精品解析：黑龙江省大庆市龙凤区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

大庆市龙凤区2024—2025学年度下学期八年级期中考试数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，DE是AC的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线垂直的四边形 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 7. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 9. 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 10. 如图，菱形ABCD和菱形CEFG中，点B，C，E在同一直线上，∠ABC = 60°，点D在CG上，BC = 1，CE = 3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在实数范围内因式分解：__________． 12. 如图，直线经过，两点，则不等式的解集为_____________； 13. 如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是_______． 14. 若分式的值为，则的值为________． 15. 如图，一个正方形中有两个小正方形，如果它们的面积分别为，，则_________（填“”或“=”或“”）． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，AN＝AC，BM＝BC，则MN的长为______． 17. 如图，O为内角平分线交点，过点O的直线交、于M、N，已知，，则点O到的距离为______． 18. 如图，正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3、A4B4C4D4的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按如图所示摆放，点A2，A3，A4分别位于正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3的对角线的交点，则重叠部分的阴影部分的面积之和是______________． 三、解答题（共10题，共66分） 19. 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 20. 解方程：1． 21. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． （1）求对角线BD的长； （2）求菱形ABCD的面积． 22. 定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． （1）求的值． （2）若，求x的取值范围． （3）若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 23. 如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了），连接．判断四边形的形状，并说明理由： 24. 已知关于的不等式组的所有解都是正数； （1）求的取值范围； （2）化简：； （3）在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 25. 哈市某校计划购买一批篮球和排球，对学生们加强体能训练．已知一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个排球． （1）求篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）由于近期篮球涨价（排球未涨价），若此时购买篮球3个，排球2个，则花费资金至少元，求涨价后篮球的价格至少为多少元？ 26. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，． （1）将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移得到，若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点坐标是 ； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请在坐标系中作出旋转中心的坐标为 ； （4）在x 轴上有一点P，使得的值最小，则点P的坐标为 ． 27. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 28. 综合与探究 如图，直线与直线交于点（4，），直线与x轴交于点（8，0），点C从点O出发沿向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点D从点B出发以同样的速度沿向终点O运动，作轴，交折线于点M，作轴，交折线于点N，设运动时间为t． （1）求直线的表达式； （2）在点C，点D运动过程中． ①当点M，N分别在，上时，求证四边形是矩形． ②在点C，点D的整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你直接写出t的值． （3）点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市龙凤区2024—2025学年度下学期八年级期中考试数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断，比较简单，掌握其判断方法是解题关键；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称的概念和中心对称的概念即可判定． 【详解】解：A. 选项中图形为中心对称图形，不是轴对称图形，所以A错误； B. 选项中图形为轴对称图形，不是中心对称图形，所以B错误； C．选项中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以C正确； D．选项中图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，所以D错误． 故选：C． 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，则，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式错误，不符合题意； C、由可得，原式错误，不符合题意； D、由可得，原式正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，DE是AC的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm， ∴DA＝DC， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13cm， ∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝19cm， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5. 顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线垂直的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形． 【详解】解：如图， 根据题意得，是的中点， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：D． 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质．解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，是解决问题的关键． 直接利用菱形的性质得出的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用直角三角形中线的性质得出答案． 【详解】∵菱形的对角线相交于点O， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 故选：D． 7. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式，然后根据不等式组无解确定a的范围． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∵不等式组无解， ∴，解得，故B正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 8. 如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图—作角平分线，等角对等边，全等三角形的判定和性质，根据作图得到平分，平行四边形的性质，推出，证明，得到即可． 【详解】解：∵平行四边形，，， ∴，， ∴，， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识．连接，根据菱形的性质和勾股定理可得，，再证明四边形是矩形，进而得出，当时，最小，即取最小值，即可得出答案． 【详解】解：如下图，连接， 在菱形中，，， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值，即最小值， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴最小为4.8， 即的最小值为4.8， 故选：B． 10. 如图，菱形ABCD和菱形CEFG中，点B，C，E在同一直线上，∠ABC = 60°，点D在CG上，BC = 1，CE = 3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC、CF，根据菱形的性质求出AC、CF，∠ACD＝60°，∠GCF＝30°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：连接AC、CF、GE，且CF、GE交于点O，如图所示： ∵菱形ABCD和菱形CEFG中，BC＝1，CE＝3， ∴，，，CF平分∠GCE，AC平分∠BCD，GE⊥CF， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC=BC=1， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵GE⊥CF， ∴， ∵∠OCE=30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵H是AF的中点， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，菱形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形，是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在实数范围内因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】将原多项式提取9，然后拆项分组为 ，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式. 12. 如图，直线经过，两点，则不等式的解集为_____________； 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图像，写出直线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴当时，， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式：从函数图像的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．运用了数形结合的思想．结合图像解不等式是解题的关键． 13. 如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】过点作于点E，于点， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线． 14. 若分式的值为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件和分式的意义，求分式的值；根据分式的值为的条件是：（1）分子为；（2）分母不为．两个条件需同时具备，缺一不可．据此求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， 又∵， ∴， 综合上述，解得：． 当时， 故答案为：． 15. 如图，一个正方形中有两个小正方形，如果它们的面积分别为，，则_________（填“”或“=”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等等知识，设正方形的边长为6，然后求出与的值，问题得解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为6， ∵是正方形的对角线， ，， ∴， 又∵四边形与四边形是正方形， ，， ，， ，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，AN＝AC，BM＝BC，则MN的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由图示知：MN=AN+BM﹣AB，所以结合已知条件，根据勾股定理求出AB的长即可解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB==13， 又∵AC=12，BC=5，AN＝AC，BM＝BC， ∴AN=12，BM=5， ∴MN= AN+BM﹣AB =12+5﹣13=4． 故答案是：4． 【点睛】本题考查勾股定理及线段的和差关系，解题的关键是结合图形得出：MN=AN+BM﹣AB． 17. 如图，O为内角平分线交点，过点O的直线交、于M、N，已知，，则点O到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G，根据三线合一得出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据结合角平分线到两边距离相等，即可求解． 【详解】解：过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G， ∵，， ∴, 根据勾股定理可得：, ∴, ∵O为内角平分线交点， ∴, 设， ∵, ∴， 即， 解得：， ∴, 故答案为： 18. 如图，正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3、A4B4C4D4的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按如图所示摆放，点A2，A3，A4分别位于正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3的对角线的交点，则重叠部分的阴影部分的面积之和是______________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，因为四边形A1B1C1D1，A2B2C2D2是正方形，过A2作B1C1，C1D1的垂线，垂足分别为E，F，先证△A2EM≌△A2FN，从而推得四边形A2MC1N的面积为正方形A1B1C1D1面积的四分之一，同样的方法，求得另外两个阴影部分面积，即可解决． 【详解】解：设正方形 A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3中的面积分别为S1，S2，S3， 如图，设A2B2与B1C1交于点M，A2D2与C1D1交于点N，过A2分别作A2E⊥B1C1于E，A2F⊥C1D1于F，连接A2C1，A2B1， ∵四边形A1B1C1D1是正方形，A2是对角线的交点， ∴A2C1平分∠B1C1D1，且△A2B1C1是等腰直角三角形， ∵A2E⊥B1C1，A2F⊥C1D1， ∴A2E＝A2F＝B1C1， ∵∠A2EC1＝∠B1C1D1＝∠A2FC1＝90°， ∴四边形A2EC1F为正方形， ∴C1E＝A2E＝B1C1， ∵四边形A2B2C2D2是正方形， ∴∠B2A2D2＝∠EA2F＝90°， ∴∠EA2M＝∠FA2N， 在△A2EM与△A2FN中， ， ∴△A2EM≌△A2FN（ASA）， ∴， ∴S1＝， 同理：， ∴阴影部分的面积和为：1+4+9＝14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 三、解答题（共10题，共66分） 19. 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】， 数轴上表示不等式组的解集如下： ． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．先求出每个不等式的解集，从而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 20. 解方程：1． 【答案】x＝4 【解析】 【分析】分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到方程的解． 【详解】解：去分母得：5+x2-5x+6=x2-9 ， 移项得：x2-x2-5x=-9-5-6 ， 合并同类项得：-5x=-20 ， 系数化为1：x=4 ， 检验：当x＝4时，（x+3）(x-3)≠0 ， 所以原分式方程的解为x＝4． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解，解分式方程一定要注意验根． 21. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． （1）求对角线BD的长； （2）求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解； （2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解． 【小问1详解】 解：菱形ABCD的周长为24， ， 又∠BAD＝60°， 是等边三角形， ， 故对角线BD的长为6； 【小问2详解】 解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ，， 又， ， ， 菱形ABCD的面积， 故菱形ABCD的面积是． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 22. 定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． （1）求的值． （2）若，求x的取值范围． （3）若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用新运算的规则直接进行计算即可； （2）利用新运算的规则对不等式转化，再进行求解； （3）利用新运算的规则对不等式组进行转化，然后解不等式组，再结合该不等式组恰有个整数解确定的取值范围． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：， ， ． 【小问3详解】 解：由，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 又原不等式组恰有个整数解， 原不等式的整数解为，，． ， 解得． 【点睛】本题考查了对定义新运算理解与运用，解不等式（组），解决本题的关键是将新运算转化为普通四则运算进行求解． 23. 如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了），连接．判断四边形的形状，并说明理由： 【答案】 解：四边形为菱形，理由如下： 根据作图可知：，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，根据作图得出，平分，证明，得出，证明，，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形为菱形． 【详解】略 24. 已知关于的不等式组的所有解都是正数； （1）求的取值范围； （2）化简：； （3）在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，化简绝对值，无理数的估算，不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解不等式组，可知，结合不等式的所有解都是正数，可知，从而解得的范围； （2）由（1）的范围，可知，，然后化简绝对值即可； （3）由（1）的范围，可知可以是5，6，解不等式可知，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，那么，从而解得答案． 【小问1详解】 解：， 解①得， ， 解②得，， ， 关于的不等式组的所有解都是正数， ， ； 【小问2详解】 解：， ，， ； 【小问3详解】 解： ， ，， ， ， 可以是5，6， ， 所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解， ， ． 25. 哈市某校计划购买一批篮球和排球，对学生们加强体能训练．已知一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个排球． （1）求篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）由于近期篮球涨价（排球未涨价），若此时购买篮球3个，排球2个，则花费资金至少元，求涨价后篮球的价格至少为多少元？ 【答案】（1）排球的单价为32元/个，篮球的单价为48元/个 （2）涨价后篮球的价格至少为55元/个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式． （1）设排球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，根据一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元以及2个篮球的价格等于3个排球的价格，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设涨价后篮球的单价为元/个，根据总价涨价后篮球的单价结合花费资金至少为229元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其内的最小值即可． 【小问1详解】 解：设排球的单价为元/个，篮球的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：排球的单价为32元/个，篮球的单价为48元/个． 【小问2详解】 解：设涨价后篮球的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：涨价后篮球的价格至少为55元/个． 26. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，． （1）将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移得到，若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点坐标是 ； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请在坐标系中作出旋转中心的坐标为 ； （4）在x 轴上有一点P，使得的值最小，则点P的坐标为 ． 【答案】（1）如图所示： （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图—作图形的旋转、图形的平移、轴对称—最短路线问题，熟练掌握旋转的性质，平移的性质，轴对称的性质是关键． （1）作出A、B、C三点关于原点的中心对称点，并依次连接即可； （2）由A点及其对应点的坐标可确定平移，根据平移即可确定点B的对应点坐标； （3）分别连接相交于点，则此点就是旋转中心，由中点公式即可求得旋转中心的坐标； （4）取点关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，连接，则可确定点P的位置；利用待定系数法求出直线的解析式，即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图，A、B、C三点关于原点的中心对称点的坐标分别为，依次连接这三点得到旋转后对应的； 【小问2详解】 解：∵点A的对应点的坐标为， ∴平移为向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴点B的对应点坐标， 故答案为：； 【小问3详解】 解：分别连接相交于点，则点就是旋转中心，其坐标为； 故答案为：； 【小问4详解】 解：取点关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，连接， 则最小； 设直线的解析式为， 由（2）知，C点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，对应点 则， 把点及代入中，得：， 解得：， 即； 令，得， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 27. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 28. 综合与探究 如图，直线与直线交于点（4，），直线与x轴交于点（8，0），点C从点O出发沿向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点D从点B出发以同样的速度沿向终点O运动，作轴，交折线于点M，作轴，交折线于点N，设运动时间为t． （1）求直线的表达式； （2）在点C，点D运动过程中． ①当点M，N分别在，上时，求证四边形是矩形． ②在点C，点D的整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你直接写出t的值． （3）点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） ①证明：，， ． ． 由题意可知：点C的坐标为（，0），点D的坐标为（，0）， 点M的坐标为，点N的坐标为． ． 四边形CMND是平行四边形． ， 四边形CMND是矩形． ②或 （3）存在，（4，），（9，3）， 【解析】 【分析】（1）先将点A的坐标代入直线的表达式，求出m的值，再设直线的表达式为，将点（4，3），（8，0）代入直线的表达式，即可求解； （2）①先由，，可得，从而，由题意可知：点C的坐标为（，0），点D的坐标为（，0），可得点M的坐标为，点N的坐标为，故，所以四边形CMND是平行四边形，再由，即可判定四边形是矩形； ②分和两种情况讨论，根据正方形的性质可得，即可建立关于t的方程，求解即可； （3）分为菱形的边和对角线两种情况讨论，利用菱形的性质，以及点的平移规律，即可求解． 【小问1详解】 解：点（4，）在直线上， ． 点A的坐标为（4，3）． 设直线的表达式为． 将点（4，3），（8，0）分别代入得， 解得． 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：①略 ②当时，由题意可得点C的坐标为（，0），点D的坐标为（，0）， 点M的坐标为． ，． 四边形是正方形， ，即． 解得． 当时，由题意可得点C的坐标为（，0），点D的坐标为（，0）， 点M的坐标为． ，． 四边形是正方形， ，即． 解得． 综上所述，t的值为或． 【小问3详解】 解：当为菱形的边时，有或， ①当时，如图， 以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形， ， （5，0） 点O到点A的平移方向、距离和点C到点P的平移方向、距离是相同的， 点O（0，0），点A（4，3）， 点P（5+4，0+3），即点P（9，3）； ②当时，如图， 为菱形的对角线， 点P与点A关于x轴对称， 点A（4，3）， 点P（4，）； 当为菱形的对角线时，如图， 以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形， ， 点O（0，0），点A（4，3），点C（t，0）， ， 解得， 四边形是菱形， 点C到点A的平移方向、距离和点O到点P的平移方向、距离是相同的， 点O（0，0），点A（4，3），点， ； 综上所述，存在，（4，），（9，3），． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、矩形的判定、正方形的性质、解一元一次方程、菱形的性质、点的平移规律，解题的关键是掌握分类讨论和数学结合的数学思想解决实际问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $