第二章 直线和圆的方程单元综合测试-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第二章 直线和圆的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．﹣2 5．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 6．直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，动直线，则下列结论错误的有（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为 B．存在实数k，使得与没有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 10．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 11．已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 ． 13．若直线始终平分圆，则的最小值为 ． 14．已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 16．（15分） 已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 17．（15分） 已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得方程为. 故选：C. 2．两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】平行直线和之间的距离. 故选：A 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 4．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．﹣2 【答案】C 【解析】圆与直线与相交于A，B两点，且． 则圆心到直线的距离， 利用垂径定理得，所以，解得． 故选：C． 5．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 6．直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D 7．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线恒过点， 由，得， 所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示， 由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点， 因为，，所以， 因为直线与半圆相切，所以，解得， 所以， 故选：B 8．已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，则圆心为，半径， 因为，在中，， 所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径， 又直线上存在点， 所以直线与有交点，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，动直线，则下列结论错误的有（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为 B．存在实数k，使得与没有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，的方程为，故倾斜角是，A错误； 对于B，两直线总有公共点，B错误； 对于C，当时，两直线的方程都是，故重合，C错误； 对于D，由于，故两直线不垂直，D正确. 故选：ABC. 10．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 【答案】ACD 【解析】由， 则，得，即恒过定点， 由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确； 令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误； 点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则， 所以，可得，故直线为，故D正确． 故选：ACD． 11．已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】 对于A，由于，，故直线的方程为. 当的坐标是时，点到直线的距离，故A错误； 对于B，满足的全部点即为以为直径的圆和的公共点，而的中点为，. 故以为直径的圆的方程为，即. 联立并等价变形为，由于点到直线的距离，所以直线和圆有两个不同的交点，从而满足条件的点有2个，故B正确； 对于C，设是圆外一点，熟知关于圆的两条切线的切点确定的直线的方程是，若在直线即直线上，则，即. 所以直线即直线恒过点，C正确； 对于D，设点，，则由点在圆上，知. 所以，故. 从而. 当时，在上，且. 所以的最小值是，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 ． 【答案】 【解析】由圆C与两坐标轴都相切，且圆心在第二象限，设，圆C的半径为， 又圆C与直线相切，则，解得，即， 所以圆C的方程为. 故答案为： 13．若直线始终平分圆，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 故圆心， 由题意得在上，代入得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 故答案为： 14．已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为 . 【答案】 【解析】由直线方程可知， 联立，解得，则该直线过定点， 因为点在直线上的射影为，且， 所以的轨迹为以为直径的圆，圆的方程为， 所以圆心为，， 因为，所以，则， 因此长度的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 【解析】（1）由可得，，解得. 此时，，有，故； （2）由可得，解得，. 此时，，有，故. 16．（15分） 已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【解析】（1）由整理得，， 令，解得，即直线经过定点. 不妨设直线的方程为，则有（*） 由（*）和基本不等式可得，，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，的最小值为12； （2）因，由（1）得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故当时，取得最小值. 17．（15分） 已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）变形为， ，，，故直线恒过． 又，在圆内，直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． （2）设圆心到直线l的距离为d，则，． 则，． 故． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设，，，， ，轨迹C是以为圆心，为半径的圆． （2）对于，满足，故在圆C内， 当时，存在弦PQ被点G平分； ，， 则， 当G，C，M三点共线，且C在GM中间位置时，面积最大， 面积最大为． 19．（17分） 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【解析】（1）设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， ①若，则直线斜率不存在， 则，，则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； ②设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$