专题19.4 实数与数轴 实数的运算（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题19.4 实数与数轴 实数的运算 教学目标 1. 体验教材确定一个无理数可以对应数轴上的一个点的过程； 2. 会用数轴上的点表示无理数； 3. 实数的绝对值与大小比较； 4. 知道科学计数法的表示； 5. 学会实数的运算。 教学重难点 1.重点 （1）实数与数轴上的点一一对应； （2）几何法：用数轴上的点表示无理数。用数轴上的点表示无理数的大致位置； （3）实数的运算与大小比较。 2.难点 （1）用数轴上的点表示无理数的应用； （2）代数、几何的相辅相成； 知识点1 用数轴上的点表示实数 1.引入：我们知道，每一个有理数都可以对应数轴上的一个点，那么一个无理数可以对应数轴上的一个点吗? 能用数轴上的一个点对应表示吗? 利用计算机技术可以求出=1.414213562373095048801688724209 698078569671875376948073176679…,其值在有理数1～2之间，进一步在1.4～1.5之间，1.41～1.42之间， ……(如表19-1所示). 在数轴上，以上面各对有理数所对应的点为端点的线段的长度依次为1、0.1、0.01、 …,这些线段的长度越来越小，最终收缩为一点， 这个点就是数轴上与对应的唯一的一个点. 2.用数轴上的点表示实数 以上是教材用极限的思想来确定一个无理数可以对应数轴上的一个点. 下面通过图形介绍两种用数轴上的点表示实数的方法（小正方形的边长均为1）： ①图1是上节课我们为了引出无理数，通过裁剪拼接得到的大正方形；图2是通过数轴的点表示. ②如图所示： 3.实数与数轴上的点— —对应 类似地，任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示.这样，除任意一个有理数在数轴上有唯一的对应点外，任意一个无理数在数轴上也有唯 一的对应点，从而任意一个实数在数轴上有唯一的对应点.反之，数轴上任意 给定的一点可对应一个有理数或一个无理数.所以，实数与数轴上的点— —对应. 4.用数轴上的点表示无理数（大致确定） 一个无理数在数轴上所对应的点，可以利用这个无理数的近似值(有理数)所对应的点来大致确定。 举例：在数轴上分别标出-、-所对应的点一个无理数在数轴的大致位置. 可以利用计算器可得-≈-1.732, -≈2.236, 它们在数轴上所对应的点的大致位置如图19-2-3 所示. 【即学即练】 1．与数轴上的点具有一一对应关系的是（   ） A．实数 B．有理数 C．无理数 D．整数 2．如图，数轴上表示数的点是 ． 3．下列说法错误的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．可以用数轴上的一个点来表示 C．两个无理数的和一定还是无理数 D．的小数部分是 4．如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 5．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 知识点2 实数的绝对值和大小比较 1.实数的绝对值 ①实数的绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值.实数a的绝对值记作|a|. ②实数绝对值的特点：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. ③一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,一个负实数的绝对值是它的相反数.设a表示一个实数，则 2.实数的绝对值和大小比较 ①数轴法：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示实数时，这些点从左到右的顺序，就是实数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. ②法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1） 分别计算两数的绝对值； （2） 比较绝对值的大小： （3） 判定两数的大小． 拓展： ③作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立． ④求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反． ⑤倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【即学即练】 1．比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 2．的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 3．计算： ． 知识点3 实数的运算 1.引入：实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样.我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 2.实数的运算律 若 a、b、c 为实数，则有 加法交换律：a+b =b+a. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 乘法交换律：ab=ba. 乘法结合律：(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac. 3.实数混合运算的顺序 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.实数混合运算的顺序为：先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减. 4.实数混合运算的结果 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简，其结果可能是一个化简了的算式，如2+. 5.精确数与近似数 ①精确数：一星期有7天，1 cm=0.01m,2的算术平方根是,圆周率是π,这里的7、0.01、、π都是精确的数. ②近似数：但是，一年约有365.24天，某个轮子的直径约是0.66 m,约为1.414,圆周率约为3.14,这里的365.24、0.66、1.414、3.14都不精确，是近似数. ③对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五入法”,按照所要求的精确度取近似值. 【即学即练】 1．对于近似数，它有 个有效数字． 2．计算 3．计算：|﹣|++（+1）． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 知识点4 科学计数法 1.引入： 在科学研究和日常生活中，人们往往会遇到绝对值较大或较小的数，如光在真空中的传播速度约为300000000 m/s,1nm等于0.000000001m.这些数直接写起来很不方便，可以用10的整数次幂的形式来表示，300000000= 3×10⁸,0.000000001=1×10-9. 2.科学计数法的表示 把一个数表示成a×10n(1≤ |a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 当a=1 或 a=-时，“1”常省略不写，如0.000000001=10-9,-1000000=-106 . 3.科学计数法的作用 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便.对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×10⁵有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×10-4的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 【即学即练】 1．国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．用科学记数法表示为 ． 3．用科学记数法表示，并保留三个有效数字： ． 题型01 实数的大小比较 【典例1】．比较大小 ．（填“”或“”） 【变式1】．比较大小： （填“，或”）． 【变式2】．比较大小： （填，或）． 【变式3】．如下图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，并把下列实数用“”连接起来． ，，0，，2， 题型02 实数的绝对值 【典例1】．实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【变式1】．的绝对值是 ，的相反数是 ． 【变式2】．化简： 【变式3】．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 实数与数轴概念辨析 【典例1】．数轴上所有的点表示的数是（    ） A．全体有理数 B．全体无理数 C．全体实数 D．全体正数和全体负数 【变式1】．下列说法：①＝-10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③-3是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的整数部分是4 题型04 用数轴上的点表示实数的大致位置 【典例1】．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型05 正方形的边长与数轴上的点表示的数 【典例1】．点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是7．若点A对应的数是－2，则点B对应的数是 ． 【变式1】．如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，数轴上点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 题型06 精确数与近似数 【典例1】．近似数的精确度是精确到 位． 【变式1】．按括号内的要求用四舍五入法取近似数： （精确到）． 【变式2】．已知，则 （精确到）． 题型07 科学计数法 【典例1】．进入新时代，我国持续推进生态系统保护修复，目前我国生态保护修复面积超过亿亩，“十四五”生态保护修复预期目标已基本完成．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．将下列用科学记数法表示的数还原： （1） ；      （2） ； （3） ；      （4） ． 【变式2】．分子的直径约为，数据用科学记数法表示为 ． 【变式3】．据统计，2024年前三季度无锡市国民生产总值（GDP）为11481.55亿元，将数据11481.55用四舍五入法精确到100，所得近似数用科学记数法表示为 ． 题型08 实数的运算 【典例1】．计算 【变式1】．计算：. 【变式2】．计算∶． 题型09 数轴上的点移动问题；距离问题 【典例1】．数轴上点A表示，那么点A沿数轴向左平移3个单位得到的点表示的数是 ． 【变式1】．已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的数是 ． 【变式2】．数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 【变式3】．如图所示，数轴上表示1，的点分别为，且两点到点A的距离相等，则点C所表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【变式4】．如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 题型10 数轴上两点之间的整数点问题 【典例1】．如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】．如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型11 解答题—正方形、数轴上的点表示的数综合 【典例1】．如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 【变式1】．现有五个实数：，，，，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D (1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________； (2)①用圆规在数轴上精确地表示出（提示：注意观察正方形的面积）； ②将上述五个数按从小到大的顺序用“”连接 【变式2】．如图： (1)已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来； (2)O为原点，求出O、A两点间的距离． (3)求出A、B两点间的距离． 【变式3】．如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成． (1)图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为______，若这个正方形的边长为a，则______． (2)观察图②，请先写出阴影部分的面积为______，并在阴影部分的基础上将其补全为面积是5的正方形（顶点都在网格的格点上），若这个正方形的边长为b，则______ (3)请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a和的大概位置． 题型12 实数大小比较的特殊方法 【典例1】．比较与的大小关系． 【变式1】．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 一、单选题 1．的相反数是（    ） A．0 B． C． D． 2．下列各数中，比小的是（    ） A．3 B．2 C．1.8 D．1 3．如图，数轴上P可能表示的数是（    ）    A． B． C． D． 4．若一个正方形的面积是，则它的边长最接近（   ） A． B． C． D． 5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 7．如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 8．已知，则a、b、c的大小关系是(   ) A． B． C． D． 9．有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（    ）    A．5 B． C． D． 10．大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 二、填空题 11．比较大小： 7．（用“>”或“<”填空） 12．写出两个无理数，使它们的和为2 ． 13．计算： ． 14．的相反数是 的绝对值是 15．近年来，全球发现一种通过蚊虫传播的病毒——寨卡病毒，其直径约为，用科学记数法表示为，则 ． 16．已知和计算的值 ．（结果精确到） 17．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 18．已知的整数部分为m，的小数部分为n，求的值 三、解答题 19．计算∶． 20．计算： (1)． (2)． 21．在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“>”连接． 22．现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用A，B，C，D表示． (1)点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______． (2)①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接．__________________ (3)将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：________________________； 负数：________________________ 23．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 24．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________； （2）请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 25．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3． (1)仿照以上方法计算：=_______；=_____． (2)若，写出满足题意的x的整数值_____________． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1． (3)对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程． (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.4 实数与数轴 实数的运算 教学目标 1. 体验教材确定一个无理数可以对应数轴上的一个点的过程； 2. 会用数轴上的点表示无理数； 3. 实数的绝对值与大小比较； 4. 知道科学计数法的表示； 5. 学会实数的运算。 教学重难点 1.重点 （1）实数与数轴上的点一一对应； （2）几何法：用数轴上的点表示无理数。用数轴上的点表示无理数的大致位置； （3）实数的运算与大小比较。 2.难点 （1）用数轴上的点表示无理数的应用； （2）代数、几何的相辅相成； 知识点1 用数轴上的点表示实数 1.引入：我们知道，每一个有理数都可以对应数轴上的一个点，那么一个无理数可以对应数轴上的一个点吗? 能用数轴上的一个点对应表示吗? 利用计算机技术可以求出=1.414213562373095048801688724209 698078569671875376948073176679…,其值在有理数1～2之间，进一步在1.4～1.5之间，1.41～1.42之间， ……(如表19-1所示). 在数轴上，以上面各对有理数所对应的点为端点的线段的长度依次为1、0.1、0.01、 …,这些线段的长度越来越小，最终收缩为一点， 这个点就是数轴上与对应的唯一的一个点. 2.用数轴上的点表示实数 以上是教材用极限的思想来确定一个无理数可以对应数轴上的一个点. 下面通过图形介绍两种用数轴上的点表示实数的方法（小正方形的边长均为1）： ①图1是上节课我们为了引出无理数，通过裁剪拼接得到的大正方形；图2是通过数轴的点表示. ②如图所示： 3.实数与数轴上的点— —对应 类似地，任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示.这样，除任意一个有理数在数轴上有唯一的对应点外，任意一个无理数在数轴上也有唯 一的对应点，从而任意一个实数在数轴上有唯一的对应点.反之，数轴上任意 给定的一点可对应一个有理数或一个无理数.所以，实数与数轴上的点— —对应. 4.用数轴上的点表示无理数（大致确定） 一个无理数在数轴上所对应的点，可以利用这个无理数的近似值(有理数)所对应的点来大致确定。 举例：在数轴上分别标出-、-所对应的点一个无理数在数轴的大致位置. 可以利用计算器可得-≈-1.732, -≈2.236, 它们在数轴上所对应的点的大致位置如图19-2-3 所示. 【即学即练】 1．与数轴上的点具有一一对应关系的是（   ） A．实数 B．有理数 C．无理数 D．整数 【答案】A 【分析】此题考查实数与数轴，解题关键在理解实数与数轴的关系． 根据数轴上的点都表示一个实数，一个实数都可以用数轴上的点来表示进行回答． 【详解】解∶因为数轴上的点都表示一个实数，一个实数都可以用数轴上的点来表示， 所以实数与数轴上的点具有一一对应关系． 故选∶A． 2．如图，数轴上表示数的点是 ． 【答案】B 【分析】首先估算的大小，再利用实数与数轴的关系可得答案． 【详解】解：因为实数≈1.732，所以应介于1与2之间且比较靠近2， 根据图示可得表示数的点是点B． 故答案为B． 3．下列说法错误的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．可以用数轴上的一个点来表示 C．两个无理数的和一定还是无理数 D．的小数部分是 【答案】C 【分析】根据无理数的概念对选项逐个判断即可。 【详解】解：无理数为无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，A说法正确，不符合题意； 实数与数轴上的点是对应关系，为无理数也是实数，可以用数轴上的一个点来表示，B说法正确，不符合题意； 两个无理数的和不一定是无理数，比如和都是无理数，但是和为，为有理数，说法错误，符合题意； 的整数部分是3，小数部分是，说法正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了无理数的概念及性质，解题的关键是掌握无理数的概念以及有关性质，无限不循环小数为无理数，其中无理数包括：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个之间的个数依次加）等有这样规律的数． 4．如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，体现了数形结合思想，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．根据点B和点C关于点A对称，即可求得，再根据两点间距离计算即可． 【详解】解：∵点B和点C关于点A对称， ∴， ∴点C表示的数是：． 故答案为：． 5．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，先求出的长，再求出点E的坐标即可． 【详解】正方形的面积为3， ． ． 的坐标为，E在点A的右侧， 的坐标为． 故答案为：． 知识点2 实数的绝对值和大小比较 1.实数的绝对值 ①实数的绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值.实数a的绝对值记作|a|. ②实数绝对值的特点：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. ③一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,一个负实数的绝对值是它的相反数.设a表示一个实数，则 2.实数的绝对值和大小比较 ①数轴法：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示实数时，这些点从左到右的顺序，就是实数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. ②法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1） 分别计算两数的绝对值； （2） 比较绝对值的大小： （3） 判定两数的大小． 拓展： ③作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立． ④求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反． ⑤倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【即学即练】 1．比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查相反数的定义、绝对值的性质以及实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；先判断的正负值，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求解；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】①解：的相反数是； 故答案为； ② 的绝对值是， 故答案为； ③， 即 ． 故答案为：． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求实数的绝对值及实数的运算，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 先化简绝对值再算加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点3 实数的运算 1.引入：实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样.我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 2.实数的运算律 若 a、b、c 为实数，则有 加法交换律：a+b =b+a. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 乘法交换律：ab=ba. 乘法结合律：(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac. 3.实数混合运算的顺序 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.实数混合运算的顺序为：先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减. 4.实数混合运算的结果 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简，其结果可能是一个化简了的算式，如2+. 5.精确数与近似数 ①精确数：一星期有7天，1 cm=0.01m,2的算术平方根是,圆周率是π,这里的7、0.01、、π都是精确的数. ②近似数：但是，一年约有365.24天，某个轮子的直径约是0.66 m,约为1.414,圆周率约为3.14,这里的365.24、0.66、1.414、3.14都不精确，是近似数. ③对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五入法”,按照所要求的精确度取近似值. 【即学即练】 1．对于近似数，它有 个有效数字． 【答案】3 【分析】本题考查的是有效数字的含义，根据有效数字的定义可以得到题目中的数有几个有效数字，从而可以解答本题． 【详解】解：近似数，它有3个有效数字， 故答案为：3． 2．计算 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，掌握运算法则是解题的关键． 类比乘法对加法的分配率对根号前的数字先合并即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算：|﹣|++（+1）． 【答案】 【分析】先去绝对值符号、计算立方根和乘法，再计算加减可得． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的性质、立方根的定义和乘法分配律． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)-1； (3)-3； 【分析】（1）利用平方差公式计算求值； （2）利用幂的积等于积的幂计算求值； （3）根据幂的运算法则、平方差公式计算求值； 【详解】（1）解：原式=， =； （2）解：原式==； （3）解：原式=； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握平方差公式是解题关键． 知识点4 科学计数法 1.引入： 在科学研究和日常生活中，人们往往会遇到绝对值较大或较小的数，如光在真空中的传播速度约为300000000 m/s,1nm等于0.000000001m.这些数直接写起来很不方便，可以用10的整数次幂的形式来表示，300000000= 3×10⁸,0.000000001=1×10-9. 2.科学计数法的表示 把一个数表示成a×10n(1≤ |a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 当a=1 或 a=-时，“1”常省略不写，如0.000000001=10-9,-1000000=-106 . 3.科学计数法的作用 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便.对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×10⁵有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×10-4的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 【即学即练】 1．国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：67313万． 故选：C． 2．用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的计算，正确确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 3．用科学记数法表示，并保留三个有效数字： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．也考查了有效数字． 【详解】解： 故答案为：． 题型01 实数的大小比较 【典例1】．比较大小 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，根据，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】．比较大小： （填“，或”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键．由正实数零负实数及两个正实数比较大小，被开方数大的数就大，据此即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式2】．比较大小： （填，或）． 【答案】 【分析】此题主要考查了的是实数的大小比较，注意这里可以把原数化为根式形式，比较被开方数的大小． 先根据算术平方根的性质把化为的形式，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．如下图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，并把下列实数用“”连接起来． ，，0，，2， 【答案】点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是0，点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是．． 【分析】首先估算无理数，然后根据数轴上的点与实数的对应关系写出答案即可． 本题考查了数轴上的点与实数的对应关系，数轴上每个点都表示一个实数，反过来，每个实数都可以用数轴的一个点表示． 【详解】根据题意得，点表示的数是0，点表示的数是2， ∵ ∴点表示的数是， ∵ ∴ ∴点表示的数是， ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数是， ∵ ∴点表示的数是 ∴由数轴得，． 题型02 实数的绝对值 【典例1】．实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数的意义，相反数的意义，根据相反数的意义进行解答即可． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：C． 【变式1】．的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】此题主要考查了实数的性质，绝对值与相反数，理解绝对值与相反数的意义是解决问题的关键． 根据绝对值的意义可得出的绝对值，根据相反数的定义可得出的相反数． 【详解】解：的绝对值是：， ∴的相反数是：， 故答案为：，． 【变式2】．化简： 【答案】/ 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3】．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的绝对值是，相反数是 (2)的绝对值是，相反数是 (3)的绝对值是，相反数是 (4)的绝对值是，相反数是 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 题型03 实数与数轴概念辨析 【典例1】．数轴上所有的点表示的数是（    ） A．全体有理数 B．全体无理数 C．全体实数 D．全体正数和全体负数 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴上的点与实数一一对应关系，由此即可判定选择项． 【详解】解：数轴上的点与实数一一对应． 故选：C． 【变式1】．下列说法：①＝-10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③-3是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根，实数与数轴，无理数的定义，实数的分类逐一分析即可． 【详解】解：①∵， ∴是错误的； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确； ③∵， ∴-3是的平方根，故说法正确； ④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确； ⑤两个无理数的和可能是有理数，如，故原说法是错误的； ⑥无限不循环小数是无理数，因此无理数都是无限小数，故说法正确； 综上分析可知，正确的是②③④⑥，共4个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，数轴及平方根、立方根、算术平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如 等，也有这样的数． 【变式3】．关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的整数部分是4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，无理数的估算，实数的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、面积为13的正方形的边长是，正确，不符合题意； B、在数轴上可以找到表示的点，正确，不符合题意； C、的相反数是，正确，不符合题意； D、，故的整数部分是3，原说法错误，符合题意； 故选：D． 题型04 用数轴上的点表示实数的大致位置 【典例1】．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，在数轴上表示无理数等知识点，解题的关键是正确估算无理数的取值． 利用无理数的估算方法进行估值，介于整数2和3之间即可得出答案． 【详解】解： 即 故选：D． 【变式1】．如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法得到，再由数轴可知被覆盖的数在3和4之间，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知被覆盖的数在3和4之间， ∴被覆盖的数可能为， 故选：C． 【变式2】．如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，实数在数轴的表示；由无理数的估算得，即可求解；能熟练进行无理数估算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 实数表示在数轴上，对应的点可能是点， 故选：A． 题型05 正方形的边长与数轴上的点表示的数 【典例1】．点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是7．若点A对应的数是－2，则点B对应的数是 ． 【答案】/ 【分析】先求出AB的长，再设B点表示的数为，根据数轴上两点间的距离公式求出的值即可． 【详解】∵正方形的面积是7， ∴， 设B点表示的数为， ∵点A对应的数是， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 【变式1】．如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，数轴上点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根，掌握网格求面积的方法，以及实数在数轴的表示是解题的关键．根据网格的数据，可求正方形的面积，从而得到正方形的边长，从而得到结果． 【详解】大正方形面积为， ∴大正方形边长为， ∴数轴上点A表示的数为， 故选：A． 题型06 精确数与近似数 【典例1】．近似数的精确度是精确到 位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数精确的位数，在科学记数法中，先确定所精确到的数字，再判断此数字原数的位数，即可求解；会判断科学记数法中近似数精确的位数是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 数字在千位， 故答案为：千． 【变式1】．按括号内的要求用四舍五入法取近似数： （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到即对百分位上的数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】解：，（精确到） 故答案为；． 【变式2】．已知，则 （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1求解即可． 【详解】解：若， 则， 故答案为：． 题型07 科学计数法 【典例1】．进入新时代，我国持续推进生态系统保护修复，目前我国生态保护修复面积超过亿亩，“十四五”生态保护修复预期目标已基本完成．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】．将下列用科学记数法表示的数还原： （1） ；      （2） ； （3） ；      （4） ． 【答案】 6200000 【分析】本题主要考查了将用科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数还原的方法：将中，当为正数，将小数点向右移动n为移动的位数即可还原；当为负数，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：6200000；；；． 【变式2】．分子的直径约为，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】．据统计，2024年前三季度无锡市国民生产总值（GDP）为11481.55亿元，将数据11481.55用四舍五入法精确到100，所得近似数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查近似数和科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 先将数据11481.55用四舍五入法精确到100得，再用科学记数法表示即可； 【详解】解：． 故答案为. 题型08 实数的运算 【典例1】．计算 【答案】 【分析】直接根据算术平方根、立方根以及绝对值的意义将原式进行化简，然后根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ＝ ＝． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根以及绝对值的非负性是解本题的关键． 【变式1】．计算：. 【答案】 【分析】先根据去括号法则进行化简，然后根据实数的混合运算进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握去括号法则、实数的加减运算是解题的关键． 【变式2】．计算∶． 【答案】 【分析】根据零指数幂，完全平方公式和平方差公式进行化简，求解即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了零指数幂，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关运算性质． 题型09 数轴上的点移动问题；距离问题 【典例1】．数轴上点A表示，那么点A沿数轴向左平移3个单位得到的点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，直接用点A表示的数减去向左平移的距离即可得到答案． 【详解】解：数轴上点A表示，那么点A沿数轴向左平移3个单位得到的点表示的数是， 故答案为：． 【变式1】．已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴的特点，即在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：设数轴上与原点相距个单位长度的点所表示的数为a， 故， 解得． ∴点M表示的数是． 故答案为：． 【变式2】．数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了在数轴上表示实数，以及两点间的距离，根据“点A表示的数是，点B在点A的左边，且，”列式计算，即可得出点B表示的数 【详解】解：∵点A表示的数是，点B在点A的左边，且， ∴点B表示的数：， 故答案为：． 【变式3】．如图所示，数轴上表示1，的点分别为，且两点到点A的距离相等，则点C所表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数轴上两点间的距离公式，根据距离相等列方程，求解即可． 【详解】解：设C所表示的数是x， 点C与点B关于点A对称， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离，实数与数轴，关键是理解距离的含义，就是用右边的数减去左边的数． 【变式4】．如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解． 【详解】解：设点C所对应的实数是x． 则有， 解得，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键． 题型10 数轴上两点之间的整数点问题 【典例1】．如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根与立方根，无理数的估算，弄清数轴上的点表示的数是解本题的关键．根据A与B表示的数表示出范围，确定整数解个数即可． 【详解】解：，，即 ，之间表示整数的点有和两个， 故选：D． 【变式1】．如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键．先得出，， 然后再根据实数与数轴可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴A. B两点之间表示整数的点共有：2，3，4，5一共有4个． 故选：B 题型11 解答题—正方形、数轴上的点表示的数综合 【典例1】．如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1)边长都是1，面积2 (2) 【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据正方形的面积得出边长，再求出正方形的对角线，即阴影部分图形的边长和面积； （2）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， 则，解得：； 每个小正方形的边长都是1， 正方形的边长为：， ； （2）解：正方形的边长为，点与重合， 点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 【变式1】．现有五个实数：，，，，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D (1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________； (2)①用圆规在数轴上精确地表示出（提示：注意观察正方形的面积）； ②将上述五个数按从小到大的顺序用“”连接 【答案】(1)；； (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较大小，解题的关键是熟练掌握实数与数轴． （1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可； （2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以的长为半径画弧，则此弧与数轴正方向的交点所表示的数为； ②利用数轴上点的特点进行解答即可． 【详解】（1）解：点A表示数为；点B表示数为；点D表示数为． 故答案为：；；． （2）解：①如图， ∵正方形的面积为：， ∴正方形的边长； ②根据数轴可得，． 【变式2】．如图： (1)已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来； (2)O为原点，求出O、A两点间的距离． (3)求出A、B两点间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）估算出-和的值，在数轴上标出即可； （2）用表示点O的数减去表示点A的数即为两点之间的距离； （3）用表示点B的数减去表示点A的数即为A、B间的距离． 【详解】（1）解：∵2.25<3<4，1<2<2.25， ∴-2<-<-1.5，1<<1.5， 【变式1】和数轴上的位置如图所示， ； （2）解：∵表示点A的数为﹣，表示点O的数为0， ∴OA=0﹣（﹣）=； （3）解：∵表示点A的数为﹣，表示点B的数为， ∴AB=﹣（﹣）=+． 【点睛】本题考查了实数与数轴以及两点间的距离，在数轴上准确表示出点A、B的位置是解题的关键． 【变式3】．如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成． (1)图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为______，若这个正方形的边长为a，则______． (2)观察图②，请先写出阴影部分的面积为______，并在阴影部分的基础上将其补全为面积是5的正方形（顶点都在网格的格点上），若这个正方形的边长为b，则______ (3)请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a和的大概位置． 【答案】(1)10， (2)2， (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根： （1）用小正方形的面积加上三角形的面积即可求出阴影部分的面积；根据正方形面积公式即可求出a的值； （2）仿照题意作图，然后根据正方形面积公式求出b的值即可； （3）根据（1）（2）所求，在数轴上表示出2个数，即可． 【详解】（1）解：这个阴影正方形的面积， 若这个正方形的边长为a，则； 故答案为：10； （2）解：如图，四边形即为所求； 阴影部分的面积为； ∵这个正方形的边长为b，面积是5， ∴； 故答案为：2， （3）解：， ∴， 如图，即为所求． 题型12 实数大小比较的特殊方法 【典例1】．比较与的大小关系． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，熟练掌握方法是解答本题的关键．先平方比较大小，再把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，， ， ． 【变式1】．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 一、单选题 1．的相反数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查求二次根式的相反数，实数的性质，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 2．下列各数中，比小的是（    ） A．3 B．2 C．1.8 D．1 【答案】D 【解析】略 3．如图，数轴上P可能表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对A、B、C、D四个选项中的无理数进行估算，再由点所在的位置确定点的取值范围，即可求出点表示的可能数值． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也运用了数形结合的思想． 4．若一个正方形的面积是，则它的边长最接近（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式和估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的面积是， ∴它的边长是． ∵， ∴， 又， ∴， 即这个正方形的边长最接近， 故选A． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解答此题的关键． 5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了估算无理数．首先得出，进而求出的估计值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：B． 6．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，无理数的估算，化简绝对值，根据，化简绝对值合并同类项即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 7．如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出的值是解答此题的关键． 先估算出的值，再确定出其位置即可． 【详解】 即 ∴表示数的点应在之间． 故选：D． 8．已知，则a、b、c的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 9．有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】把按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值． 【详解】解：当时， 125的立方根为5，5是有理数， 5的立方根是，是无理数，则输出， 所以输出， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：将数m求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n值是解题的关键． 10．大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a和b，再代入计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴的整数部分为8，的整数部分为1， ∵的小数部分为，的小数部分为， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 二、填空题 11．比较大小： 7．（用“>”或“<”填空） 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，掌握实数的大小比较方法，算术平方根定义是解题的关键． 根据题意，由，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：<． 12．写出两个无理数，使它们的和为2 ． 【答案】和（答案不唯一） 【分析】写出两个无理数，使无理数部分为相反数即可． 【详解】解：， 故答案为和． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算立方根与算术平方根，再合并即可，熟记立方根与平方根的含义是解本题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：0． 14．的相反数是 的绝对值是 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，以及绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； ∵， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查相反数的定义，绝对值的意义，以及比较实数大小．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，负数的绝对值，是它的相反数，是解题的关键． 15．近年来，全球发现一种通过蚊虫传播的病毒——寨卡病毒，其直径约为，用科学记数法表示为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为为整数，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 【详解】解：， ∴； 故答案为：． 16．已知和计算的值 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 【详解】解： 故答案为：． 17．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， 点在数轴正半轴上，点表示的数为， 点到原点的距离为， 点所表示的数为， 故答案为：． 18．已知的整数部分为m，的小数部分为n，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算出的大小，从而可确定出m的值，然后可表示出n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：． 三、解答题 19．计算∶． 【答案】 【分析】根据零指数幂，完全平方公式和平方差公式进行化简，求解即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了零指数幂，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关运算性质． 20．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方与开方，再计算加减即可； （2）先求绝对值，再去括号，然后合并同类二次根式即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，绝对值，熟练掌握实数法则和合并同类二次根式法则是解题的关键． 21．在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“>”连接． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了数轴，实数的大小比较，相反数，平方根，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．先化简，然后根据正负数把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】解：， 如图所示． 由数轴可知，． 22．现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用A，B，C，D表示． (1)点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______． (2)①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接．__________________ (3)将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：________________________； 负数：________________________ 【答案】(1)；； (2)①见解析；② (3)，；， 【分析】（1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可； （2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以的长为半径画弧，则此弧与数轴正方向的交点所表示的数为； ②利用数轴上点的特点进行解答即可； （3）根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：点A表示数为；点B表示数为；点D表示数为． 故答案为：；；． （2）解：①如图， ∵正方形的面积为：， ∴正方形的边长； ②根据数轴可知，． 故答案为：． （3）解：无理数：，； 负数：，． 故答案为：，；，． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，利用数轴比较大小，实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数与数轴． 23．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据互为相反数的和为0列式，再根据非负数的意义求出c、d的值，然后分情况求平方根即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴； 答：的值为2； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 即且， 解得：，，或，， ①当，时， 所以，无平方根． ②当，，时， ∴， ∴的平方根为， 答：的平方根为． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义． 24．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________； （2）请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】（1），；（2）①图见解析，；②见解析 【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数 （2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N． 【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：，； （2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． 25．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3． (1)仿照以上方法计算：=_______；=_____． (2)若，写出满足题意的x的整数值_____________． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1． (3)对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程． (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【答案】(1)2；5 (2)1，2，3 (3)3次，过程见解析 (4)255 【分析】（1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，5． （2）解：∵，，， ∴或或， 故答案为：1，2，3． （3）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴第3次之后结果为1． （4）最大的是255，理由如下， 解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， ∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$