四川省成都东部新区养马高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

1 成都东部新区养马高级中学 2024-2025 学年度（下） 高 2023 级 6 月月考 数学 试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分。第 I卷(选择题)1至 2页,第 II卷(非选择题)3至 4页, 共 4页,满分 150分,考试时间 120分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、班级填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只将答题卡交回。 第 I卷（选择题,共 58 分） 一、选择题:本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1． 8 3 1x x      的展开式中常数项为( ) A. 56 B. 28 C.28 D.56 2．某地气象局统计，当地某日刮风的概率为 4 5 ，既刮风又下雨的概率为 1 2 ，则该地在刮风 天里，下雨的概率为（ ） A． 3 4 B． 5 8 C． 2 3 D． 12 3．已知函数   2 sinf x x x  ，则  f x 在点  0,0P 处的切线的斜率为（ ） A．3 B．2 C．1 D． 1 4. nS 为等差数列 na 的前 n项和，已知 3 11a  ， 10 60S  ，则 5a （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．2024年世界园艺博览会在成都举行，展会期间需要志愿者开展服务活动，其中有 5名志 愿者全部被安排到 3家参展商开展服务活动，每家参展商至少有 1名志愿者，则 5名志愿者 不同的安排方法有（ ） A．150种 B．250种 C．300种 D．540种 2 6.已知  f x 是定义域为 4,6 的函数  f x 的导函数，  f x 的图象如图所示，且  f x 有 3个零 点，则下列结论正确的是（ ） A．  f x 在[-4,0]单调递增 B．  f x 有 3个极大值点 C．  2 0f  D．    4 , 6f f 可以同时小于 0 7．已知数列 na 满足 1 4a  ,且 1 2 3n na a   ,则 211a  ( ) A. 2102 3 B. 2102 3 C. 2112 1 D. 2112 3 8．过双曲线 2 2 1 4 12 x y   的右支上一点 P，分别向 2 21 : ( 4) 3C x y   和 2 2 2 : ( 4) 1C x y   作切线，切点分别为M，N，则  PM PN NM   的最小值为( ) A.28 B.30 C.31 D.32 二、多项选择题:本大题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求.全部选对得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分. 9．设离散型随机变量 X的分布列为 X 2 3 4 P 0.3 0.4 m 若 3 2Y X  ,则( ) A.   3E X  B.   0.8D X  C.   9E Y  D.   5.4D Y  10.如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 E，F分别为棱 1DD ， 1 1C D 的中点， 则下列说法正确的是( ) A. 1 //BC AE B.三棱锥 1 1C BB D 的体积为 4 3 C.直线 AF 与直线 BE所成角的余弦值为 4 9 D.直线 1BB 与平面 1BDC 所成角的正弦值为 2 2 3 11.已知二项式  3 nx x 的展开式中共有 7项，则下列说法正确的有（ ） A． n为 7 B．所有项的二项式系数和为 64 C．二项式系数最大的项为第 4项 D．没有常数项 第 II 卷（非选择题,共 92 分） 3 三、填空题:本大题共 3小题,每小题 5分,共 15分.把答案填在答题卡上. 12．若等比数列  na n N 满足: 3 5 10a a  , 6 8 80a a  ,则数列 na 的公比 q  ________. 13．公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂 4棵桂花树,垂乳银杏、金带银 杏 2棵银杏树,要求 2棵银杏树必须相邻,则种植方法共有______种. 14．已知直线 3: 0 2 l x ky   ,圆 2 2 2: 4 0C x y x y    ,若直线 l与圆 C交于 M,N两点,则 MN 的取值范围为________________. 四、解答题:本大题共 5小题,共 77分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本大题满分 13 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PD 底面 ABCD，点 E在棱PB上. (1)求证：平面 AEC 平面 PDB； (2)当 2PD AB ，且 E为 PB的中点时，求 AE与平面PDB所成的角的大小. 16.（本大题满分 15分） 已知数列 na 的前 n项的和为 , 2 3n n nS S a n   . (I)求出数列 na 的通项公式; (Ⅱ)数列 nb 的通项公式为 bn=2n,求出数列 n nb a 的前 n项和 nT . 17.（本大题满分 15分） 为宣扬中国文化,某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选 手都需要回答 3个问题,答对其中至少 2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰;第二阶段分高分 组、和低分组,第一阶段 3个问题都答对的选手进入高分组,共回答 4个问题,每答对一个得 20 分,答错不得分;第一阶段答对 2个问题的选手进入低分组,共回答 4个问题,每答对一个得 10 分,答错不得分.第一阶段,每个问题选手甲答对的概率都是 2 3 ;第二阶段,若选手甲进入高分组, 4 每个问题答对的概率都是 1 4 ,若选手甲进入低分组,每个问题答对的概率都是 1 2 . （1）求选手甲第一阶段不被淘汰的概率; （2）求选手甲在该次比赛得分数为 40分的概率; （3）已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中得分数为 X,求随机变量 X的 分布列和期望值. 18.（本大题满分 17 分） 已知 (0,3)A 和 33, 2 P      为椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     上两点. （1）求 C的离心率； （2）若过 P的直线 l交 C于另一点 B，且 ABP△ 的面积为 9，求 l的方程. 19.（本大题满分 17 分） 已知 aR ，函数    ln 1 2 2f x a x x    ，   2 e cosxg x x x   . (1)当 0a  时，讨论函数  f x 的单调性； (2)证明：函数  g x 存在两个零点； (3)当 1x   时，不等式    0g f x  恒成立，求 a的取值范围. 5 《成都东部新区养马高级中学 2024-2025 学年度（下） 高 2023 级 6 月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A A C B B 题号 9 10 11 答案 AD BC BCD 1．答案：C 解析： 8 3 1x x      展开式的通项为:      83 24 41 8 81C 1 C 0 8, k k kk k k kT x x k kx                 N , 由 24 4 0k  可得 6k  , 因此,展开式中的常数项为  6 681 C 28  . 故选:C. 2．B 【分析】利用条件概率公式求解 【详解】解：记事件 A为“当地某日刮风”，事件 B为“当地某日下雨”，则由题意可得 4 1( ) , ( ) 5 2 P A P AB  , 所以 ( )P B A  1 ( ) 52 4( ) 8 5 P AB P A    , 所以该地在刮风天里，下雨的概率为 5 8 ， 故选：B 3．C 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】   2 cosf x x x   ，则  0 1f   ， 即  f x 在点  0,0P 处的切线的斜率为1. 故选：C. 4．A 【详解】设等差数列 na 的公差为 d，由题意建立方程，即可求出 1a ，d，再根据等差数列的通项公式， 即可求出结果． 【分析】设等差数列 na 的公差为 d，由题意可知 1 1 2 11       10 45 60 a d a d      ，解得 1 15a  ， 2d   ， 所以 5 1 4 15 8 7a a d     ． 6 故选：A 5．A 【分析】先将 5名志愿者分成 3组，一是 1，1，3，二是 1，2，2，再分配到 3家参展商即可. 【详解】先将 5名志愿者分成 3组，再分配到 3家参展商， 故不同的安排方式共有 2 2 3 3 35 3 5 3 32 2 C CC A A 150 A    种. 故选：A. 6.C 7.答案：B 解析：因为 1 2 3n na a   ,所以  1 3 32n na a   . 因为 1 3 1a   ,所以数列 3na  是首项为 1,公比为 2的等比数列, 所以 13 2nna   ,所以 12 3nna   , 故 210211 2 3a   . 故选:B 8．答案：B 解析：由双曲线方程 2 2 1 4 12 x y   可知： 2a  ， 2 3b  ， 2 2 4c a b   可知双曲线方程的左、右焦点分别为  1 4,0F  ，  2 4,0F ， 圆  2 21 : 4 3C x y   的圆心为  1 4,0C  （即 1F），半径为 1 3r  ； 圆  2 22 : 4 1C x y   的圆心为  2 4,0C （即 2F ），半径为 2 1r  . 连接 1PF， 2PF ， 1FM， 2F N，则 1MF PM ， 2NF PN 可得          2 2 2 22 21 1 2 2PM PN NM PM PN PM PN PM PN PF r PF r                           2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 23 1 2 2PF PF PF PF PF PF PF PF             1 22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 30a PF PF a c            ， 7 当且仅当 P 为双曲线的右顶点时，取得等号，即  PM PN NM   的最小值为 30. 故选：B. 9．答案：AD 解析：对于 A、B项,由表格可得0.3 0.4 1m   ,所以 0.3m  . 则   2 0.3 3 0.4 4 0.3 3E X        ,        2 2 22 3 0.3 3 3 0.4 4 3 0.3 0.6D X           .故 A正确,B错误; 对于 C、D项,因为 3 2Y X  ,   3E X  ,   0.6D X  , 所以,    3 2 3 3 2 7E Y E X      ,    23 5.4D Y D X  .故 C错误,D正确. 故选:AD. 10.答案：BC 解析：在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 (0,0,0)D ， (2,0,0)A ， (2, 2,0)B ， 1(2, 2, 2)B ， 1(0, 2, 2)C ， (0,0,1)E ， (0,1, 2)F 对于 A， 1 ( 2,0,2)BC    ， ( 2,0,1)AE    显然 1BC  与 AE  不共线，因此 1BC 与 AE不平行，A错误； 对于 B，三棱锥 1 1C BB D 的体积 1 1 1 1 1 1 1 1 1 42 2 2 3 3 2 3C BB D D BB C BB C V V S DC         △ ，B正 确； 对于 C， ( 2,1, 2)AF    ， ( 2, 2,1)BE     ， 4 4cos , 3 3 9| || | AF BEAF BE AF BE             ， 因此直线 AF 与直线 BE所成角的余弦值为 4 9 ，C正确； 8 对于 D， (2, 2,0)DB   ， 1 (0,2,2)DC   ， 令平面 1BDC 的法向量 ( , , )n x y z  ， 则 1 2 2 0 2 2 0 n DB x y n DC y z             令 1x  ，得 (1, 1,1)n    ，令直线 1BB 与平面 1BDC 所成的角为 ， 而 1 (0,0,2)BB   ， 因此 11 1 | | 2 3sin | cos , | 3| || | 3 2 n BBn BB n BB              ，D错误. 故选：BC 11.BCD 【分析】根据二项式展开式的特征求出 n，即可判断 A，再由二项式系数和为 2n，可判断 B，由二项式系 数的特征可判断 C，写出展开式的通项，即可判断 D. 【详解】对 A,因为二项式  3 nx x 的展开式中共有 7项，所以 1 7n  ，即 6n  ，故 A错误； 对 B,二项式  63x x 中，所有项的二项式系数和为 62 64 ，故 B正确； 对 C,因为二项式  63x x 的展开式中共有 7项，所以二项式系数最大的项为第 4项，故 C正确； 对 D,二项式  63x x 的通项为      66 6 21 6 6C 3 C 3 0 6, N kkkk k k kT x x x k k         ， 令6 0 2 k   ，得 12k  ，不满足题意，故 D正确. 故选：BCD. 12．答案：2 解析：因为等比数列  na n N 满足: 3 5 10a a  , 6 8 80a a  , 则  3 36 8 3 5 10 80a a q a a q     ,解得 2q  . 故答案为:2. 13．答案：240 解析：由题意,把两棵银杏树看出一个元素,共有 22A 2 种不同的排法, 则四棵桂花树和两棵银杏树的整体,共有 5个不用的元素,共有 55A 120 中不同的排列, 所以两棵银杏树必须相邻,共有 2 52 5A A 2 120 240   种不同的排法, 故答案为 240种. 14．答案： 3,2 5   9 解析：直线 3: 0 2 l x ky   过定点 3 ,0 2 M      , 圆 C的标准方程为    2 21 2 5x y    ,所以圆心为  1, 2C  ,半径为 5 , 因为   2 23 171 0 2 5 2 2 CM           ,所以点 M在圆 C内, 所以直线 l与圆 C相交, 设圆心 C到直线 l的距离为 d,当CM与直线 l垂直的时候 d最大,所以 170 2 d  , 则 22 5 3,2 5MN d       . 故答案为： 3,2 5   . 15．答案：(1)证明见解析 (2) 45 解析：（1）设 AC BD O ，连接EO，如图： 四边形 ABCD是正方形，所以 AC BD . 因为 PD 底面 ABCD， AC 底面 ABCD，所以 PD AC . 又 PD BD D ， ,PD BD 平面 PDB，所以 AC 平面PDB . 因为 AC 平面 AEC，所以平面 AEC 平面 PDB . （2）由 ( 1 )知 AC 平面PDB于 O， AEO 为 AE与平面 PDB所的角， O，E分别为DB、PB的中点， 10 //OE PD ， 1 2 OE PD ， 又 PD  底面 ABCD， OE 底面 ABCD， AO 底面 ABCD，OE AO ， 在Rt AOE△ 中， 1 2 2 2 OE PD AB AO   ， 45AEO  ，即 AE与平面PDB所成的角的大小为 45 . 16．答案：(Ⅰ) 12 1,nna n    N (Ⅱ) 1( 1) 2 2 ( 1),nnB n n n n         N 解析：(Ⅰ) 2 3n nS a n   ,① 当 1n  时, 1 1 12 1 3, 2a a a     . 当 2n  时, 1 12 ( 1) 3n nS a n     ,② ①-②得 12 1n na a   , 则  11 2 1n na a    ,即数列 1na  是首项为 1,公比为 2的等比数列, 则 11 2nna   , 数列 na 的通项公式为 12 1,nna n   N . (Ⅱ) 2 ,nb n n  N , ∴数列 n nb a 的通项公式为 2 2 ,nn nb a n n n      N . 令 21 2 2 2 2nnA n       , 2 3 12 1 2 2 2 ( 1) 2 2n nnA n n           , 则  2 32 2 2 2 2 nn n nA A A n          1 12 ( 1) 2 2n nn     . 又 2 2 2 2 3 2 ( 1)n n n        , 1( 1) 2 2 ( 1),nnB n n n n         N . 17．答案：（1） 20 27 （2） 13 144 （3）分布列见解析,20 解析：（1）选手甲第一阶段不被淘汰,即甲回答三个问题答对其中 2个或 3个,其概率为: 2 3 2 1 3 2 1 2 20C 3 3 3 27 p                    ; （2）选手甲在该次比赛得分数为 40分有两种情况:进入高分组,答对 2个问题;进入低分组,答 11 对 4个问题.故概率为: 2 4 3 2 2 2 2 2 3 4 2 1 1 2 3 1 13C C 3 3 2 3 4 4 144 p                                   ; （3）X的可能取值有 0,20,40,60,80,   4 0 4 3 810 C 4 256 P X        ,   3 1 1 4 3 1 10820 C 4 4 256 P X              ,   2 2 2 4 3 1 5440 C 4 4 256 P X              ,   3 3 4 3 1 1260 C 4 4 256 P X           ,   4 4 4 1 180 C 4 256 P X        , 所以分布列为: X 0 20 40 60 80 P 81 256 108 256 54 256 12 256 1 256 所以   120 4 20 4 E X     . 18．答案：（1） 1 2 （2） 1 2 y x 或 3 3 2 y x  解析：（1）将 (0,3)A ， 33, 2 P      代入椭圆方程 2 2 2 2 1 x y a b   得 2 2 2 9 1, 9 9 1, 4 b a b        解得 2 2 12, 9, a b     所以椭圆的离心率 2 2 11 2 be a    . （2）当直线 l的斜率不存在时， : 3l x  ， 此时 1 93 3 2 2ABP S    △ ，不符合题意. 当直线 l的斜率存在时，设 3: ( 3) 2 l y k x   ， 联立 2 2 3( 3) , 2 1, 12 9 y k x x y          消去 y整理得    2 2 2 23 4 12 24 36 36 27 0k x k k x k k       ， 设  1 1,P x y ，  2 2,B x y ，则 2 1 2 2 24 12 3 4 k kx x k     ， 2 1 2 2 36 36 27 3 4 k kx x k     ， 12  22 21 2 1 2 2 6 | 2 3 || | 1 4 1 3 4 kBP k x x x x k k            ， 又点 A到直线 l的距离 2 3 3 2 1 k d k    ， 2 2 2 3 3 1 1 6 | 2 3 | 2| | 1 9 2 2 3 4 1 ABP k kS BP d k k k              △ ， 解得 1 2 k  或 3 2 k  ， 直线 l的方程为 1 2 y x 或 3 3 2 y x  . 19．答案：(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 0,2e 解析：（1）函数  f x 的定义域为  1,  ， 又    2 12 1 1 a xaf x x x        ， 当 0a  时，   0f x  ，故函数  f x 在区间  1,  上单调递减； 当 0a  时，令   0f x  ，解得 1 2 ax   ， 当 x变化时，  f x ，  f x 的变化情况如下表所示： x 1, 1 2 a      1 2 a  1, 2 a       f x + 0 -  f x 单调递增 ln 2 aa a 单调递减 故当 0a  时，函数  f x 在区间 1, 1 2 a      上单调递增， 在区间 1, 2 a      上单调递减； 当 0a  时，函数  f x 在区间  1,  上单调递减. 13 （2）证明：由   2 e cosxg x x x   ，则   2 e sinxg x x    ， 当 0x  时， sin 1x  ， e 1x  ，且等号不同时成立，则   0g x  ； 当 0x  时， 1 cos 1x   ， e 1x  ，故 e cos 0x x  ， 设     2 e sinxh x g x x    ，则   e cos 0xh x x    ， 故函数  g x 在区间  0, 上单调递减， 又  0 1g  ，   11 2 e sin1 0g     ， 故存在  0 0,1x  使得  0 0g x  ， 当 00 x x  时，   0g x  ，当 0x x 时，   0g x  故函数  g x 在  0, x 上单调递增，在  0 ,x  上单调递减， 又   00 2 0 e cos0 0g      ，  0 0g x  ，   π 3π 2π e cos π 2π e 1 0g        ， 存在  1 0 , πx x ，使得  1 0g x  ，故函数  g x 存在两个零点. （3）设  u f x ，  y g u ， 由（2）可得函数  y g u 的图象如图所示： 当 0a  时，因为 1x   ，    2 2 2 1 2 0f x x         ， 则    0 0g u g  ，即    0g f x  恒成立； 当 0a  时，函数  f x 在区间  1,  上单调递减， 又  0 2 0f    ，当 1x 时，  f x ， 存在  2 1,0x   ，使得  2 0f x  ，当  21,x x  时，   0u f x  ， 故存在  10,u u ，使   0g u  ，即    0g f x  ，与题设矛盾； 当 0a  时，函数  u f x 的极大值为 1 ln 2 2 a af a a       ，即 ln 2 au a a  ， 当 ln 0 2 aa a  时，即当0 2ea  时， 0u  ， 14 故   0g u  ，即    0g f x  恒成立， 当 ln 0 2 aa a  时，即 2ea  时，存在  10,u u ， 使   0g u  ，即    0g f x  ，与题设矛盾. 综上，实数 a的取值范围为 0,2e .