小 （2）或． 【解析】 【分析】（1）①根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理，即可求解； ②同①的方法根据三角形的内角和定理求得，即可求解． （2）连接，根据三角形的角平分线交于一点可得是的角平分线，进而根据题意分类讨论，求得，根据角平分线的定义，以及折叠的性质，即可求解． 小问1详解】 解：①∵于点， ∴， ∵，、分别是和的角平分线， ∴ ∴ ②∵于点， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴ ∴ ∴随着的增大而减小； 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， ∴ ∴， ∴ 连接，如图所示， ∵三角形的三条角平分线交于一点， ∴是的角平分线， ∵折叠， ∴是的角平分线， ①当时，则， ∵ ∴，故此情形不存在，同理可得不存在 ②当时， 则， ∴， ∴， ③当， 则， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形角平分线的应用，折叠的性质，分类讨论是解题的关键． 23. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． （2）如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 【答案】（1），； （2）①证明见解析；②4 【解析】 【分析】（1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出； ②利用①中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1中， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①和均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ； ②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $