1.5.1 有理数的乘法 教学设计 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

第1章 有理数 1.5 有理数的乘法和除法 1.5.1 有理数的乘法 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是湘教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第一章“有理数”第1.5.1节“有理数的乘法”，主要内容包括：通过乘法分配律推导有理数的乘法法则（同号得正、异号得负、绝对值相乘），理解乘法交换律与结合律在有理数运算中的应用，掌握多个有理数连乘时符号的确定规则（奇负偶正）。 2. 内容解析 学生在小学已掌握非负数的乘法运算及分配律，本章将数系扩充到有理数后，需建立负数的乘法规则。本节课的核心是以分配律为逻辑起点，通过数学推理导出有理数乘法法则，并验证运算律的普适性。这一过程不仅巩固运算技能，更为后续学习有理数除法、乘方及代数式运算奠定基础。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 经历从分配律推导有理数乘法法则的过程，理解法则的合理性，能正确计算有理数的乘法。 (2) 通过计算实例归纳多个有理数连乘的符号规律（奇负偶正），提升符号意识和推理能力。 (3) 灵活运用乘法交换律、结合律简化运算，发展运算能力和策略优化意识。 2. 目标解析 达成目标（1）的标志是学生能独立说明“负负得正”的推导逻辑（如 源于分配律），并准确计算含整数、分数、小数的乘法。目标（2）要求学生能根据负数个数快速判断积的符号。目标（3）体现在能重组算式（如凑整、约分）简化复杂运算，体现算法优化思想。 三、教学问题诊断分析 1. 符号规则混淆：学生易将加法规则（同号相加取原符号）迁移到乘法，错误认为“负数乘负数得负数”。 1. 分配律应用错误：计算 时可能忽略符号，写成 而未将减法转化为加法（即 ）。 1. 多个因数符号判断遗漏：连乘时可能漏数负数个数或忽略“0”的存在。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 某水库水位每天下降3厘米，若水位变化记为负数，则3天后的水位变化如何表示？（列式：） 问题2 若水位每天“上升”记为负（如逆常规），那么3天前的水位比现在高还是低？列式说明。（提示：） 问题3 利用分配律计算：。若要求分配律对所有有理数成立， 应如何规定？ 设计意图： 通过生活实例（水位变化）抽象数学问题，引发认知冲突（负负运算），自然导向分配律的桥梁作用。对应目标（1），培养学生数学建模和逻辑推理能力。 （二）合作探究1 探究1 如何利用分配律说明 ？ 答：设 。 由分配律：， 因此 是 的相反数，即 。 追问：由此能否总结有理数乘法法则？ （三）巩固练习1 1. 计算： · (1) (2) · 答案： · (1) （异号得负） (2) （同号得正） 1. 填空：若 ，则 ____（需异号得负，故 ）。 · 答案： （四）合作探究2 探究2 计算： ① ② 答： ① 先算 ，再算 ； ② 连乘三个 得 。 猜想：多个非零有理数相乘，积的符号由什么决定？ 验证：完成表格： 算式 负数个数 积的符号 结果 1个 负 2个 正 3个 负 4个 正 结论：负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正，绝对值均为因数绝对值的积。 探究3 如何证明乘法交换律 在有理数中成立？ 分析：分类讨论（正正、正负、负负），以 与 为例，结果均为 ，推广到一般形式。 设计意图： 通过实例归纳符号规律，强化抽象概括能力；通过特例验证运算律，体会数学的严谨性。对应目标（2）（3）。 （五）典例分析 例1 计算： (1) (2) 解： (1) 先化减法为加法： (2) 先定符号（3个负数 → 负），再算绝对值： 原式 设计意图： 综合训练分配律应用及连乘符号判断，强化运算策略选择（先转化、先定号）。对应目标（1）（3）。 （六）巩固练习 1. 计算： · 解： 1. 连乘符号判断：下列积为正数的是（ ） · A. B. · C. D. · 答：D（2个负数） 1. 简便计算： · 解： 设计意图： 分层训练基础运算、符号判断及简算能力，强化算法优化意识。对应目标（2）（3）。 （七）归纳总结 知识点 法则/律 关键要点 乘法法则 同号得正，异号得负 绝对值相乘 多个因数连乘 奇负偶正 含0时积为0 乘法交换律 简化计算顺序 乘法结合律 重组因数优化计算 分配律 化加减为乘法 （八）感受中考 1. (2024·陕西) 计算： ____。 · 答案：（2个负数 → 正） 1. (2023·江苏) 若 ，，则 的符号为（ ）。 · A. 正 B. 负 C. 0 D. 无法确定 · 解析：由 知 同号；由 知 异号，故 异号，积为负。选B。 1. (2024·湖北) 简便计算：。 · 解： 1. (2023·浙江) 若 ，，则 ____。 · 解析： 或 ，积为 或 。 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （九）小结梳理 核心概念 关联性说明 分配律 → 推导乘法法则的基础 符号规则 → 连乘符号由负因数个数决定 运算律 → 交换律、结合律提升计算效率 实际应用 → 水位变化、债务模型等量化描述 （十）布置作业 必做题： 1. 计算： · (1) · (2) · (3) 选做题： 1. 研究规律： · (1) ____ · (2) ____ · (3) 猜想 的结果（ 为正整数），并验证 时的值。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$